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{{noteTA
|G1=物理學
}}
在[[經典力學]]裏，'''作用量-角度坐標'''（action-angle coordinate）是一組[[正則坐標]]，通常在解析[[可積分系統]] ({{lang|en|Integrable system}}) 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析[[運動方程式]]，就能夠求得[[振動]]或[[旋轉]]的[[頻率 (物理學)|頻率]]。作用量-角度坐標主要用於[[哈密頓-雅可比方程#分離變數法|完全可分的]] [[哈密頓-亞可比方程式]]（[[哈密頓量]][[顯性 (物理)|顯性]]地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個[[環面]][[不變量]]。因為，保持[[作用量]]的不變設定了環的[[曲面]]，而[[角度]]是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。

在[[量子力學]]早期，[[薛丁格方程式|波動力學]]發展成功之前，[[波耳-索末菲量子化條件]] ({{lang|en|Bohr-Sommerfeld quantization}}) 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是[[普朗克常數]]常數的整數倍。[[愛因斯坦]]對於 {{lang|en|Einstein-Brillouin-Keller action quantization}} 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。

在[[哈密頓力學]]裏，作用量-角度坐標也可以應用於[[微擾理論]]，特別是在決定[[緩漸不變量]]。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，[[混沌理論]]研究的最早的一個結果是 {{lang|en|KAM theorem}} 。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。

作用量-角度坐標，對於[[戶田晶格]] ({{lang|en|Toda field theory}}) 的解析，對於 {{lang|en|Lax pairs}} 的定義，更廣義地，對於一個系統[[同光譜]] ({{lang|en|isospectral}}) 演化的構想，都佔有關鍵地位。

==導引==
===保守的哈密頓量系統===
:主條目：[[哈密頓-雅可比方程#哈密頓特徵函數|哈密頓特徵函數]]

假設，在一個物理系統裏，[[哈密頓量]]是保守的，也就是說，哈密頓量 <math>\mathcal{H}</math> 不顯含時間；
:<math>\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}</math> ；

其中，<math>a_\mathcal{H}</math> 是[[運動常數]]，<math>\mathbf{q}</math> 是[[廣義坐標]]，<math>\mathbf{p}</math> 是[[廣義動量]]。

採用[[哈密頓-雅可比方程#哈密頓特徵函數|哈密頓特徵函數]] <math>W(\mathbf{q};\ \mathbf{P})</math> 為[[正則變換]]的[[正則變換生成函數|第二型生成函數]]。變換方程式為
:<math>\mathbf{p}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}</math> ，
:<math>\mathbf{Q}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{P}}</math> ；

其中，<math>\mathbf{Q}</math> 是新[[廣義坐標]]，<math>\mathbf{P}</math> 是新[[廣義動量]]。

新哈密頓量 <math>\mathcal{K}</math> 與舊哈密頓量 <math>\mathcal{H}</math> 相等：
:<math>\mathcal{K}(\mathbf{Q};\ \mathbf{P})=\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}</math> 。

新廣義動量的[[哈密頓方程式]]為
:<math>\dot{\mathbf{P}}= - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial  Q}=0,\!</math> 。

所以，新廣義動量是常數 <math>\mathbf{a}</math> ：
:<math>\mathbf{P}=\mathbf{a}</math> ，

假設，這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 <math>\mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\right)= a_{\mathcal{H}}</math> 為完全可分的，則[[哈密頓-雅可比方程#哈密頓特徵函數|哈密頓特徵函數]] <math>W(\mathbf{q};\ \mathbf{P})</math> 可以分離為 <math>n</math> 個函數 <math>W_i</math> ：
:<math>W(\mathbf{q};\ \mathbf{a})=\sum_{i=1}^n\ W_i(q_i;\ \mathbf{a})</math> 。

哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是
:<math>p_i=\frac{\partial W_i(q_i;\ \mathbf{a})}{\partial q_i}</math> ，
:<math>Q_{i}=\sum_{j=1}^n\ \frac{\partial W_j(q_j;\ \mathbf{a})}{\partial a_{i}}</math> 。

===週期性運動===
假若，粒子的運動是[[週期函數|週期性運動]]，最常見的例子如[[振動]]或[[旋轉]]都是週期性運動，則可以設計一個新[[正則坐標]]－作用量-角度坐標 <math>(\mathbf{w},\ \mathbf{J})</math> 。定義作用量為
:<math>J_{i} \equiv \oint p_{i} dq_{i}</math> ；

