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'''位力定理'''（{{lang-en|Virial theorem}}，又稱'''维里定理'''、'''均功定理'''）是[[力學]]中描述穩定的多自由度孤立體系的總[[動能]]和總[[勢能]]時間平均之間的數學關係。考慮一個有N個質點的體系，其數學表達式爲：
:<math>\langle T \rangle = - \frac 1 2 \sum_{k=1}^N \langle \boldsymbol F_k \cdot \boldsymbol r_k \rangle</math>
其中：[[角括號]]表示對時間取平均，<math>T</math>是系统内部的总动能，<math>\boldsymbol F_k</math>是第k個質點所受的力，<math>\boldsymbol r_k</math>是第k個質點的位置向量；等式右邊稱作'''均位力積'''（{{lang-en|virial}}，簡稱'''位力'''），反映體系內相互作用強度。英語virial一詞由德國物理學家[[魯道夫·克勞修斯]]於1870年根據[[拉丁語]]單詞[[wikt:en:vis#Latin|vīs]]（意爲力、能量）命名。<ref>{{cite journal | last = Clausius | first = RJE | year = 1870 | title = On a Mechanical Theorem Applicable to Heat | journal = Philosophical Magazine |series=Series 4 | volume = 40 | issue = 265 | pages = 122–127|doi=10.1080/14786447008640370}}</ref>

特別地，若系統内任何粒子兩兩之間的力來自與粒子間距離<math>r</math>的<math>n</math>次冪成正比的勢能<math>V(r) = \alpha r^n</math>（其中<math>\alpha ,n</math>為常數），則定理簡化為：
:<math>2 \langle T \rangle = n \langle V_\text{Total} \rangle</math>

即：體系的總動能2倍等於總勢能的n倍。對於[[引力]]勢能，這裏的<math>n = -1</math>。

位力定理的一個意義在於，它允許計算平均總動能，即便是對於那些無法精確解的非常複雜的系統，例如在[[統計力學]]中考慮的那些；根據[[能量均分定理]]，該平均總動能與系統[[溫度]]有關。然而，維里定理不依賴於溫度的概念，甚至適用於不處於[[熱平衡]]的系統。維里定理已以各種方式推廣，特別是[[張量]]形式。

==歷史==

==命題推導==
===簡單例子===
考慮{{math|1=''N'' = 2}}個質量相同的質點構成的孤立體系，它們受[[萬有引力]]相互作用。假設兩個質點分別以{{math|'''v'''<sub>1</sub>(''t'')}}和{{math|1='''v'''<sub>2</sub>(''t'') = −'''v'''<sub>1</sub>(''t'')}}的速度（大小均為{{mvar|v}}，方向相反）圍繞共同質心做[[匀速圆周运动]]，半徑為{{mvar|r}}，兩者分別受到作用力{{math|'''F'''<sub>1</sub>(''t'')}}和{{math|1='''F'''<sub>2</sub>(''t'') = −'''F'''<sub>1</sub>(''t'')}}（大小均爲{{mvar|F}}，方向相反）。則體系的時間平均縂動能為：
:<math>\langle T \rangle = \sum_{k=1}^N \frac12 m_k \left|\mathbf{v}_k \right|^2 = \frac12 m|\mathbf{v}_1|^2 + \frac12 m|\mathbf{v}_2|^2 = mv^2</math>
以共同質心為[[原點]]，兩者的位置向量分別爲{{math|'''r'''<sub>1</sub>(''t'')}}及{{math|1='''r'''<sub>2</sub>(''t'') = −'''r'''<sub>1</sub>(''t'')}}（大小均爲常數{{mvar|r}}）。引力方向朝向原點，與位置向量方向相反，故{{math|1='''F'''<sub>1</sub>(''t'') ⋅ '''r'''<sub>1</sub>(''t'') = '''F'''<sub>2</sub>(''t'') ⋅ '''r'''<sub>2</sub>(''t'') = −''Fr''}}。又，[[向心力]]大小等於萬有引力大小：{{math|1=''F'' = ''mv''<sup>2</sup>/''r''}}。代入得：
:<math>-\frac12 \sum_{k=1}^N \bigl\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \bigr\rangle = -\frac12(-Fr - Fr) = Fr = \frac{mv^2}{r} \cdot r = mv^2 = \langle T \rangle</math>

