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{{Translating|||time=2018-06-16T05:35:03+00:00}}
{{NoteTA|G1=Signals and Systems}}
[[File:Cepstrum.png|thumb|倒頻譜的範例]]
'''倒頻譜'''（'''cepstrum'''），顧名思義，就是將[[頻譜]]（spectrum）的英文前四個字母反過來寫。倒頻譜是為了某些時候，為了計算方便，將原來信號的頻譜先轉成類似[[分貝]]的單位，再作[[逆傅里叶变换]]，把它視為一種新的訊號做處理。倒頻譜有[[复数 (数学)|複數]]倒頻譜，及[[實數]]倒頻譜。

倒頻譜被定義在1963的論文（Bogert等）。定義如下：

*字義：倒頻譜（信號）是信號頻譜取對數的傅立葉變換後的新頻譜（信號），有時候會稱頻譜的倒頻譜。
*數學上：信號的倒頻譜 = [[逆傅里叶变换|IFT]] ( [[对数|log]] ( | [[傅里叶变换|FT]] (信号) | ) + j2πm )（m為實數）
*演算法：信号 -> 傅立叶变换 -> 取[[绝对值]] -> 取[[对数]] -> 相位展开 -> 逆傅立叶变换 -> 倒频谱

複數倒頻譜擁有頻譜大小跟相位的資訊，實數倒頻譜只有頻譜大小的資訊，各有各的不同應用。

== 複數倒頻譜與實數倒頻譜 ==
=== 複數倒頻譜 ===
<math>\widehat {x}\left[ n\right] =\int _{-\frac {1} {2}}^{\frac {1} {2}}\widehat {X}\left( F\right) e^{j {2 \pi }F}dF</math><br>
其中<math>\widehat {X}\left[ F\right] = \log |X(F)| + j \arg[X(F)]</math><br>
可能遭遇的問題<br>
1. <math>\log 0 = - \infty</math><br>
2. <math>\arg[X[n]]</math>有無限多的解<br>
當輸入是實數時,因為<math>\log |X(F)|</math>[[偶對稱]]，<math>\arg[X(F)]</math>[[奇對稱]],所以複數倒頻譜的值為實數<br>
=== 實數倒頻譜 ===
<math>C \left[ n\right] =\int _{-\frac {1} {2}}^{\frac {1} {2}} \log |X(F)| e^{j {2 \pi }Fn}dF</math><br>
可能遭遇的問題<br>
1. <math>\log 0 = - \infty</math><br>

== 應用 ==
*倒頻譜可以被視為在不同頻帶上變化速率的資訊，倒頻譜一開始被發明在[[地震]]或[[炸彈]]產生的地震回音，現今也被使用在分析[[雷達]]訊號，以及[[訊號處理]]等問題。
*自相關倒頻譜(autocepstrum)被定義為倒頻譜的自相關性，自相關倒頻譜有時在分析處理回傳訊號時比倒頻譜還準確。
*倒頻譜在處理[[人聲]]訊號以及音樂訊號有非常好的效果，例如梅爾頻率倒頻譜(Mel-Frequency Cepstrum)，用來做聲音的辨認，偵測音高等。近年來梅耳倒頻譜也被應用在音樂資訊的回覆。
*倒頻譜在[[聲學]]中可以將[[聲帶]]震動的影響去除。
*倒頻譜用在處理多路徑問題時(如[[聲波]]的[[迴音]]、[[電磁波]]的折、反射等)，如果將其他路徑[[干擾]]視為[[雜訊]]，為了消除雜訊，利用倒頻譜，不需測量每條多路徑的延遲時間，可以利用傳送多次信號，觀察其他路徑在倒頻譜上的效果，並且加以濾除。
*語音大致上是由音高、[[聲帶]][[脈衝]]、聲門波形所組成，我們可以利用倒頻譜將這三種元素在倒頻域上分開，以利於做[[語音]]訊號的分析。
*倒頻譜的微分適用於影像處理上的圖形辨認(pattern recognition)。
*倒頻譜與同型聲音理論(homomorphic sound theory)有關。