這閉[[路徑積分]]的路徑是粒子運動一週期的路徑。

由於廣義動量 <math>p_i</math> 只跟 <math>q_i</math> 、<math>\mathbf{a}</math> 有關，經過積分，作用量<math>J_{i}</math> 只跟 <math>\mathbf{a}</math> 有關。所以，作用量向量 <math>\mathbf{J}</math> 只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為
:<math>W(\mathbf{q};\ \mathbf{J})=\sum_{i=1}^n\ W_i(q_i;\ \mathbf{J})</math> 。

雖然是同樣的物理量，函數的參數不同，形式也不同。

定義角度 <math>\mathbf{w}</math> 為

:<math>w_{i} \equiv \frac{\partial W}{\partial J_i}=\sum_{j=1}^n\ \frac{\partial W_j(q_j;\ \mathbf{J})}{\partial J_{i}}</math> 。

由於所有的廣義坐標 <math>q_i</math> 都相互獨立，所有的廣義動量 <math>p_i</math> 也都相互獨立，所以，所有的作用量 <math>J_i</math> 都相互獨立，作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為
:<math>W(\mathbf{w};\ \mathbf{J})=\sum_{i=1}^n\ W_i(w_i;\ \mathbf{J})</math> 。

新哈密頓量 <math>\mathcal{K}'</math> 與舊哈密頓量 <math>\mathcal{H}</math> 相等：
:<math>\mathcal{K}'(\mathbf{w};\ \mathbf{J})=\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}</math> 。

因為作用量 <math>J_i=J_i(\mathbf{a})</math> 只是常數向量，所以，
:<math> - \dot{J}_i=\frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial w_i}=0</math> 。

新[[哈密頓量]] <math>\mathcal{K}'=\mathcal{K}'(\mathbf{J})</math> ，只跟作用量 <math>\mathbf{J}</math> 有關，跟角度 <math>\mathbf{w}</math> 無關。

角度 <math>w_i</math> 隨時間的導數 <math>\nu_i</math> ，可以用[[哈密頓方程式]]決定：
:<math>\nu_{i}(\mathbf{J})=\dot{w}_{i} = \frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial J_{i}}</math> 。

每一個 <math>J_i</math> 都是常數，所以，<math>\nu_i(\mathbf{J})</math> 也是常數：
:<math>w_{i} = \nu_{i} t + \beta_{i}</math> ；

其中，<math>\beta_{i}</math> 是積分常數。

===運動頻率===
假設原本廣義坐標 <math>q_{i}</math> 的振蕩或旋轉的運動週期為 <math>T_i</math> ，則其對應的角度變數 <math>w_{i}</math> 的改變是 <math>\Delta w_{i} = \nu_{i} T_i</math> 。進一步了解物理量 <math>\nu_i</math> 的性質，猜想 <math>\nu_i</math> 與廣義坐標 <math>q_{i}</math> 週期性運動的頻率有關。可是，因為角度 <math>w_{i}</math> 是廣義座標 <math>\mathbf{q}</math> 與作用量 <math>\mathbf{J}</math> 的函數，無法確定前面的猜想。為了證實這論點，計算週期 <math>T_i</math> ：
:<math>T_{i}=\oint dt=\oint \frac{dq_i}{\dot{q_i}}=\oint \cfrac{dq_i}{\ \ \cfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}\ \ }</math> 。

新哈密頓量 <math>\mathcal{K}'(\mathbf{J})</math> 與舊哈密頓量 <math>\mathcal{H}</math> 相等。所以，
:<math>\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial J_j}\frac{\partial J_j}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \nu_j \frac{\partial J_j}{\partial p_i}</math> 。

假若 <math>q_{j}</math> 是個[[循環坐標]]，那麼，其[[共軛動量]] <math>p_{j}</math> 必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來：
:<math>J_{j}\equiv \oint p_{j} dq_{j}=p_{j}\oint  dq_{j}=p_j \ell</math> ；

其中，<math>\ell</math> 是 <math>q_{j}</math> 運動一週期的值。

這樣，
:<math>\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \nu_j \delta_{ij}\, \ell=\nu_i\,\ell</math> 。

代入週期 <math>T_i</math> 的公式，
:<math>T_{i}=\oint \frac{dq_i}{\nu_i(\mathbf{J})\,\ell}=\frac{1}{\nu_i}</math> 。

肯定地，<math>\nu_i</math> 是廣義坐標 <math>q_i</math> 的頻率。

假若 <math>q_{j}</math> 不是[[循環坐標]]，則不能將其[[共軛動量]] <math>p_{j}</math> 從作用量的定義積分內提出來，必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，可以察覺角度 <math>w_{i}</math> 跟廣義坐標 <math>\mathbf{q}</math> 、作用量 <math>\mathbf{J}</math> 有關： 
:<math>w_{i}=w_i(\mathbf{q};\ \mathbf{J})</math> 。