===一般推導===



'''預先知識'''

對於 Virial theorem 的推導, 將需要用到[[齐次函数]]的如下性質, 
既當 <math>f(\vec{x})</math> 為 <math>k</math> 次 齊次函數時, 有:

<math>\frac{d f(\alpha \vec{x})}{d(\alpha \vec{x})} \cdot \vec{x} = \frac{\partial}{\partial{\alpha}}[f(\alpha \vec{x})] 
= \frac{\partial[\alpha^k f(\vec{x})]}{\partial \alpha} = k \alpha^{k-1} f(\vec{x})</math>

對於<math>a=1</math>時有:

<math>\vec{x} \vec{ \nabla}f(\vec{x} )= k f(\vec{x})</math>


'''具體推導'''

注意到'''[[动能|動能]]<math>T</math>是一個關於速度'''<math>\vec{v}</math>'''的2次齊次函數''':

<math>\vec{v}\cdot \frac{\partial T}{\partial \vec{v}} = 2T</math> , 同時有 <math>\frac{\partial{T}}{\partial\vec{v}} =  \vec{p}</math>,  從而得到

<math>\  2 T = \vec{v} \cdot \vec{p} = \frac{d}{d t}(\vec{p} \cdot \vec{x}) - \dot{\vec{p}} \cdot \vec{x}</math>

計算上式'''對於時間<math>\Delta t</math>的平均''':

<math><2T>_{\Delta t} = \frac{1}{\Delta t}  \int_{0}^{\Delta t}(...)\text{( 等 式 右 邊 )}\ dt</math>

我們關注<math>\Delta t \rightarrow \infty</math> 的情況, 假設系統的運動是有限的 (<math>(\vec{p} \cdot \vec{x})</math>不會有<math>\infty</math>出現的情況), 此時等式右邊的前半部分將趨近於<math>0</math>:

<math>lim_{\Delta t \rightarrow \infty} \frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{\Delta t}\frac{d}{dt}(\vec{p} \cdot \vec{x})dt  
=  lim_{\Delta t \rightarrow \infty} \frac{(\vec{p}\cdot \vec{x})|_{(\Delta t)} - (\vec{p} \cdot \vec{x})|_{(0)}}{\Delta t} \rightarrow 0</math>

我們得到:

<math>2<T>_{t} = -<\dot{\vec{p}} \cdot \vec{x}>_t</math>

<math>\dot{\vec{p}}</math>可以'''通過系統的勢能 <math>V(\vec{x})</math> 寫出''': <math>\dot{\vec{p}} = - \vec{\nabla}V(\vec{x})</math>; 另外我們最終假設'''勢能 <math>V(\vec{x})</math> 為,<math>k</math>次齊次函數''', 並利用預先知識中<math>a=1</math>時的等式 就能夠得到位力定理:

<math>2 <T>_t = -<\dot{\vec{p}}\cdot \vec{x}>_t = <\vec{x}\cdot \vec{\nabla}V(\vec{x})>_t = k<V(\vec{x})>_t</math>

===與質點間勢能之關聯===

===對於冪定律力===

===關於時間平均===

==一般化==

===引入電磁場===

===相對論均匀系統===

==各學科中的應用==
===量子力學===

===狹義相對論===

===天體物理學===

==== 位力質量、位力半徑 ====

==== 太阳模型 ====
<math>\frac{dP}{dr} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} \Rightarrow dP=-\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^{2}}dr.</math>