== 倒頻譜觀念 ==
頻譜圖上的獨立變數是[[頻率 (物理學)|頻率]]，而倒頻譜圖上的獨立變數為倒頻率(quefrency)，倒頻率是一種時間的度量[[计量单位|單位]]。舉個例子，聲音訊號取樣速率等於44100[[赫茲]]，在倒頻譜上有個很大的值在倒頻率等於100，代表實際上在44100/100=441[[赫茲]]有很大的值，這值出現在倒頻譜上因為頻譜上[[週期]]性出現，而頻譜上出現的週期與倒頻譜很大的值出現的位置有關。

== 倒濾波器 ==
[[濾波器]](filter)常使用在頻譜上，用來保存或刪除我們所要或不要的資訊，經過上面的許多討論，不難猜到，倒濾波器(lifter)就是在倒頻譜上所使用的濾波器。低通的倒濾波器跟低通濾波器有點類似，它可以藉由在倒頻譜上乘以一個window係數，使倒頻譜上的高倒頻率被壓抑，如此依來，當信號轉回[[時域]]空間時會變成一個較平滑的信號。

== 計算倒頻譜的方法 ==

=== 直接計算IDTFT(反離散時間傅立葉變換) ===
<math>\widehat {x}\left[ n\right] =\int _{-\frac {1} {2}}^{\frac {1} {2}}\widehat {X}\left( F\right) e^{j {2 \pi }F}dF</math><br>
問題: <math>\widehat {X}\left( F\right) </math> 可能會無限大, 且對於arg(x[n])有無限多個解<br>

=== 利用Z轉換的零點與極點 ===
先對信號做[[Z轉換]], 並整理一下係數, 讓他變成下面的形式<br>
<math>X\left( Z \right)=\cfrac{A{Z^r}\prod_{k=1}^{m_i}(1-{a_k}{Z^{-1}})\prod_{k=1}^{m_0}(1-{b_k}Z)} {\prod_{k=1}^{P_i}(1-{c_k}{Z^{-1}})\prod_{k=1}^{P_0}(1-{d_k}Z)} </math><br>
其中<math>\left| a_{k}\right| , \left| b_{k}\right| , \left| c_{k}\right| , \left| d_{k}\right| \leq 1</math><br>
<br>
分子: <br>
第一項A是係數<br>
第二項<math>Z^r</math>是延遲<br>
第三項是位於單位圓內的零點<br>
第四項是位於單位圓外的零點<br>
<br>
分母:<br>
第一項是位於單位圓內的極點<br>
第二項是位於單位圓外的極點<br>
<br>
對<math>X\left( Z \right)</math>取log變成<math>\widehat {X}\left( Z\right)</math><br>
<math>\widehat {X}\left( Z\right)=log X\left( Z \right)=\log A + r \log Z + \sum_{k=1}^{m_i} \log (1-{a_k}{Z^{-1}}) + \sum_{k=1}^{m_0} \log (1-{b_k}Z) 
- \sum_{k=1}^{P_i} \log (1-{c_k}{Z^{-1}}) - \sum_{k=1}^{P_0} \log (1-{d_k}Z)</math><br>
假設r=0, 因為這只是延遲, 並不會破壞波形<br>
根據[[Z轉換]]所得到的系數, 我們可以利用泰勒展開得到Z的反轉換<br>
<math>\widehat {x}\left[n\right]=\begin{cases} \log A  & \mbox{if }n=0 \\
- \sum_{k=1}^{m_i} \cfrac{{a_k}^n}{n} + \sum_{k=1}^{P_i} \cfrac{{c_k}^n}{n} & \mbox{if }n>0 \\
\sum_{k=1}^{m_0} \cfrac{{b_k}^{-n}}{n} - \sum_{k=1}^{P_0} \cfrac{{d_k}^{-n}}{n} & \mbox{if }n<0 \end{cases}</math><br>
<br>
注意事項<br>
1.<math>\widehat {x}\left[ n\right]</math>總是IIR([[無限脈衝響應]])<br>
2.對於FIR([[有限脈衝響應]])的情況, <math>c_k=0, d_k=0</math>

