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{{Refimprove|time=2024-01-10T13:06:32+00:00}}
[[力學]]中的'''位移場'''是指物體當中的所有點，其[[位移]]向量所組成的[[向量場]]<ref>{{cite web |url=https://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En221/Notes/Kinematics/Kinematics.htm |title=Continuum Mechanics - Kinematics |website=School of Engineering |publisher=Brown University |access-date=2018-07-25 |archive-date=2024-05-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240507154937/https://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En221/Notes/Kinematics/Kinematics.htm |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite web |url=https://ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/2-080j-structural-mechanics-fall-2013/course-notes/MIT2_080JF13_Lecture2.pdf |title=2.080 Lecture 3: The Concept of Stress, Generalized Stresses and Equilibrium |website=MIT OpenCourseWare |access-date=2018-07-25 |archive-date=2022-02-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220205212343/https://ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/2-080j-structural-mechanics-fall-2013/course-notes/MIT2_080JF13_Lecture2.pdf |dead-url=no }}</ref>。位移向量以一個點或是粒子原來的位置為準，標明其新的位置。例如，固體[[形變]]的效果就可以用位置場來表示。
==公式==
在考慮位移之前，需要定義形變之前的狀態。此狀態下，所有點的座標都知道，而且可以用以下函數描述：
<math display="block">\vec{R}_0: \Omega \to P</math>
其中
*<math>\vec{R}_0</math>是位移向量
*<math>\Omega</math>是物體的所有點
*<math>P</math>是物體的所有點在空間中的位置。

此一狀態也常常是沒有外力的狀態。

給定物體的其他狀態，其中所有點的座標可以用<math>\vec{R}_1</math>來描述，則二個物體狀態之間的位移場為：
<math display="block">\vec{u} = \vec{R}_1 - \vec{R}_0</math>
其中<math>\vec{u}</math>是位移場，物體的每一個點都有一個對應的位移向量。

==位移分量==
[[File:Displacement of a continuum.svg|upright=1.35|thumb|連續體的運動]]
物體的位移可以分為二個分量：[[剛體]]位移以及形變。
* 剛體位移包括物體的[[平移]]或[[旋轉]]，物體的形狀、大小都維持不變。
* 形變表示物體形狀或大小的變化，從未形變的組態<math>\kappa_0(\mathcal B)</math>變成形變後的組態<math>\kappa_t(\mathcal B)</math>。

連續體組態的變化可以用位移場來描述。位移場是物體中所有點的位移向量組合成的場，可以找到形變後組態和形變前組態之間的關係。物體中二點之間的距離改變，若且唯若物體出現形變。若物體有位移，但沒有形變，即為剛體運動。

==位移梯度張量==
<!--{{see also|Lagrangian and Eulerian specification of the flow field}}--->
依照Lagrange描述法及Eulerian描述法，可以定義兩種位移梯度張量。

粒子{{mvar|i}}的位移可以表示為下式。未變形組態<math>P_i</math>的粒子，在變形組態<math>p_i</math>，其[[位移]]向量為<math>p_i - P_i</math>，以下表示為<math>u_i</math>或<math>U_i</math>。

===物質坐標（Lagrangian描述法）===
用<math>\mathbf{X}</math>代替<math>P_i</math>，用<math>\mathbf{x}</math>代替<math>p_i\,\!</math>，這二個都是從坐標系統原點到對應點的向量，可得位移向量的Lagrangian描述法：
<math display="block">\mathbf u(\mathbf X,t) = u_i \mathbf e_i</math>
其中<math>\mathbf e_i</math>是定義空間（{{le|局部参考框架|lab frame}}）坐標系統[[基 (線性代數)|基]]的正交[[單位向量]]。

若用物質坐標表示位移場，<math>\mathbf u</math>會是<math>\mathbf X</math>的函數，位移場是：
<math display="block">\mathbf u(\mathbf X, t) = \mathbf b(t)+\mathbf x(\mathbf X,t) - \mathbf X \qquad \text{or}\qquad u_i = \alpha_{iJ} b_J + x_i - \alpha_{iJ} X_J</math>
其中<math>\mathbf b(t)</math>是表示剛體移動的位移向量。