考虑恒星的位力定理在天体物理学中的应用。如果将恒星的物质视为流体，则可以使用流体静力平衡条件<ref>{{Cite web|title=Hydrostatic Equilibrium|url=http://burro.astr.cwru.edu/Academics/Astr221/StarPhys/hydrostat.html|website=burro.astr.cwru.edu|access-date=2024-05-10|archive-date=2024-05-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20240510053849/http://burro.astr.cwru.edu/Academics/Astr221/StarPhys/hydrostat.html|dead-url=no}}</ref>来考虑恒星。这个假设条件允许将恒星的引力与其内部的压力建立关系，从而将引力势能与内能联系起来，即位力定理。基于引力势能 <math>\Omega \propto r^{-1}</math>，我们期待内能与势能之间的关系为 <math>E_{\text{int}} = -\frac{1}{2}\Omega</math>。

下面是更详细的推导过程：将恒星视为正球体来简化推导过程。气压 <math>P</math> 是半径 <math>r</math> 的函数：

<math>\frac{dP}{dr} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} \Rightarrow dP=-\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^{2}}dr.</math>

对于理想气体，内能 <math>E_{\text{int}}</math> 为：

<math>E_{\text{int}} = \frac{3}{2}Nk_{B}T = \frac{3}{2}\frac{M}{m_g}k_{B}T,</math>

其中 <math>m_g</math> 是粒子的平均质量，<math>M</math> 是恒星的质量，<math>k_{B}</math> 是玻尔兹曼常数，<math>T</math> 是温度。

考虑恒星的静力平衡条件，同时乘以体积 <math>V=\frac{4\pi r^3}{3}</math>，并积分，得到：

<math>\int_0^R Vdp = -\frac{1}{3}\int_0^R \frac{Gm(r)}{r}\rho(r)4\pi r^2 dr = -\frac{1}{3}\int_0^R \frac{Gm(r)}{r}dm(r).</math>

右侧积分包含了恒星的重力势能 <math>\Omega = -\int_0^R \frac{Gm(r)}{r}dm(r)</math>，所以我们可以得到：

<math>\int_0^R Vdp = \frac{1}{3}\Omega.</math>

对左侧积分使用分部积分可得：

<math>\int_0^R VdP = PV|_0^R - \int_0^R PdV = -\int_0^R PdV,</math>

其中 <math>PV|_0^R = 0</math>，因为恒星最外层压强为0，最内侧体积为0。对于理想气体，<math>PV = Nk_{b}T</math>，将其与理想气体内能公式结合，得到单位体积内的内能：

<math>U =  \frac{E_{\text{int}}}{V} = \frac{3}{2}P \Rightarrow P = \frac{2}{3} U,</math>

将其应用到上面的积分，得到：

<math>-\int_0^R PdV = -\frac{2}{3} \int_0^R UdV = -\frac{2}{3}E_{\text{int}}.</math>

将两侧积分结果相等，得到：

<math>-\frac{2}{3}E_{\text{int}} = \frac{1}{3}\Omega \Rightarrow E_{\text{int}} = -\frac{1}{2} \Omega.</math>

这就是恒星在流体静力平衡下的位力定理。

通过这个公式，可以推算太阳的平均温度 <math>\langle T_{\odot} \rangle</math> 大约为 <math>10^6</math> 开尔文，对应的内能大约为 <math>1 \text{ keV}</math>。太阳的表面温度仅在 <math>5774</math> 开尔文左右，因此可以认为太阳的内部温度比表面高很多。由于电子的结合能仅为 <math>1 \text{ eV}</math>，而太阳的平均内能远大于这个数值，因此可以认为太阳是离子气体。



===統計物理===
在統計物理中，{{來源請求|有求一般熱力學系宗宏觀壓強張量的'''位力展開'''}}：
:<math>\mathbf{p}=\frac 2 V \left ( \frac 1 2 \left \langle \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{v}_i \otimes \mathbf{v}_i \right \rangle + \frac 1 2 \left \langle \sum_{i<j}  \boldsymbol r_{ij} \otimes \boldsymbol F_{ij} \right \rangle \right)</math>
亦即體系壓強爲（與動能相關的）動理壓強和（與相互作用相關的）內壓強之和。上式中的第二項即爲均位力積相關項。

== 引用 ==
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[[Category:天体力学]]
[[Category:經典力學]]
[[Category:物理定理]]
[[Category:動力學]]