查看“︁佩龙公式”︁的源代码

{{多個問題|
{{expand|time=2015-09-09T20:05:11+00:00}}
{{inline|time=2015-09-09T11:07:05+00:00}}
}}
在[[数学]]或更具体地，其分支[[解析数论]]中，'''佩龙公式'''（{{lang-en|Perron's formula}}）源自[[德國]]數學家[[奥斯卡·佩龙]]，是利用逆[[梅林变换]]来计算[[算术函数]]的和。

==定理陈述==
令 <math>\{a(n)\}</math> 为一[[算术函数]]，并令

:<math> g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}} </math>
 
为其对应的[[狄利克雷级数]]。假设这狄利克雷级数对 <math>\Re(s)>\sigma</math> [[一致收敛]]，那么佩龙公式为：

:<math> A(x) = {\sum_{n\le x}}' a(n)
=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} g(z)\frac{x^{z}}{z}  dz.\; </math>

此处求和符号上的一撇表示当''x''是整数时，和式中最后一项要乘以1/2。这个积分不是收敛的勒贝格积分，应当理解为[[柯西主值]]。这个公式要求 ''c'' > 0, ''c'' > σ 和实数''x'' > 0，但除以上条件以外别无限制。

==证明==
用[[阿贝尔求和公式]]可以得到一个简单的证明梗概：

:<math> g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s} }=s\int_{0}^{\infty}  A(x)x^{-(s+1) } dx. </math> 

这不过是在变量代换<math>x=e^t</math>下的[[拉普拉斯变换]]，运用拉普拉斯变换的反转公式就能得到佩龙公式。

==例子==
由于和狄利克雷级数的关系，佩龙公式常被用于解析数论中的求和。例如我们对[[黎曼ζ函数]]有如下的著名积分表示：

:<math>\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\lfloor x\rfloor}{x^{s+1}}\,dx.</math>

对于[[狄利克雷L函数]]也有类似的公式：

:<math>L(s,\chi)=s\int_1^\infty \frac{A(x)}{x^{s+1}}\,dx,</math>

其中

:<math>A(x)=\sum_{n\le x} \chi(n)</math>

和 <math>\chi(n)</math> 是[[狄利克雷特征]]. 

== 参考文献 ==
* 第243页，{{cite book |
| last=Apostol
| first=Tom M.
| author-link=Tom M. Apostol
| title=Introduction to analytic number theory
| publisher=[[施普林格科学+商业媒体|Springer-Verlag]]
| location=New York-Heidelberg
| series=Undergraduate Texts in Mathematics
| isbn=978-0-387-90163-3
| mr = 0434929 | zbl = 0335.10001 
| year=1976}}
* {{mathworld|urlname=PerronsFormula|title=Perron's formula}} 
* {{cite book |last=Tenebaum |first=Gérald | others=Translated by C.B. Thomas | year=1995 |title=Introduction to analytic and probabilistic number theory | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=46 | publisher=[[劍橋大學出版社|Cambridge University Press]] |location=Cambridge | isbn=0-521-41261-7 | zbl=0831.11001 }}

[[Category:解析数论定理]]
[[Category:微积分]]
[[Category:积分变换]]
[[Category:可和法]]