=== 利用Z轉換與微分 ===
<math>Z \cdot \widehat {X}'\left( Z\right)=Z \cdot \cfrac{{X}'\left( Z\right)}{{X}\left( Z\right)}</math><br>
<math>Z {X}'\left( Z\right) = Z \widehat {X}'\left( Z\right) \cdot {X}\left( Z\right)</math><br>
對其做Z的反轉換<br>
<math>nx[n]= \sum_{k=- \infty }^{\infty } k \widehat {x}\left[ k\right] x[n-k]</math><br>
故<br>
<math>x[n]= \sum_{k=- \infty }^{\infty } \frac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] x[n-k] \quad for \ n \neq 0</math><br>
<br>
分別對於x[n]的四種不同的狀況做延伸<br>
1.對於x[n]是因果(causal)和[[最小相位]](minimum phase) i.e. <math>x[n]=\widehat {x}\left[ n\right]=0, n<0</math><br>
對於<math>x[n]= \sum_{k=- \infty }^{\infty } \frac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] x[n-k] \quad for \ n \neq 0</math><br>
可得出<br>
<math>x[n]= \sum_{k=0}^{\infty } \frac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] x[n-k] \quad for \ n>0</math><br>
故<br>
<math>x[n]= \widehat {x}\left[ n\right]x[0] + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] x[n-k]</math><br>
2.對於x[n]是最小相位(minimum phase)<br>
<math>\widehat {x}\left[ n\right]=\begin{cases} 0  & \mbox{if }n<0 \\ 
\cfrac{x[n]}{x[0]} - \sum_{k=0}^{n-1} \cfrac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] \cfrac{x[n-k]}{x[0]} & \mbox{if }n>0 \\
\log A & \mbox{if }n=0 \end{cases}</math><br>
3.對於x[n]是反因果(anti-causal)且最大相位(maximum phase) i.e. <math>x[n]=\widehat {x}\left[ n\right]=0, n>0</math><br>
<math>\begin{align} 
x[n] & = \sum_{k=n}^{0} \cfrac{k}{n}\widehat {x}\left[ k\right] x[n-k] \quad for \ n<0 \\
& = \widehat {x}\left[ n\right] x[0] + \sum_{k=n+1}^{0} \cfrac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] x[n-k] \\
\end{align}</math><br>
4.對於x[n]是最大相位(maximum phase)<br>
<math>\widehat {x}\left[ n\right]= \begin{cases} 0  & \mbox{if }n>0 \\ 
\cfrac{x[n]}{x[0]} - \sum_{k=n+1}^{0} \cfrac{k}{n} \widehat {x}\left[ k\right] \cfrac{x[n-k]}{x[0]} & \mbox{if }n<0 \\
\log A & \mbox{if }n=0 \end{cases}</math><br>

==特性==
1. 複數倒頻譜至少以<math>\frac{1}{n}</math>的速度衰退<br>
<math>|\widehat {x}\left[ n\right]|=c |\frac{{\alpha}^n}{n}| \quad - \infty<n<\infty</math><br>
其中  <math>\alpha =max(a_k,b_k,c_k,d_k)</math><br>
2. 如果X(Z)沒有在單位圓以外的零點和極點, 則<br>
<math>\widehat {x}\left[ n\right]=0 \quad for \ all \ n<0 </math><br>
因為<math>b_k,d_k=0</math><br>
3. 如果X(Z)沒有在單位圓以內的零點和極點, 則<br>
<math>\widehat {x}\left[ n\right]=0 \quad for \ all \ n>0 </math><br>
因為<math>a_k,c_k=0</math><br>
4. 如果x[n]是有限長度, 則<math>\widehat {x}\left[ n\right]</math>是無限長度<br>

