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'''伽辽金方法（Galerkin method）'''是由俄罗斯数学家[[鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金]]（俄文：Борис Григорьевич Галёркин 英文：[[Boris Galerkin]]）发明的一种数值分析方法。应用这种方法可以将求解[[微分方程]]问题（通过方程所对应[[泛函]]的[[变分原理]]）简化成为[[线性方程组]]的求解问题。而一个高维（多变量）的线性方程组又可以通过[[线性代数]]方法简化，从而达到求解微分方程的目的。

伽辽金法采用微分方程对应的[[弱形式]]，其原理为通过选取有限多项[[试函数]]（又称'''基函数'''或'''形函数'''），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（'''权函数为试函数本身'''）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且[[自然边界条件]]能够自动满足。

必须强调指出的是，作为[[加权余量法]]的一种试函数选取形式，伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解（仅仅是加权平均满足原方程，并非在每个点上都满足）。

因为伽辽金方法的妙处在于研究它们的抽象方法，所以我们首先给出它们的抽象推导。最后我们再给出应用的例子。


常常用到伽辽金法的领域有：
* [[有限元方法]]
* [[Krylov空间法]]

==通过抽象问题的简介==

===一个问题的弱形式===
我们通过一个抽象问题来引入伽辽金方法，将问题表示成在一个[[希尔伯特空间]]<math>V</math>上的[[弱形式]]，也就是，求解<math>u\in V</math>使得对于所有<math>v\in V</math>

:<math>a(u,v) = f(v)</math>

成立。这里，<math>a(.,.)</math>是一个[[双线性型]]表达式,即<math>a(u,v) = u^Tav=f(v)</math>，<math>f</math>是一个<math>V</math>上的线性形表达式。

===伽辽金离散化===
选取一个''n'' 维子空间<math>V_n \subset V</math>，然后求解问题在子空间中的投影：求<math>u_n\in V_n</math>使得对于所有<math>v_n\in V_n</math>

:<math>a(u_n,v_n) = f(v_n).</math>

我们称这个方程为伽辽金方程。注意方程形式没有改变，但是求解域改变了。

===伽辽金正交性===
这是使得伽辽金方法非常有效的关键性质。因为<math>V_n \subset V</math>，我们可以取<math>v_n</math>为原方程的一个[[试矢量]]。带入并相减，便得到误差的伽辽金正交性关系

:<math> a(e_n, v_n) = a(u,v_n) - a(u_n, v_n) = f(v_n) - f(v_n) = 0.</math>

这里<math>e_n = u-u_n</math>是真实解<math>u</math>和伽辽金方程的解<math>u_h</math>之间的误差。

===矩阵形式===
因为伽辽金方法的目标是将问题简化为[[线性方程组]]，我们来构造它的[[矩阵]]形式，以便利用计算机进行数值求解。

令<math>e_1, e_2,\ldots,e_n</math>为<math>V_n</math>空间中的一组[[基_(線性代數)|基]]。则显然依次选取这些基矢量作为伽辽金方程的试矢量是''充分的''，也即：求解<math>u_n \in V_n</math>使得

:<math>a(u_n, e_i) = f(e_i) \quad i=1,\ldots,n.</math>

用上述基矢量表示出<math>u_n</math>：<math>u_n = \sum_{j=1}^n u_je_j</math>，将其代入上面的方程得到

:<math>a(\sum u_je_j, e_i) = \sum u_j a(e_j, e_i) = f(e_i) \quad i=1,\ldots,n.</math>

这样我们就得到了上面这组<math>Au=f</math>型的线性方程组，式中

:<math>a_{ij} = a(e_j, e_i), \quad f_i = f(e_i).</math>

====矩阵的对称性====
由于矩阵项的定义，伽辽金方程的系数矩阵是[[对称矩阵]]的[[充要条件]]是双线性型表达式<math>a(.,.)</math>是对称的。

==伽辽金方法的进一步分析==
这里，我们只讨论对称[[双线性型]]，也即
:<math>a(u,v) = a(v,u).</math>
虽然伽辽金方法并不要求一定对称，但这一限制使得标准理论的应用变得简单的多。而且，非对称情形的分析可能需要用到[[彼得罗夫－伽辽金方法]]。

下面我们分两步分析上述方法。第一步，论证伽辽金方程在[[哈达玛]]意义下是[[適定性問題|适定的]]，因此存在唯一解。第二步，讨论伽辽金解<math>u_n</math>的误差大小。

分析过程主要依据[[双线性型]]的两个性质：
* 有界性：对于所有<math>u,v\in V</math>，下式成立
*:<math>a(u,v) \le C \|u\|\, \|v\|</math>
* 椭圆性：对于所有<math>u\in V</math>，下式成立
*:<math>a(u,u) \ge c \|u\|^2</math>
根据Lax-Milgram定理（参看[[弱形式]]），这两条性质保证了原问题的弱形式的适定性。下面章节中的所有[[范数]]都是使得上面的不等式成立的范数（这些范数通常称为能量范数）。

===伽辽金方程的适定性===
因为<math>V_n \subset V</math>，双线性型的有界性和椭圆性对于<math>V_n</math>也成立。因此，伽辽金问题的适定性实际上继承自其原问题的适定性。

===准最佳近似（Céa引理）===
真实解和伽辽金解之间的误差<math>e_n = u-u_n</math>有如下估计
:<math>\|e_n\| \le \frac{C}{c} \inf_{v_n\in V_n} \|u-v_n\|.</math>

上式翻译成文字语言就是：伽辽金解<math>u_n</math>的误差（和真实解<math>u</math>的差）能控制在<math>V_h</math>中最优解矢量的误差的<math>C/c</math>倍以下（在[[量级]]上）。特别有用的是，从此对误差的估计可以只在空间<math>V_n</math>中进行考虑，而完全不用回到求解的方程。

====证明====
因为证明非常简单，并且是各种伽辽金法的基本原理依据，因此简单介绍如下：
根据双线性型的椭圆性和有界性（下式中的两个不等号），以及伽辽金法的正交性（下式中间的等号），我们对于任意<math>v_n\in V_n</math>有：

:<math>c\|e_n\|^2 \le a(e_n, e_n) = a(e_n, u-v_n) \le C \|e_n\| \, \|u-v_n\|.</math>

全式除以<math>c \|e_n\|</math>并对所有可能的<math>v_h</math>取[[下确界]]得到该引理。

==例子==
<!--待补充-->
#在[[有限元法]]中应用[[泊松方程]]
#应用到[[共轭梯度法]]

==文献==
通常，伽辽金法不是文献的单独主题。它们和它们的应用同时讨论。
因此，读者可以参考[[有限元方法]]的教科书。

譬如

*P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978


在这个框架下的Krylov空间法的分析可以在这里找到：

* Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, 2003


==外部链接==
* [https://web.archive.org/web/20060509214203/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/GalerkinMod.html 伽辽金法（英文）（Galerkin's Method）]
* [http://mathworld.wolfram.com/GalerkinMethod.html MathWorld对伽辽金法的介绍]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/GalerkinMethod.html |date=20051224175837 }}



{{Authority control}}
[[Category:数值微分方程]]