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'''佐恩引理'''（{{lang|en|Zorn's Lemma}}）也被称为'''库拉托夫斯基-佐恩'''（Kuratowski-Zorn）引理，是[[集合论]]中一个重要的定理，其陳述為：

<blockquote>
在任何一非空的[[偏序集]]中，若任何[[链 (数学)|链]]（即[[全序]]的子集）都有[[上界]]，則此[[偏序集]]内必然存在（至少一枚）[[极大元]]。
</blockquote>

佐恩引理是以数学家[[马克斯·佐恩]]的名字命名的。

具体来说，假设<math>(P, \le)</math>是一个[[偏序集]]，它的一个子集<math>T</math>称为是一个[[全序]]子集，如果对于任意的<math>s, t \in T</math>有<math>s \le t</math>或<math>t \le s</math>。而<math>T</math>称为是有[[上界]]的，如果<math>P</math>中存在一个元素<math>u</math>，使得对于任意的<math>t \in T</math>，都有<math>t \le u</math>。在上述定义中，并不要求<math>u</math>一定是<math>T</math>中的元素。而一个元素<math>m \in T</math>称为是極大的，如果<math>x \in T</math>且<math>x \ge m</math>，则必然有<math>x = m</math>。

佐恩引理、[[良序定理]]和[[选择公理]]彼此等价，在集合论的[[策梅洛-弗蘭克爾集合論|策梅洛-弗蘭克爾公理]]基础上，上述三者中从任一出发均可推得另外两个。佐恩引理在数学的各个分支中都有重要地位，例如在证明[[泛函分析]]的[[哈恩-巴拿赫定理]]，證明任一[[向量空间]]必有[[基 (線性代數)|基]]，[[拓扑学]]中证明[[紧空间]]的[[乘积空间]]仍为[[紧空间]]的[[吉洪诺夫定理]]，和[[抽象代数]]中证明任何含幺环的真理想必然包含于一个[[极大理想]]和任何[[體 (數學)|域]]必然有[[代数闭包]]的过程中，佐恩引理都是关键。

== 应用举例 ==

佐恩引理的一个典型应用是证明任何一个环<math>R</math>必然有极大理想。用<math>P</math>来表示<math>R</math>的所有真[[理想 (环论)|理想]]（即<math>R</math>的所有[[双边理想]]，且该理想是<math>R</math>的真子集）。在<math>P</math>中引入一个[[偏序]]，定义为集合的[[包含]]关系，那么<math>P</math>中必然有一个极大元素，并且这个元素是<math>R</math>的真子集，从而<math>R</math>有一个极大理想。

为了应用佐恩引理，需要证明<math>P</math>的任何一个[[全序]]子集<math>T</math>都有一个上界，即存在一个理想<math>I</math>满足<math>I \subsetneq R</math>并且<math>I</math>比<math>T</math>中任何一个元素都大。现取<math>I</math>为<math>T</math>中所有理想的[[并运算|并]]。可以证明，<math>I</math>是一个理想：如果<math>a</math>和<math>b</math>是<math>I</math>中的两个元素，那么必然存在<math>T</math>中两个理想<math>J, K \in T</math>满足<math>a \in J, b \in K</math>。注意<math>T</math>是一个全序集，所以必然有<math>J \subset K</math>或者<math>K \subset J</math>，从而有<math>a, b \in J</math>或<math>a, b \in K</math>。無論是哪種情況，均有<math>a + b \in I</math>。而且，对于任何<math>r \in R,  a \in I</math>都可以证明<math>ar, ra \in I</math>。由此，<math>I</math>是<math>R</math>的一个理想。

现在考虑证明的核心部分：利用<math>I = R</math>充要于<math>1 \in I</math>，可以证明<math>I</math>一定是<math>R</math>的真子集。因为如果<math>1 \in I</math>，那么必然有某个<math>J \in T</math>满足<math>1 \in J</math>，这意味着<math>J = R</math>。但<math>R\notin P</math>，從而<math>R\notin T</math>，矛盾。