== 同態解卷積的應用(Application of Homomorphic Deconvolution) ==
同態解卷積有非常多應用面，尤其是在聲學工程和語音分析方面的實用性

(1) 回聲的均衡化
:<math>y[n]=x[n]+{\alpha} x[n-N_p]</math>
:其中<math>y[n]</math>是接收到的訊號，<math>x[n]</math>是原始訊號，<math>N_p</math>是延遲的樣本數，<math>{\alpha}</math>是衰減係數
:令<math>p[n]</math>是脈衝響應，描述原始訊號與回聲訊號之間的關係
:<math>p[n]={\delta}[n]+{\alpha}{\delta[n-N_p]}</math>，其中<math>{\delta}</math>是單位脈衝函數
:<math>y[n]=x[n]+{\alpha}x[n-N_p]=x[n]*p[n]</math>
:系統函數 <math>P(Z) = 1+{\alpha}Z^{-N_p}</math>
:透過對系統函數進行對數轉換，簡化回聲成分的分析和處理
:<math>{\hat{P}}(Z) = log(1+{\alpha}Z^{-N_p})={\sum_{k=1}^{\infty}}(-1)^{k+1}{\frac{\alpha^{k}}{k}}Z^{-kN_p}</math>
:將<math>{\hat{P}}(Z)</math>轉換到時域
:<math>{\hat{p}}[n]={\sum_{k=1}^{\infty}}(-1)^{k+1}{\frac{\alpha^{k}}{k}}{\delta}(n-k{\cdot}N_P)</math>

(2) 聲學工程
:<math>y[n]=x[n]*h[n]</math>，其中<math>y[n]</math>是合成音樂，<math>x[n]</math>是原始音樂，<math>h[n]</math>是脈衝響應(例如建築物空間的影響)

(3) 語音分析
:透過在complex cepstrum domain中進行濾波，分離這些成分，使得對語音訊號的理解和處理更為精確。
:<math>s[n]=g[n]*v[n]*p[n]</math>，其中<math>s[n]</math>是語音波，<math>g[n]</math>是全局波形，<math>v[n]</math>是聲道脈衝，<math>p[n]</math>是音高，*是卷積

(4) 地震信號分析

(5) 任意波傳播的多路徑分析

== 梅爾頻率倒頻譜 ==
[[梅爾頻率倒頻譜]]是倒頻譜的一種應用，梅爾頻率倒頻譜常應用在聲音訊號處理，對於聲音訊號處理比倒頻譜更接近人耳對聲音的分析特性，而梅爾頻率倒頻譜與倒頻譜的差別在於:

#梅爾頻率倒頻譜的頻帶分析是根據人耳聽覺特性所設計，人耳對於[[頻率 (物理學)|頻率]]的分辨能力，是由頻率的"比值"決定，也就是說，人耳對200[[赫茲]]和300赫茲之間的差別與2000赫茲和3000赫茲之間的差別是相同的。
#梅爾頻率倒頻譜是針對訊號的[[能量]]取[[對數]]，而倒頻譜是針對訊號原始在頻譜上的值取[[對數]]。
#梅爾頻率倒頻譜是使用[[离散余弦变换|離散餘弦轉換]]，倒頻譜是用[[离散傅里叶变换|離散傅立葉變換]]。
#梅爾頻率倒頻譜係數足夠描述[[語音]]的特徵。


[[梅爾頻率倒頻譜係數]](MFCCs)的推導步驟：
#將信號做[[傅立葉變換]]
#頻譜上的值取絕對值再平方成為能量，在乘上頻譜上對應的梅爾頻率倒頻譜三角重疊窗(window)的係數。
#對每個梅爾頻率取[[對數]]。
#作[[离散余弦变换|離散餘弦轉換]]。
#求得梅爾頻率倒頻譜係數。

