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{{noteTA
|G1=物理學
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在[[物理學]]裏，'''作用量'''（英语：'''action'''）是一個很特別、很抽象的[[物理量]]。它表示著一個[[動力學|動力物理系統]]內在的演化趨向。雖然與[[微分方程式]]方法大不相同，作用量也可以被用來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態，然後，經過求解作用量的[[平穩值]]，就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。
==歷史==
[[皮埃爾·德·費馬]]於1662年發表了[[費馬原理]]。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是[[極值]]。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於[[牛頓運動定律]]的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。

[[戈特弗里德·萊布尼茨]]不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易[[擴散]]；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。

1744年，[[皮埃爾·莫佩爾蒂]]在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，發表了[[最小作用量原理]]：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是[[極值]]；他也計算出光在[[反射 (物理学)|反射]]與同[[介質]]傳播時的正確路徑。1747年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，應用這原理於[[碰撞]]，正確地分析了彈性碰撞與非弹性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。

[[萊昂哈德·歐拉]]在同年發表了一篇論文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》  ；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是<math>\int_{path}\ v^2\ dt\,\!</math>。應用這理論，歐拉成功的計算出，當粒子受到[[連心力]]作用時，正確的拋射體運動。

在此以後，許多物理學家，包括[[約瑟夫·拉格朗日]]、[[威廉·哈密頓]]、[[理查德·費曼]]等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。

==概念==
微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。

作用量方法是一種全然不同的方法，它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算，可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。
 
[[哈密頓原理]]闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的[[微分方程式]]，也可以用一個等價的[[積分方程式]]來描述。無論是關於[[經典力學]]中的一個單獨粒子、關於[[場|經典場]]像[[電磁場]]或[[重力場]]，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至[[量子力學]]與[[量子場論]]了。

用[[變分法]]數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的[[平穩值]]（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何[[微擾理論|微擾]]必須是[[駐點|平穩]]的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。

==作用量形式==
在經典物理裏，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。

===作用量（泛函）===
最常見的作用量是一個[[泛函]]<math>\mathcal{S}\,\!</math>，輸入是參數為時間與空間的[[函數]]，輸出是一個[[标量 (物理学)|純量]]。在經典力學裏，輸入函數是物理系統在兩個時間點<math>t_{1}\,\!</math>，<math>t_{2}\,\!</math>之間[[廣義座標]]<math>\mathbf{q}(t)\,\!</math>的演變。

作用量<math>\mathcal{S}\,\!</math>定義為，在兩個時間點之間，系統的[[拉格朗日量]]<math>L\,\!</math>對於時間的積分：

:<math>\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\!</math>。

根據[[哈密頓原理]]，正確的演化<math>\mathbf{q}_{\mathrm{true}}(t)\,\!</math>要求[[駐點|平穩]]的作用量<math>\mathcal{S}\,\!</math>（最小值、最大值、[[鞍點|鞍值]]）。經過運算，結果就是[[拉格朗日方程式]]。

===簡略作用量（泛函）===
'''簡略作用量'''也是一個泛函，通常標記為<math>\mathcal{S}_{0}\,\!</math>。這裏，輸入函數是物理系統移動的一條路徑，完全不考慮時間參數。舉例而言，一個行星軌道的路徑是個橢圓，一個粒子在均勻重力場的路徑是拋物線；在這兩種狀況，路徑都跟粒子的移動速度無關。簡略作用量<math>\mathcal{S}_{0}\,\!</math>定義為[[廣義動量]]<math> \mathbf{p}\,\!</math>沿著路徑的積分：

:<math>\mathcal{S}_{0} = \int \mathbf{p}\,\mathrm{d}\mathbf{q}\,\!</math>；

其中，<math>\mathbf{q}\,\!</math>是廣義座標．根據[[莫佩爾蒂原理]]，正確路徑的簡略作用量<math>\mathcal{S}_{0}\,\!</math>是平穩的。