这样，利用佐恩引理，<math>P</math>必然包含一个極大元，而这个元素就是<math>R</math>的一个极大理想。

注意这个结论只在<math>R</math>是[[单位环]]的时候成立，在<math>R</math>不是单位环的情形下，一般而言这个结论是不成立的。

== 从选择公理证明佐恩引理的思路 ==

假设佐恩引理不成立，那么存在一个非空的偏序集<math>(P,\le)</math>，使得它的任何一个全序子集都有上界，但<math>P</math>中任何元素都不是极大元素。然後，对于任何一个全序子集<math>T</math>，可以定义一个相對應的元素<math>b(T)</math>，使其嚴格大于<math>T</math>的任意元素，因為<math>T</math>有一個上界，<math>P</math>中又必然存在一個元素嚴格大於這個上界。为了确實地定义函數<math>b</math>，我們需要用到[[选择公理]]。

利用[[函数]]<math>b</math>，可以構造<math>P</math>的一个全序子集<math>a_0 < a_1 < \dots </math>，这里作为[[下标]]的[[指标集]]不仅可以是[[自然数]]，也可以是[[序数]]。事实上，所有序数組成一個真類，粗略地說，可以認為序数的數目大于任何集合的基数，<math>P</math>也不例外。所以这个[[序列]]終會[[穷尽]]，這樣就导出了矛盾。

上述的序列可以利用[[超限归纳法]]构造：<math>a_0</math>可以选择为<math>P</math>中任意元素，而对于任意一个序数<math>w</math>，定义<math>a_w = b(\{a_v \mid v < w\})</math>，注意<math>a_v</math>是全序的，所以<math>a_w</math>的定义是合理的。

事实上这个证明的结论略强于佐恩引理：

<blockquote>
如果<math>P</math>是一个[[偏序]]集，并且它的任何一个[[良序]]子集都有上界，那么对于<math>P</math>的任意元素<math>x</math>而言，<math>P</math>中有一个大于等于<math>x</math>的極大元。换言之，存在一个可以与<math>x</math>比较的極大元。
</blockquote>

我们也可以直接应用选择公理证明佐恩引理：

根据选择公理，对于一个偏序集<math>P</math>的所有非空子集<math>X</math>在存在一个选择函数<math>f</math>使得<math>f(X)\in X</math>。从<math>P</math>本身开始：考虑<math>p_0 = f(P)</math>，如果<math>p_0</math>是极大元素则终止，否则构造<math>p_1 = f(X)</math>，这里<math>X = \{x \in P | p_0 < x\}</math>，如果<math>p_1</math>是极大元素则终止，否则用相同的技术构造<math>p_2</math>。

于是我们获得了<math>P</math>一个全序子集:
<blockquote>
<math>p_0 < p_1 < p_2 <... < p_{\omega} <\ldots</math>
</blockquote>

根据假设上述全序子集是有上界的。如果上界是上述全序子集中的元素则终止，否则继续上述步骤，最终总能够穷尽<math>P</math>

不过需要说明的是上述证明并没有阐明为何最终能够穷尽<math>P</math>，是一个不够严格的证明。见于 Lectures on the Hyperreals -- An Introduction to Nonstandard Analysis 一书。(亦可參考[[哈特格斯数|哈特格斯數]]和{{link-en|Bourbaki-Witt theorem}}兩個條目)

== 历史 ==

佐恩引理在1922年首先被[[库拉托夫斯基]]所发现，1935年[[马克斯·奥古斯特·佐恩|佐恩]]亦独立地发现此结论。

== 参见 ==
* [[集合 (数学)|集合]]
* [[选择公理]]
* [[良序定理]]

== 文献 ==
{{refbegin}}
* Wolk E S. SOME FORMS OF ZORN's LEMMA[J]. Canadian Mathematical Bulletin, 1983, 26(3): 365.
{{refend}}

[[Category:引理]]
[[Category:选择公理]]
[[Category:序理论|Z]]
[[Category:集合論引理]]