== 梅爾頻率倒頻譜應用 ==
*梅爾頻率倒頻譜係數常利用在辨認語音技術上，例如辨認電話中說話的人的身份。
*利用每種[[樂風]]、或[[樂器]]在梅爾頻域上有不同特性來分析[[音樂]]的種類與類型，並且可以加以分類。

== 雜訊敏感性 ==
梅爾頻率倒頻譜係數很容易被外來的雜訊所破壞，因此有些研究結果指出，在求梅爾頻率倒頻譜係數時，在作離散餘弦轉換前，提升適當的能量(大約2或3倍)，以減少雜訊在低能量成份的影響。
== 梅爾頻率倒頻譜優點 ==
相較於原始的倒頻譜
*有絕對值平方
== 卷積 ==
倒頻譜領域上的一項重要的特性為二信號[[卷積]]之產生，其產生之程序為二倒頻譜值(cepstra)之相加：

<math>x_1 * x_2 \rightarrow x'_1 + x'_2</math>




== 微分倒頻譜(differential cepstrum) ==
=== 定義 ===
 <math>\widehat {x}_d(n) = Z^{-1}\frac{X'(Z)}{X(Z)} </math> 或 <math>\widehat {x}_d[n] = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{X'(F)}{X(F)} e^{i2 \pi F}dF</math><br>
<math> (\frac{d}{dZ}\widehat {X}_d(Z) = \frac{d}{dZ}logX(Z) = \frac{X'(Z)}{X(Z)})</math><br>
If <math>x(n) = x_1(n)*x_2(n)</math><br>
<math> X(Z) = X_1(Z)X_2(Z)</math><br>
<math> X'(Z) = X_1'(Z)X_2(Z)+X_1(Z)X_2'(Z)</math><br>
<math> \frac{X'(Z)}{X(Z)} = \frac{X_1'(Z)}{X_1(Z)})+\frac{X_2'(Z)}{X_2(Z)})</math><br>
<math> \therefore \widehat {x}_d(n) = \widehat {x}_{1d}(n)+\widehat {x}_{2d}(n)</math><br>
優點: 
(a)沒有模糊的相位
(b)可以處理延遲問題
=== 特性 ===
(1)微分倒頻譜在shift和scaling時，結果不改變。<br>
ex: <math>y[n] = AX[n-r] </math><br>
<math>\Rightarrow \widehat {y}_d(n) = \begin{cases} \widehat {x}_d(n),n \neq 1 \\
 -r + \widehat {x}_d(1),n = 1 \end{cases}</math><br>
(proof):<br>
<math>Y(z) = Az^{-r}X(z) </math><br>
<math>Y(z) = Az^{-r}X'(z)-rAz^{-r-1}X(z) </math><br>
<math>\frac{Y'(z)}{Y(z)} = \frac{X'(z)}{X(z)} - rz^{-1} </math><br>
(2)複數倒頻譜<math>\widehat {C}[n]</math> 與 微分倒頻譜 <math>\widehat {x}_d[n]</math>和原訊號x[n]有關<br>
<math>\widehat {C}(n) = \frac{-\widehat {x}_d(n+1)}{n}, n \neq 0</math> diff cepstrum<br>
<math>-(n-1)x(n-1) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} \widehat {x}_d(n)x(n-k)</math> recursive formula<br>
<math>\Rightarrow</math>複數頻譜做得到的事情, 微分倒頻譜也做得到<br>
(3)如果x[n]是最小相位(minimum phase),則<math>\widehat {x}_d[n]=0</math>,當<math>n \leq 0</math><br>
minimum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓外<br>
(4)如果x[n]是最大相位(maximum phase),則<math>\widehat {x}_d[n]=0</math>,當<math>n \geq 2</math><br>
maximum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓內<br>
(5)如果x(n)為有限區間,則<math> \widehat {x}_d[n]</math>為無限區間<br>
*複數倒頻譜的衰減率反比於n
*微分倒頻譜的衰減率下降
<math>\therefore \widehat {x}_d(n+1) = n\widehat {c}(n) \varpropto n \frac{1}{n} = 1</math><br>
== 範例 ==
*<math>x[0] = 1,x[1] = 0.5</math> ,otherwise 0 , Find its cepstrum.
<math>x[n] \quad \stackrel{Z transform}{\longrightarrow} \quad X(Z)\quad \stackrel{log}{\longrightarrow} \quad \widehat {X}(Z) \quad \stackrel{Z^{-1}}{\longrightarrow}\quad \widehat {x}[n]</math><br>
<br>
step 1. Z transform: <math>X(Z) = 1+0.5Z^{-1},pole = -0.5 </math><br>
step 2. log: <math>\widehat {X}(Z) = \sum_{k=1}^{m_i}log(1-(-0.5Z^{-1}))</math><br>
step 3. reverse Z transform: <math>\widehat {x}[n] = \sum_{n=0}^N -\frac{-0.5^n}{n},n>0</math>
*<math>\widehat x[0]=1</math> ,otherwise 0 , Find its inverse cepstrum.
<math> \widehat x[n] \quad \stackrel{Z transform}{\longrightarrow} \quad \widehat X(Z)\quad \stackrel{exp}{\longrightarrow} \quad  {X}(Z) \quad \stackrel{Z^{-1}}{\longrightarrow}\quad {x}[n]</math><br>
<br>
step 1. Z transform: <math>\widehat X[n]=Z^{-1}</math><br>
step 2. exp: <math>e(\frac{1}{z}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\frac{1}{z^n}}{n!}</math><br>
step 3. reverse Z transform: <math>x[n] = \begin{cases} \frac{1}{n!},n \geq 0 \\
0, otherwise\\\end{cases}</math><br>
*Suppose that an IIR filter is <math> H(Z) = \frac{2z^3-4z^2-z+2}{2z^2-2z+1}</math>