位移向量相對物質坐標的[[偏导数]]可得物質位移梯度張量<math>\nabla_{\mathbf X} \mathbf u\,\!</math>。可得
<math display="block">
\nabla_{\mathbf X}\mathbf u = \nabla_{\mathbf X}\mathbf x - \mathbf R = \mathbf F - \mathbf R \qquad \text{or} \qquad \frac{\partial u_i}{\partial X_K} = \frac{\partial x_i}{\partial X_K} - \alpha_{iK} = F_{iK} - \alpha_{iK}</math>
其中<math>\mathbf F</math>是物質[[有限应变理论#位移梯度張量|位移梯度張量]]，而<math>\mathbf{R}</math>為旋轉。

===空間坐標（Eulerian描述法）===
在Eulerian描述法下，未變形組態的粒子<math>P</math>，延伸到其變形組態的向量為位移向量：
<math display="block">\mathbf U(\mathbf x,t) = U_J\mathbf E_J</math>
其中<math>\mathbf E_i</math>是定義物質坐標系統的基的正交單位向量。

若用空間坐標表示位移場，<math>\mathbf U</math>會是<math>\mathbf x</math>的函數，位移場是：
<math display="block">\mathbf U(\mathbf x, t) = \mathbf b(t) + \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x,t) \qquad \text{or}\qquad U_J = b_J + \alpha_{Ji} x_i - X_J</math>

空間導數，也就是位移向量相對空間坐標的偏导数，即為空間位移梯度張量<math>\nabla_{\mathbf x} \mathbf U\,\!</math>，可得
<math display="block">
\nabla_{\mathbf x}\mathbf U = \mathbf R^{T} - \nabla_{\mathbf x}\mathbf X = \mathbf R^{T} -\mathbf F^{-1} \qquad \text{or} \qquad \frac{\partial U_J}{\partial x_k} = \alpha_{Jk} - \frac{\partial X_J}{\partial x_k} = \alpha_{Jk} - F^{-1}_{Jk} \,,</math>
其中<math>\mathbf F^{-1} = \mathbf H</math>空間位移梯度張量。
===物質坐標和空間坐標的關係===
<math>\alpha_{Ji}</math>是物質坐標和空間坐標的單位向量<math>\mathbf E_J</math>及<math>\mathbf e_i\,\!</math>的[[方向餘弦]]，因此
<math display="block">\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \alpha_{Ji} = \alpha_{iJ} </math>

<math>u_i</math>和<math>U_J</math>的關係為
<math display="block">u_i=\alpha_{iJ}U_J \qquad \text{or} \qquad U_J=\alpha_{Ji} u_i</math>

已知
<math display="block">\mathbf e_i = \alpha_{iJ} \mathbf E_J</math>
因此
<math display="block">\mathbf u(\mathbf X, t) = u_i\mathbf e_i = u_i(\alpha_{iJ}\mathbf E_J) = U_J \mathbf E_J = \mathbf U(\mathbf x, t)</math>

===結合變形組態以及未變形組態的坐標系統===
常常會疊合變形組態及未變形組態的坐標系統，是在<math>\mathbf b = 0\,\!</math>下的結果，而方向餘弦變成[[克罗内克δ函数]]
<math display="block">\mathbf E_J \cdot \mathbf e_i = \delta_{Ji} = \delta_{iJ}</math>

在材料（未變形）的坐標裡，位移可以表示為：
<math display="block">\mathbf u(\mathbf X, t) = \mathbf x(\mathbf X,t) - \mathbf X \qquad \text{or}\qquad u_i = x_i - \delta_{iJ} X_J</math>

在空間（已變形）的坐標裡，位移可以表示為：
<math display="block">\mathbf U(\mathbf x, t) = \mathbf x - \mathbf X(\mathbf x,t) \qquad \text{or}\qquad U_J = \delta_{Ji} x_i - X_J </math>

==相關條目==
*[[應力]]
*[[应变 (物理学)]]

==參考資料==
{{reflist}}
[[Category:连续介质力学]]
[[Category:材料科學]]
[[Category:矢量物理量]]