保持作用量不變，角度的虛位移 <math>\delta w_{i}</math> 是：
:<math>\delta w_{i}=\sum_{j=1}^n \frac{\partial w_i}{\partial q_j} dq_j</math> 。

在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標 <math>q_i</math> 都有它運動的週期 <math>T_i</math> 。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為'''多重週期性物理系統'''。假若，兩個廣義坐標的週期不同 <math>T_1</math> 、<math>T_2</math> 。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期 <math>T</math> ，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個[[有理數]]，則稱這兩個週期互相[[通約性|可通約的]]。設定新週期為
:<math>T=m_1T_1+m_2T_2</math> ；

其中，<math>\frac{T}{T_1}</math> 、<math>\frac{T}{T_2}</math> 、<math>m_1</math> 、<math>m_2</math> ，都是正值的整數。

同樣地，在多重週期性物理系統裏，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相[[通約性|可通約的]]，則此系統是'''完全可通約的'''，稱此系統為'''完全可通約系統'''。那麼，新週期 <math>T</math> 為
:<math>T=\sum_{i=1}^n m_iT_i</math> ；

其中，<math>\frac{T}{T_i}</math> 、<math>m_i</math> ，都是正值的整數。

經過一個週期 <math>T</math> ，角度 <math>w_{i}</math> 的變化是：

:<math>\Delta w_{i} = \nu_{i}m_i T_i=\oint \sum_{j=1}^n \frac{\partial w_{i}}{\partial q_{j}} dq_{j} =\oint\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 W_k(q_k;\ \mathbf{J})}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}dq_{j} </math> 。

由於作用量 <math>J_{i}</math> 是個常數，可以將它從積分內提出： 
:<math>\Delta w_{i}=\frac{d}{dJ_{i}} \oint \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial W_k(q_k;\ \mathbf{J})}{\partial q_{j}} dq_{j} = 
\frac{d}{dJ_{i}} \oint \sum_{j=1}^n p_{j} dq_{j} = \frac{d}{dJ_{i}}\sum_{j=1}^n m_jJ_j=m_i</math> 。

所以，頻率是 
:<math> \nu_{i}(\mathbf{J}) = \frac{1}{T}</math> 。

假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 <math>q_i</math> 、<math>q_j</math> ，其週期 <math>T_i</math> 、<math>T_j</math> 的比例是[[無理數]]。那麼，<math>q_i</math> 不可能與 <math>q_j</math> 同時回到同一點。雖然如此，有理論證明，<math> \nu_{i}</math> 、<math> \nu_{i}</math> 仍舊分別是 <math>q_i</math> 、<math>q_j</math> 的頻率。

===傅立葉級數===
角度 <math>\mathbf{w}</math> 是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標 <math>q_{k}</math> 可以用角度的[[傅立葉級數]]表示：
:<math>q_{k} = \sum_{s_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{s_{2}=-\infty}^{\infty} \ldots \sum_{s_{N}=-\infty}^{\infty} A^{k}_{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}} e^{i2\pi s_{1} w_{1}} e^{i2\pi s_{2} w_{2}} \ldots e^{i2\pi s_{N} w_{N}}</math> ；

其中， <math>A^{k}_{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}}</math> 是傅立葉級數係數。

在大多數實際案例，物理系統的哈密頓-亞可比方程式 <math>\mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\right)= a_{\mathcal{H}}</math> 為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標 <math>q_{k}</math> 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示：
:<math>q_{k} = \sum_{s_{k}=-\infty}^{\infty} e^{i2\pi s_{i} w_{i}}</math> 。

==基本規則總結==
一般程序有三個步驟：
# 計算作用量變數 <math>J_{i}</math> 。
# 用作用量變數表示原本哈密頓量。
# 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣，可以求得頻率 <math>\nu_{i}</math> 。

==簡併度==
在有些案例，兩個不同的廣義坐標會有相同的[[頻率 (物理學)|頻率]]；也就是說，<math>\nu_{i} = \nu_{j}</math> for <math>i \neq j</math> 。稱這些案例的運動狀態為[[簡併]]。

簡併的運動給出暗示，很可能有更多的保守量。例如，[[克卜勒問題]]的頻率是簡併的，這對應於[[拉普拉斯-龍格-冷次向量]]的恆定性。

簡併的運動還給出暗示，在多於一種[[坐標系統]]裏，[[哈密頓-亞可比方程式]]會是完全可分的。例如，[[克卜勒問題]]在[[球坐標系]]與[[拋物線坐標系]]，都是完全可分的。

==參考文獻==
* Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) ''Mechanics'', 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

* H. Goldstein, (1980) ''Classical Mechanics'', 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.

[[Category:經典力學|Z]]
[[Category:哈密頓力學|Z]]
[[Category:坐標系|Z]]