<math>x[n] \quad \stackrel{Z transform}{\longrightarrow} \quad X(Z)\quad \stackrel{log}{\longrightarrow} \quad \widehat {X}(Z) \quad \stackrel{Z^{-1}}{\longrightarrow}\quad \widehat {x}[n]</math><br>
<br>
step 1. Z transform: <math>H(Z) = \frac{(-2) (z) (z-\frac{\sqrt{2}}{2}z^{-1})  (z+\frac{\sqrt{2}}{2}z^{-1})  (1-\frac{1}{2}z)  }{(1-\frac{1+j}{2}z^{-1})  (1-\frac{1-j}{2}z^{-1})} </math><br>
step 2. log: <math>\widehat {H}(Z) = log(-2)+3log(z) + log(1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}z^{-1})+log(1-\frac{1}{2}z)-log(1-\frac{1\pm j}{2}z^{-1})</math><br>
step 3. reverse Z transform: <math>\widehat {h}[n] = \begin{cases} log(-2),n= 0 \\
\displaystyle{-\frac{  {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^n  + {(\frac{-\sqrt{2}}{2})}^n }{n}      +      \frac{  {(\frac{1+j}{2})}^n  + {(\frac{1-j}{2})}^n }{n},n>0 }\\
\displaystyle{\frac{{(\frac{1}{2})}^{-n}}{n}},n<0\\\end{cases}</math><br>



<math> </math><br>
== 參考文獻 ==
<div class="references-small">
#B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and [[J. W. Tukey]]: "The quefrency analysis<!-- not a typo; the original paper is believed to use this spelling --> of [[time series]] for echoes: cepstrum, pseudo-[[autocovariance]], cross-cepstrum, and saphe cracking". ''Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis'' (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209-243. New York: Wiley, 1963.
#D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "[http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=1455016  The Cepstrum: A Guide to Processing]{{Wayback|url=http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=1455016 |date=20200603011416 }}," ''Proceedings of the IEEE'', Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428-1443.<references/>
#Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008
#Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2024
</div>

[[category:信号处理]]