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{{NoteTA|G1=物理學}}
假設一個受到某[[作用力]]的粒子，從初始位置移動到終結位置，而此作用力所做的[[功]]跟移動路徑無關，則稱此力為'''保守力'''（{{lang|en|conservative force}}），又稱為'''守恆力'''<ref>David Halliday，《Fundamentals of Physics Extended》，第9版，173：「This result is called the principle of conservation of mechanical energy. (Now you can see where conservative forces got their name.)」，即「遵守力學能『守恆』的力」稱為「守恆力」。</ref>。<ref>{{Cite web |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pegrav.html#cfor |title=HyperPhysics - Conservative force |access-date=2012-01-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120104120251/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pegrav.html#cfor |archive-date=2012-01-04 |dead-url=yes }}</ref>等價地說，假設一個粒子從某位置，移動經過一條閉合路徑後，又回到原本位置，則作用於這粒子的保守力所做的機械功（保守力對於整個閉合路徑的積分）等於零。<ref name=Hand>{{cite book |title=Analytical Mechanics |url=https://archive.org/details/analyticalmechan00hand_878 |author =Louis N. Hand, Janet D. Finch |page=[https://archive.org/details/analyticalmechan00hand_878/page/n54 41] |isbn=0521575729 |publisher=Cambridge University Press |year=1998 }}</ref>假設在一個物理系統裏，所有的作用力都是保守力，則稱此物理系統為「保守系統」，又稱為「守恆系統」。對於這種系統，在空間裏每一個位置，都可以給定[[位勢]]一個唯一數值。假設粒子從某位置移動至另一位置，則由於保守力的作用，粒子的[[勢能]]可能會有所改變，但前後差值與移動經過的路徑無關。例如，[[重力]]是一種保守力，而[[摩擦力]]是一種非保守力。

==概述==
保守力可以視為一種使[[機械能]]守恆的作用力。在一個[[孤立系统]]裏，假若所有的作用力都是保守力，則此系統的[[機械能]]守恆。在這裏，機械能指的是[[動能]]與[[勢能]]的總合。

思考一個閉合路徑，假設，感受著某[[作用力]]，一個粒子從初始位置A移動經過任意閉合路徑後，又回到位置A ，而此作用力所做於粒子的機械功都等於零，則此作用力满足保守力的条件，可以被分類為保守力。請注意，對於這物理系統，很可能有其他的作用力施加於粒子，但是，這分類只專注於指定的作用力，忽略其他的作用力。當然，根據[[疊加原理]]，這分類也可以專注於幾個作用力的[[合力]]。例如[[重力]]、[[彈力|彈簧力]]、[[磁場力]]（依照某些定義而定，稍後會加以詳細說明）、[[電場力]]（伴隨的磁場與時間無關，請參閱[[法拉第電磁感應定律]]）等等，都是保守力；而[[摩擦力]]和空氣[[阻力]]是典型的非保守力。

對於非保守力，由於能量守恆，損耗的能量必需被傳輸到其他地方。通常，能量會轉換為[[熱能]]，例如，摩擦力會產生熱能，有時候，還會產生[[聲|聲能]]。對於移動中的船隻，水的阻力會將船隻的機械能轉換為熱能、聲能、以及在尾流邊緣的[[波|波能]]。由於[[熱力學第二定律]]，這些能量損耗是不可逆的。

==路徑獨立性==
[[File:Conservative Force Gravity Example.svg|thumb|right|因為重力是保守力，它對於一個物體所做的機械功，只跟物體位置高度的差值有關。]]

閉合路徑思想實驗得到的直接結果是，保守力對於一個粒子所做的機械功，跟移動路徑無關；還有，這機械功等於，終結勢能減去初始勢能。試著證明這句話的正確性。設想從點 A 到點 B 有兩條不同的路徑。選擇路徑 1 從點 A 移動到點 B ，然後選擇路徑 2 反方向從點 B 移動到點 A ，粒子能量的改變是零 。因此，不管是選擇路徑 1 或路徑 2 ，從點 A 移動到點 B ，所做的機械功相等。保守力所做的機械功與經過哪一條路徑無關，只要兩條路徑的初始點與終結點相同 。

舉例而言，假設一個小孩從一個滑梯上滑下來，從滑梯的頂端到底端，不論滑梯的形狀，直線型或螺旋型，重力對於這小孩所做的機械功都一樣的。重力所做的機械功，只跟這小孩的落差有關。

== 保守力的性質 ==
設定 <math>\mathbf{F}</math> 為在空間任意位置良好定義（或空間內單連通的區域）的[[向量場]]，假若它滿足以下三個等價的條件中任意一個條件，則可稱此向量場為[[保守向量場]]：
:1、<math>\mathbf{F}</math> 的[[旋度]]是零： 
::<math>\nabla \times\mathbf{F} = 0</math> 。

