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在数学中，'''低维拓扑'''是[[拓扑学]]中研究二、三、四维[[流形]]或更广义的拓扑空间的一个分支。有代表性的研究主题包括[[3-流形|三维流形]]、{{link-en|四维流形|4-manifold}}、扭结和[[辫群]]等的结构理论。低维拓扑是[[几何拓扑学]]的一部分。

== 历史 ==
自1960年起，一系列的论文逐渐引起了数学界对低维拓扑的关注。1961年，斯梅尔（{{lang-en|Smale}}）证明了在五维以上，[[庞加莱猜想]]是成立的<ref>Stephen Smale, ''Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four.''  Ann. of Math. (2) 74 1961 391--406. {{MathSciNet|id=0137124}}</ref>。对于一维二维的[[庞加莱猜想]]，人们早已熟知。于是在当时，三维四维的[[庞加莱猜想]]似乎是最难以证明的，因为在高维度中所使用的证明方法并不适用于三维四维的情形。1980年代初，[[威廉·瑟斯顿]]（{{lang-en|Thurston}}）的[[几何化猜想]]<ref>Thurston, W. P. ''Three-Dimensional Manifolds, Kleinian Groups and Hyperbolic Geometry.'' Bull. Amer. Math. Soc. 6, 357-381, 1982.</ref>，预示着低维几何和低维拓扑有紧密的关系。1980年代早期，[[沃恩·琼斯]]（{{lang-en|Vaughan Jone}}）发现了[[琼斯多项式]]<ref>[https://math.berkeley.edu/~vfr/jones.pdf Introduction to Jones Polynomial] {{Wayback|url=https://math.berkeley.edu/~vfr/jones.pdf |date=20171110200811 }}Vaughan F.R. Jones.[2005-8-12]</ref>，将[[纽结理论]]引向新的研究方向，并且琼斯多项式中含藏着低维拓扑和[[数学物理]]的联系。

== 二维拓扑空间 ==
{{Main|拓扑}}

[[曲面]]是一个二维的[[拓扑流形]]。我们最熟悉的例子是[[欧几里得空间]]中三维实心体的边界，例如三维球体的边界。除此之外，也有一些曲面不能被[[嵌入 (数学)|嵌入]]三维[[欧式空间]]中，例如[[克莱因瓶]]。

=== 闭曲面的分类 ===
''闭曲面的分类理论''陈述如下<ref name='conway'>{{citation | title = Conway's ZIP Proof | first1 = George K. | last1 = Francis | first2 = Jeffrey R. | last2 = Weeks | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 106 | number = 5 | date = May 1999 | doi = 10.2307/2589143 | url = http://new.math.uiuc.edu/zipproof/zipproof.pdf | postscript = , page discussing the paper: [http://new.math.uiuc.edu/zipproof/ On Conway's ZIP Proof] | deadurl = yes | archiveurl = https://web.archive.org/web/20100612090500/http://new.math.uiuc.edu/zipproof/zipproof.pdf | archivedate = 2010-06-12 | accessdate = 2017-11-28 }}</ref>：任意连通的[[曲面|闭曲面]]属于以下三种类别之一

# 球面
# ''g''个[[环面]]的[[连通和]]，这里<math>g \geq 1</math>
# ''k''个[[实射影平面]]的[[连通和]]，这里<math>k \geq 1</math>

前两个类别的曲面是[[可定向性|可定向的]]，若把[[球面]]当成是0个[[环面]]的[[连通和]]，那么第一个类别可归入第二个类别。第二个类别中，数字''g''被叫做曲面的[[亏格]]。曲面的[[亏格]]和[[欧拉示性数]]有一定联系：对于''g''个环面的[[连通和]]，它的欧拉示性数为{{nowrap|2 &minus; 2''g''}}.

== 三维拓扑空间 ==
{{Main|3-流形|三维流形}}
=== 定义 ===
如果一个[[拓扑空间]]<math> M </math>满足以下条件，那么<math> M </math>是一个三维拓扑流形<ref>{{cite book|author1=John M. Lee|title=Introduction to Smooth Manifold|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-1-4419-9981-8|page=3|edition=2|accessdate=2017-11-27}}</ref>
# <math> M </math>是[[第二可数空间]]
# <math> M </math>是[[豪斯多夫空间]]
# <math> M </math>上每一个点都被包含于一个[[开集]]，而且这个[[开集]]和三维[[欧式空间]]同胚

=== 三维流形理论 ===
在三维情况，[[拓扑流形]]、分段线性流形、[[光滑流形]]三个范畴都等价，因此很少会刻意区分三维流形是属于哪一类。三维流形中的现象和其他维度的现象有着巨大的差别，因此有许多研究方法专门适用于三维流形，而不能被推广至更高的维度。三维流形的特殊性，导致了三维流形和许多领域有着密切的联系，例如：[[纽结理论]]、[[几何群论]]、[[双曲几何]]、[[数论]]、[[拓扑量子场论]]、[[规范场论]]、{{link-en|Floer同调论|Floer homology}}、[[偏微分方程]]。三维流形理论被划分为低维拓扑或[[几何拓扑学]]的一部分。

== 参考来源 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
* [[羅比恩·卡比]]的 [http://math.berkeley.edu/~kirby/problems.ps.gz 低维拓扑中的问题]{{Wayback|url=http://math.berkeley.edu/~kirby/problems.ps.gz |date=20171201131442 }}{{snd}}postscript文件 (1.4&nbsp;MB)
* 马克·布莱特汉姆的（{{lang-en|Mark Brittenham}}）[https://web.archive.org/web/20171209152730/http://www.math.unl.edu/~mbrittenham2/ldt/ldt.html 低维拓扑的相关链接]

{{拓扑学}}

[[Category:拓扑学]]
[[Category:数学分支]]
[[Category:几何拓扑学]]