===哈密頓主函數===
:主條目：[[哈密頓-雅可比方程式|哈密頓主函數]]。

'''哈密頓主函數'''是由哈密頓-雅可比方程式定義的。哈密頓-雅可比方程式是經典力學的另一種表述。哈密頓主函數<math>S\,\!</math>與泛涵<math>\mathcal{S}\,\!</math>有密切的關係。固定住初始時間<math>t_{1}\,\!</math>和其對應的座標點<math>\mathbf{q}_{1}\,\!</math>；而准許時間上限<math>t_{2}\,\!</math>和其對應的座標點<math>\mathbf{q}_{2}\,\!</math>的改變。取<math>t_{2}\,\!</math>和<math>\mathbf{q}_{2}\,\!</math>為函數<math>S\,\!</math>的參數。換句話說，作用量函數<math>S\,\!</math>是[[拉格朗日量]]對於時間的[[不定積分]]：
:<math>S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) = \int L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\!</math>。

更加地，可以證明<math>\mathbf{P}\,\!</math>是某常數向量<math>\mathbf{a}\,\!</math>。所以，
:<math>S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) = S(\mathbf{q},\ \mathbf{a},\ t)\,\!</math>。

===哈密頓特徵函數===
:主條目：[[哈密頓-亞可比方程式|哈密頓特徵函數]]。

假若，[[哈密頓量]]<math>H\,\!</math>是守恆的；
:<math>H=\alpha\,\!</math>；

其中，<math>\alpha\,\!</math>是常數。

設定'''哈密頓特徵函數'''<math>W\,\!</math>為
:<math>W(\mathbf{q},\ \mathbf{a}) = S(\mathbf{q},\ \mathbf{a},\ t) - \alpha t\,\!</math>。

則哈密頓特徵函數<math>W\,\!</math>是一個作用量。

更加地，
:<math>\frac{dW}{dt}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}\,\!</math>。

對於時間積分：
:<math>W(\mathbf{q},\ \mathbf{a})=\int\mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}dt=\int \mathbf{p}\,d\mathbf{q}\,\!</math>。

這正是[[#簡略作用量（泛函）|簡略作用量]]的方程式。

===哈密頓-雅可比方程的其他解===
:主條目：[[哈密頓-雅可比方程式]]。
[[哈密頓-雅可比方程式]]是經典力學的一種表述。假若，哈密頓-雅可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函數<math>S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)\,\!</math>分出的每一個項目<math>S_{k}(q_{k},\ \mathbf{P},\ t)\,\!</math>也稱為"作用量"。

===作用量-角度座標===
:主條目：[[作用量-角度座標]]。思考一個[[作用量-角度座標]]的廣義動量變數<math>J_{k}\,\!</math>，定義為在[[相空間]]內，關於轉動運動或振蕩運動，廣義動量的[[路徑積分|閉路徑積分]]：
:<math>J_{k} = \oint p_{k} \mathrm{d}q_{k}\,\!</math>。

這變數<math>J_{k}\,\!</math>稱為廣義座標<math>q_{k}\,\!</math>的作用量；相應的[[正則座標]]是'''角度'''<math>w_{k}\,\!</math>。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分向量；這裏，只有一個純量變數<math>q_{k}\,\!</math>被用來積分。作用量<math>J_{k}\,\!</math>等於，隨著<math>q_{k}\,\!</math>沿著閉路徑，<math>S_{k}(q_{k})\,\!</math>的改變。應用於幾個有趣的物理系統，<math>J_{k}\,\!</math>或者是常數，或者改變非常地慢。因此，<math>J_{k}\,\!</math>時常應用於[[微擾理論]]與[[緩漸不變量]]的研究。

===哈密頓流作用量===
參閱[[重言1形式]]。

==數學導引==
哈密頓原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點<math>t_{1}\,\!</math>、<math>t_{2}\,\!</math>的運動是正確運動，則作用量[[泛函]]<math>\mathcal{S}\,\!</math>的[[一次變分]]<math>\delta\mathcal{S}\,\!</math>為零。用數學方程式表示，定義作用量為 

:<math>\mathcal{S}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,dt\,\!</math>。

