查看“︁余数”︁的源代码

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|G1 = Math
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在[[算术]]中，当两个[[整数]]相[[除法|除]]的结果不能以整数[[商數|商]]表示时，'''余数'''便是其“餘留下的量”。当余数为零时，被称为[[整除]]。

== 自然数的余数 ==
如果 <math>a</math> 和 <math>d</math> 是两个[[自然数]]，''<math>d</math>'' 非0，可以证明存在两个唯一的整数 <math>q</math> 和 <math>r</math> ，满足 <math>a = q*d+r</math> 且 <math>0 \leq r < d</math> 。其中， ''<math>q</math>'' 被称为[[商數]]， <math>r</math> 被称为'''余数'''。[[带余除法]]是一个关于如何计算余数的算法，其中提供了对此结果的证明。

=== 例子 ===
* 13除以10，商为1，余数为3，<math>13 = 1 * 10 + 3</math>或<math>13 \div 10 = 1 \dots 3</math>。
* 26除以4，商为6，余数为2，<math>26 = 6 * 4 + 2</math>或<math>26 \div 4 = 6 \dots 2</math>。
* 56除以7，商为8，余数为0，<math>56 = 8 * 7 + 0</math>或<math>56 \div 7 = 8 \dots 0</math>。
* 9除以10，商为0，余数为9，<math>9 = 0 * 10 + 9</math>或<math>9 \div 10 = 0 \dots 9</math>。

== 一般整数的余数 ==
如果 ''<math>a</math>'' 与 ''<math>d</math>'' 是整数，<math>d</math> 非零，那么余数 <math>r</math> 满足这样的关系：

:<math>a = qd+r</math>  , ''<math>q</math>'' 为整数，且<math>0\leq \left \vert r \right \vert < \left \vert d \right \vert</math>。

当这样定义时，可能导致两种可能的余数。例如，除法式子<math>\frac{-42}{-5}</math>的可以表达为

:<math>-42=9\times (-5)+3</math>（在数学工作者中使用较多）

或

:<math>-42=8\times (-5)+(-2)</math>.

即余数可能是3或−2。

这种对余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于處理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。在一些組合語言系統中，會有特殊的除法指令，設定余数和被除數同號。

在上面的例子，负余数为正余数减5得来，5即是除数 <math>d</math> 。通常，当除以 ''<math>d</math>'' 时，如果正余数为<math>r_1</math>，负余数为<math>r_2</math>，那么

:<math>r_2=r_1+d</math>。

Python 2.7语言定义的除法中，不能整除的情况下，余数与除数同号，例如<math>\frac{-42}{-5}</math>表达为

:<math>-42=8\times (-5)+(-2)</math>

而 <math>\frac{42}{-5}</math> 则表达为

:<math>42=(-9)\times (-5)+(-3)</math>

== 实数的余数 ==
当 ''<math>a</math>'' 和 <math>d</math> 是[[实数]]，且 ''<math>d</math>'' 非零，''<math>a</math>'' 除以 <math>d</math> 会得到另一个实数（商），没有所谓的''剩余的数''.但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商 ''<math>q</math>'' 和唯一的实数''r'' 使得：<math>a = qd+r</math>, <math>0\leq r <\left \vert d \right \vert</math>。在整数除法裡，余数可以要求为负，即满足关系：<math>-\left \vert d \right \vert < r \leq 0</math>。

如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要；尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义—参[[同餘]]。

== 参见 ==
*[[整除]]
*[[中国剩余定理]]
*[[同余]]
*[[輾轉相除法]]



[[Category:数论]]

[[Category:初等数学]]
[[Category:除法]]