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在數學上，'''依賴選擇公理'''（<math> \mathsf{DC} </math>，英語：Axiom of dependent choice）是[[選擇公理]]（<math> \mathsf{AC} </math>）較弱的版本，但依賴選擇公理依舊足以發展[[實分析]]絕大多數的內容。依賴選擇公理最早由{{link-en|保羅·伯奈斯|Paul Bernays}}於1942年一篇討論哪些集合論公理對發展數學分析是必要的文章中引入。<ref group=lower-alpha>"The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." {{cite journal |last=Bernays |first=Paul |year=1942 |series=A system of axiomatic set theory |title=Part&nbsp;III. Infinity and enumerability. Analysis. |journal=Journal of Symbolic Logic |volume=7 |issue=2 |pages=65–89 |mr=0006333 |doi=10.2307/2266303 |jstor=2266303 |url=http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf |access-date=2022-07-23 |archive-date=2022-07-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220723184117/http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf |dead-url=no }} The axiom of dependent choice is stated on p.&nbsp;86.</ref>

==正式描述==
若一個<math>X</math>上的{{link-en|齊次關係|homogeneous relation}}<math>R</math>被稱作{{link-en|全關係|total relation}}，則對於所有的<math>a \in X,</math>而言，皆存在有一個<math>b \in X</math>，使得<math>a\,R~b</math>成立。

依賴選擇公理的表述如下：
對於任意非空[[集合 (数学)|集合]]<math>X</math>及任意<math>X</math>上的全關係<math>R</math>而言，皆存在有一個<math>X</math>上的[[序列]]<math>(x_n)_{n \in \N}</math>，使得以下陳述成立：
:對於任意的<math>n \in \N.</math>而言，<math>x_n\, R~x_{n + 1}</math>

若限制上述的<math>X</math>為所有[[實數]]的集合，那相關公理可表記為<math>\mathsf{DC}_{\R}. </math>

==應用==
即使在沒有這條公理的狀況下，對於任意的<math>n</math>，依舊可用一般的數學歸納法造出如此序列的最前面<math>n</math>項；而依賴選擇公理說的是我們可用此種方式造出整個（可數無限的）序列。

<math> \mathsf{DC} </math>這條公理是<math> \mathsf{AC} </math>的片斷，而在「必須於每一步都做出選擇」且「一些選擇無法在不仰賴先前選擇的情形下獨立做出」的狀況下證明「存在有可以可數長度的超限遞歸建構的序」列時，這條公理是必須的。

==等價陳述==
在[[策梅洛-弗蘭克爾集合論]]<math> \mathsf{ZF} </math>的框架下，<math> \mathsf{DC} </math>等同於完備度量空間上的[[貝爾綱定理]]。<ref>「貝爾綱定理蘊含依賴選擇公理」─{{cite journal |author=Blair, Charles E. |year=1977 |title=The Baire category theorem implies the principle of dependent choices |journal=Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. |volume=25 |issue=10 |pages=933–934}}</ref>

在<math> \mathsf{ZF} </math>的框架下，這公理也等價於[[勒文海姆–斯科倫定理]]。<ref group=lower-alpha>Moore states that "Principle of Dependent Choices <math>\Rightarrow</math> Löwenheim–Skolem theorem" — that is, <math>\mathsf{DC}</math> implies the Löwenheim–Skolem theorem. ''See'' table {{cite book |last=Moore |first=Gregory H. |year=1982 |title=Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence |page=325 |publisher=Springer |isbn=0-387-90670-3}}</ref><ref>The [[Converse (logic)|converse]] is proved in {{cite book |last1=Boolos |first1=George S. |author1link=George Boolos |last2=Jeffrey |first2=Richard C. |author2link=Richard Jeffrey |year=1989 |title=Computability and Logic |url=https://archive.org/details/computabilitylog0000bool_c7g3/page/155 |url-access=registration |edition=3rd |pages=[https://archive.org/details/computabilitylog0000bool_c7g3/page/155 155–156] |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-38026-X }}</ref>

<math> \mathsf{DC} </math>在<math> \mathsf{ZF} </math>的框架下也與「所有有<math> \omega </math>層且{{link-en|剪枝過的樹（描述集合論）|pruned tree|剪枝過的樹}}都有{{link-en|分支（描述集合論）|Branch (descriptive set theory)|分支}}」這陳述等價。

不僅如此，<math> \mathsf{DC} </math>也與弱化版的佐恩引裡等價；特別地，<math> \mathsf{DC} </math>與「任何使得所有良序鏈都有限且有界的偏序，都必然有極大元素」這敘述等價。<ref name="Wolk 1983">{{citation|title=On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma|first=Elliot S.|last=Wolk|publisher=[[Canadian Mathematical Bulletin]]|volume=26|issue=3|pages=365–367|year=1983|doi=10.4153/CMB-1983-062-5|doi-access=free|url=https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-mathematical-bulletin/article/on-the-principle-of-dependent-choices-and-some-forms-of-zorns-lemma/074006AB7FF8461CD119DE504D7AB1A7|accessdate=2022-07-23|archive-date=2022-07-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20220723184142/https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-mathematical-bulletin/article/on-the-principle-of-dependent-choices-and-some-forms-of-zorns-lemma/074006AB7FF8461CD119DE504D7AB1A7|dead-url=no}}</ref>