其中，<math>L(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!</math>是系統的[[拉格朗日函數]]，[[廣義座標]]<math>\mathbf{q} = \left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots,\ q_{N}\right)\,\!</math>是時間的函數。

假若，<math>\mathbf{q}(t)\,\!</math>是系統的正確運動，則<math>\delta \mathcal{S}=0\,\!</math>。

從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式．假設<math>\mathbf{q}(t)\,\!</math>是系統的正確運動，讓<math>\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!</math>成為一個微擾<math>\delta\mathbf{q}\,\!</math>；微擾在軌道兩個端點的值是零：
:<math>\boldsymbol\varepsilon(t_{1})=\boldsymbol\varepsilon(t_{2})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0\,\!</math>。

取至<math>\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!</math>的一階微擾，作用量泛函的[[一次變分]]為
:<math>\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; 
\left[ L(\mathbf{q}+\boldsymbol{\varepsilon},\ \dot\mathbf{q} +\dot\boldsymbol{\varepsilon}) - L(\mathbf{q},\ \dot\mathbf{q})\right]dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left(
\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} + 
\dot\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}  \right)\,dt      
\,\!</math>。

這裏，將拉格朗日量<math>L\,\!</math>展開至<math>\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!</math>的一階微擾。

應用[[分部積分法]]於最右邊項目，
:<math>\delta \mathcal{S} =
\left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; 
\left(\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}
- \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,\!</math>。

邊界條件<math>\boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  0\,\!</math>使第一個項目歸零。所以，
:<math>\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot
\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,\!</math>。

要求作用量泛函<math>\mathcal{S}\,\!</math>平穩。這意味著，對於正確運動的任意微擾<math>\boldsymbol\varepsilon (t)\,\!</math>，一次變分<math>\delta \mathcal{S}\,\!</math>必須等於零：
:<math>\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot
\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt=0\,\!</math>。

請注意，還沒有對廣義座標<math>\mathbf{q}(t)\,\!</math>做任何要求。現在，要求所有的廣義座標都互相無關（[[完整系統|完整限制]]）。這樣，根據[[變分法基本引理]]，可以得到拉格朗日方程式：
:<math> \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - 
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} = \mathbf{0}\,\!</math>。

在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。

對應於[[廣義座標]]<math>q_{k}\,\!</math>的[[廣義動量]]<math>p_{k}\,\!</math>，又稱為'''共軛動量'''，定義為
:<math>p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial L}{\partial\dot q_{k}}\,\!</math>。

假設<math>L\,\!</math>不顯性地跟廣義座標<math>q_{k}\,\!</math>有關，
: <math>\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0\,\!</math>，

則廣義動量<math>p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{\partial L}{\partial\dot q_{k}}\,\!</math>是常數。在此種狀況，座標<math>q_{k}\,\!</math>稱為'''循環座標'''。舉例而言，如果用[[極座標系]]<math>(r,\ \theta,\ h)\,\!</math>來描述一個粒子的平面運動，而<math>L\,\!</math>與<math>\theta\,\!</math>無關，則廣義動量是守恆的[[角動量]]。

==參閱==
*[[拉格朗日力學]]
*[[哈密頓力學]]
*[[諾特定理]]
*[[愛因斯坦-希爾伯特作用量]]
*[[最小作用量原理]]

==外部連結==
*[http://www.eftaylor.com/pub/BibliogLeastAction12.pdf] {{Wayback|url=http://www.eftaylor.com/pub/BibliogLeastAction12.pdf |date=20200924113709 }}，Edwin F. Taylor加了註釋的參考書目。
*[http://www.eftaylor.com/software/ActionApplets/LeastAction.html 最小作用量原理] {{Wayback|url=http://www.eftaylor.com/software/ActionApplets/LeastAction.html |date=20201112014022 }}非常好地互動解釋。

==參考文獻==
*Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7.這領域最常引用的參考書。 
*[[列夫·朗道]]and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, ISBN 0-7506-2896-0.這本書一開始就講解最小作用量原理。 
*Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。
*Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3,  {{OCLC|35269891}}, pages 840–842。
*Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早書。 
* Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。

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{{经典力学国际单位}}
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