:2、假設粒子從某閉合路徑 <math>\mathbb{C}</math> 的某一位置，經過這閉合路徑 <math>\mathbb{C}</math> ，又回到原先位置，則力向量場 <math>\mathbf{F}</math> 所做的機械功 <math>W</math> 等於零：
::<math>W = \oint_\mathbb{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}= 0</math> 。

:3、 作用力 <math>\mathbf{F}</math> 是某[[位勢]] <math>\Phi</math> 的[[梯度]]：
::<math>\mathbf{F} = - \nabla \Phi</math> 。

保守力因為可以保守機械能而得名。最常見的保守力為重力、電場力（伴隨的磁場與時間無關，請參閱[[法拉第電磁感應定律]]）、彈簧力。

=== 數學證明 ===
1&rArr;2：
:設定 <math>\mathbb{C}</math> 為任意簡單閉合路徑，即初始位置與終結位置相同、不自交的路徑。思考邊界為 <math>\mathbb{C}</math> 的任意曲面 <math>\mathbb{S}</math> 。[[斯托克斯定理]]表明
::<math> \int_\mathbb{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = \oint_\mathbb{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} </math> 。

:假設 <math>\mathbf{F}</math> 的旋度等於零，方程式左邊為零，則機械功 <math>W</math> 是零，第二個條件是正確的。

2&rArr;3：
:假設，對於任意簡單閉合路徑 <math>\mathbb{C}</math> ，<math>\mathbf{F}</math> 所做的機械功 <math>W</math> 是零，則保守力所做於粒子的機械功，獨立於路徑的選擇。設定[[函數]] 
:<math>\Phi(\mathbf{x}) = - \int_\mathbf{O}^\mathbf{x} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}</math> ；

:其中，<math>\mathbf{o}</math> 和 <math>\mathbf{x}</math> 分別是特定的初始位置和空間內任意位置。

:根據[[微積分基本定理]]，
::<math>\mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \Phi(\mathbf{x})</math> 。

:所以，第三個條件是正確的。

3&rArr;1：
:假設第三個條件是正確的。思考下述方程式：
::<math>\begin{align}\nabla\times\mathbf{F} & = - \nabla \times \nabla \Phi \\
& = - \left( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z \partial y} \right) \hat{x} - \left( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial z} \right)\hat{y} - \left( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y \partial x} \right)\hat{z} \\
& =\boldsymbol{0}\ \  _{\circ} \\ \end{align}</math> 

:所以，第一個條件是正確的。

總結，這三個條件彼此等價。由於符合第二個條件就等於通過保守力的閉合路徑考試。所以，只要滿足上述三個條件的任何一條件，施加於粒子的作用力就是保守力。

===磁場力===
很多種作用力不是力向量場，特別是跟[[速度]]有關的作用力。對於這些案例，上述三個條件並不數學等價。例如，磁場力滿足第二個條件（由於作用於帶電粒子的磁場力所做的機械功永遠為零），但是不滿足第三個條件，而第一個條件更是不存在定義──磁場力不是向量場，磁場力與速度有關，必需先給定速度函數的形式，才能計算磁場力的旋度。

所以，有一些物理學者將磁場力分類為保守力，而又有一些物理學者反對這樣分類。磁場力是一個特別案例；大多數跟速度有關的作用力，像摩擦力，不能滿足上述三個條件中的任意一個條件，因此，可以明確地分類為非保守力。<ref>For example, ''Mechanics'', P.K. Srivastava, 2004, page 94: "In general, a force which depends explicitly upon the velocity of the particle is not conservative. (However, the magnetic force (q'''v'''×'''B''') can be included among conservative forces in the sense that it acts perpendicular to velocity and hence work done is always zero".</ref><ref>For example, ''The Magnetic Universe: Geophysical and Astrophysical Dynamo Theory'', Rüdiger and Hollerbach, page 178.</ref>

== 非保守力 ==
在經典力學裏，當計算一個物理系統的運動時，為了簡易分析與計算，[[自由度]]被忽略，因此會出現非保守力。舉例而言，[[摩擦力]]不能被視為一種非保守力，而是每一個分子在運動時互相作用的力。可是，這樣做，就不能應用[[統計力學]]，而必須特別計算每一個[[分子]]的運動。對於[[宏觀]]系統，非保守力的概算，比起額外幾百萬自由度的計算，會簡單很多。非保守力的案例有摩擦力、非彈性物質的[[應力]]。

在[[廣義相對論]]裏，重力是非保守力，這可以從[[广义相对论中的开普勒问题|水星近日點的反常進動]]觀察得著。但是，[[應力-能量張量]]是守恆的。

== 參閱 ==
*[[保守向量場]]
*[[螺線向量場]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist|30em}}

[[Category:經典力學|B]]
[[Category:力|B]]
[[Category:勢|B]]