{| class="wikitable collapsible collapsed"
! style="background: #f5f5f5;" |<math>\,\mathsf{DC} \iff</math> 所有有ω層且剪枝過的樹都有分支的證明
|- style="text-align: left; vertical-align: top; style="background: white" 
|<math>(\,\Longleftarrow\,)</math>設<math>R</math>是<math>X</math>上的完整二元關係（entire binary relation），那麼此處的策略是定義一棵<math>X</math>上有限序列的樹<math>T</math>，而這棵樹的鄰近元素滿足<math>R</math>這關係。在這種狀況下，<math>T</math>的其中一個分支是鄰近元素滿足<math>R</math>這關係的無限序列。我們先從定義「若對於<math>0 \le k < n.</math>而言，<math>x_k R\,x_{k+1}</math>，則<math>\langle x_0, \dots, x_n\rangle \in T</math>」開始，由於<math>R</math>是完整二元關係之故，因此<math>T</math>是一棵具有<math>\omega</math>層且剪枝過的樹，因此<math>T</math>有<math>\langle x_0, \dots, x_n, \dots\rangle.</math>這分支，因此對於所有的<math>n \ge 0\!:</math>而言，<math>\langle x_0, \dots, x_n, x_{n+1}\rangle \in T,</math>，而這蘊含了<math>x_nR\,x_{n+1}.</math>，因此<math>\mathsf{DC}</math>為真。

<math>(\,\Longrightarrow\,)</math>

設<math>T</math>是一棵位於<math>X</math>上具有<math>\omega</math>層的剪枝過的樹，那麼此處的策略是定義<math>T</math>上的二元關係<math>R</math>，而這關係使得<math>\mathsf{DC}</math>導出<math>t_n = \langle x_0, \dots, x_{f(n)} \rangle</math>這樣的序列，而在這序列中，<math>t_nR\,t_{n+1}</math>且<math>f(n)</math>是一個[[嚴格遞增]]函數；而在這種狀況下，無窮序列<math>\langle x_0, \dots, x_k, \dots \rangle</math>是一個分支。（要證明這點，只需要對<math>f(n) = m + n.</math>進行證明）我們先定義「若<math>u</math>是<math>v</math>的始序列（initial subsequence），且<math>\operatorname{length}(u) > 0,\,</math>且<math>\operatorname{length}(v) =</math> <math>\operatorname{length}(u) + 1.</math>，則<math>u\,R\,v</math>」開始，由於<math>T</math>是一棵具有<math>\omega</math>層的剪枝過的樹枝故，所以<math>R</math>是個完整關係；因此<math>\mathsf{DC}</math>蘊含說存在有無限序列<math>t_n</math>使得<math>t_n\,R\,t_{n+1}</math>，因此對於一些<math>m \ge 0.</math>而言，<math>t_0 = \langle x_0, \dots, x_m \rangle</math>。設<math>x_{m+n}</math><math>t_n.</math>的最終元素，那麼<math>t_n = \langle x_0, \dots, x_m, \dots, x_{m+n} \rangle.</math>。對於所有的<math>k \ge 0,</math>而言<math>\langle x_0, \dots, x_k \rangle</math>這序列屬於<math>T</math>。由於這是<math>t_0\, (k \le m)</math>的的始序列，或者是一個<math>t_n\, (k \ge m)</math>之故，因此<math>\langle x_0, \dots, x_k, \dots \rangle</math>是一個分支。
|}

== 與其他公理的關係 ==
和完整版的<math> \mathsf{AC} </math>不同的是，<math> \mathsf{DC} </math>在<math> \mathsf{ZF} </math>的框架下，不足以證明說有些實數集是[[不可測集]]，也不足以證明有些實數集合不具有[[貝爾性質]]或{{link-en|完美集性質|perfect set property}}；而由於[[梭羅維模型]]滿足<math> \mathsf{ZF} + \mathsf{DC} </math>，且在此模型中所有的實數集合都是勒貝格可測集、都具有貝爾性質和完美集性質之故，因此這說法成立。

依賴選擇公理蘊含[[可數選擇公理]]，且嚴格強於可數選擇公理。<ref>伯奈斯證明說依賴選擇公理蘊含[[可數選擇公理]]，相關資料可見於{{cite journal |last=Bernays |first=Paul |year=1942 |series=A system of axiomatic set theory |title=Part&nbsp;III. Infinity and enumerability. Analysis. |journal=Journal of Symbolic Logic |volume=7 |issue=2 |pages=65–89 |mr=0006333 |doi=10.2307/2266303 |jstor=2266303 |url=http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf |access-date=2022-07-23 |archive-date=2022-07-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220723184117/http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf |dead-url=no }}的第86頁</ref><ref>對於[[可數選擇公理]]'''不蘊含'''依賴選擇公理這點，可見{{Citation |last=Jech |first=Thomas |authorlink=Thomas Jech |year=1973 |title=The Axiom of Choice |pages=130–131 |publisher=North Holland |isbn=978-0-486-46624-8}}</ref>

== 註解 ==
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== 參考資料 ==
{{reflist}}

* {{cite book |last=Jech |first=Thomas |title=Set Theory |url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 |year=2003 |edition=Third Millennium |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=3-540-44085-2 |oclc=174929965 |zbl=1007.03002}}

{{集合論}}

[[Category:集合論]]