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{{NoteTA
|G1 = Math
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|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
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}}
[[File:Lattice diagram of Q adjoin the positive square roots of 2 and 3, its subfields, and Galois groups.svg|alt=显示相应伽罗瓦群的子群与子域的格。|thumb|400x400px|<math>\mathbb{Q}</math>对根号2、3的扩张、其子域及伽罗瓦群的[[格 (数学)|格]]图。]]
[[数学]]中，特别是[[抽象代数]]理论中，得名于法國數學家[[埃瓦里斯特·伽罗瓦]]的'''伽罗瓦理论'''提供了[[域论]]和[[群论]]之间的联系，即[[伽罗瓦理论基本定理]]。这样可以将域论中的某些问题还原到群论，使其更简单、更易理解。

若方程的根可用只涉及有限次[[整数]]、[[方根]]与4种基本[[算术#算術運算|算术运算]]的式子表示，就称方程是'''根式可解'''的。伽罗瓦将[[多项式]]的[[根 (数学)|根]]引入为研究课题，这样能根据多项式根[[置换群]]的性质描述'''根式可解'''[[多项式方程]]的特征。这广泛地概括了[[阿贝尔-鲁菲尼定理]]，其指出五次及以上的一般多项式不是根式可解的。

伽罗瓦理论证明古典的[[倍立方]]、[[三等分角]]按其表述不可解，描述[[可作图多边形|可作图]][[多边形]]的特征（[[高斯]]曾给出这一特征，即<math>\varphi(n)</math>是2的幂次，其中<math>\varphi(n)</math>是[[欧拉函数]]，n是正多边形的边数，但没有证明可作图的多边形的列表是完整的（没有证明必要性）。所有已知完整证明都需要伽罗瓦理论。）

伽罗瓦最初使用[[置换群]]来描述给定的[[多项式]]的[[根 (数学)|根]]与[[係數|係數]]间的关系。[[约瑟夫·刘维尔]]在伽罗瓦去世14年后将他的著作编辑成册并出版。伽罗瓦理论在数学界流行起来需要更长时间。[[戴德金]]（Julius Wilhelm Richard Dedekind）、[[利奥波德·克罗内克]]（Leopold Kronecker）、[[埃米爾·阿廷]]（Emil Artin）等人发展起来的现代伽罗瓦理论引入了关于[[域扩张]]及其[[自同构]]的研究。

伽罗瓦理论的进一步抽象为[[伽罗瓦连接]]与[[格罗滕迪克伽罗瓦理论]]。

== 在经典问题上的应用 ==
伽罗瓦理论的诞生最初是由于如下的现在称之为[[阿贝尔-鲁菲尼定理]]的问题，19世纪初之前一直是主要的未解决数学问题之一：

{{cquote|为什么[[五次方程|五次]]及更高次的一元[[多项式方程]]没有一般的代数解法，即这样的方程不能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根？}}

[[阿贝尔-鲁菲尼定理]]提供了一个反例，证明对一部分多项式方程不存在这样的公式。伽罗瓦理论为这问题提供了更完整的解答，而且详细的解释了为什么四次及更低次方程'''有'''代数解，以及它们的代数解为什么是那样的形式。此外，它还提供了一种确定特定方程可不可解的方法，这种方法概念清晰，易于用[[算法]]表示。

伽罗瓦理论还对[[尺规作图]]问题提出了清晰的洞察，给出了所有可以尺规作图的长度比的一个优雅描述。这样，一些经典几何问题的解答变得相对容易：
{{cquote|哪些正[[多边形]]是可以尺规做出的？}}<ref name="Stewart"/>
{{cquote|为何不能[[三等分角|三等分任意角]]？}}<ref name="Stewart"/>
{{cquote|尺规作图为何无法实现[[倍立方]]？}}

== 历史 ==
{{see also|抽象代数#早期的群論}}

=== 伽罗瓦之前 ===
伽罗瓦理论源于[[对称函数]]研究，即[[首一多项式]]的系数（[[Up to|在符号意义上]]）是根的[[對稱多項式|初等对称多项式]]。例如，<math>(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab</math>，其中1、<math>a+b</math>、<math>ab</math>是0、1、2次二元初等多项式。

16世纪法国数学家[[弗朗索瓦·韦达]]在[[韦达定理]]中首次正式表述了正实数根的情形。18世纪英国数学家[[查尔斯·赫顿]]认为<ref>{{Harvnb|Funkhouser|1930}}</ref>，用多项式系数表示方程的根（不只是正根）的方法始见于17世纪法国数学家Albert Girard，赫顿这样写道：
<blockquote>...[Girard是]第一个理解由根及其乘积之和形成幂的系数的一般学说的人。他是第一个发现任何方程根的幂的求和规则的人。</blockquote>

因此，[[判别式]]是根的对称函数，反映了根的性质：当且仅当多项式有重根时，判别式为零；对于2、3次多项式，当且仅当所有根都是互不相等的实数时，判别式为正；当且仅当有一对不同的复共轭根时，判别式为负。

15–16世纪意大利数学家[[希皮奥内·德尔·费罗]]首次发现了部分一元三次方程的解法，但没有公布自己的成果。1535年，[[尼科洛·塔尔塔利亚]]独立发现了这套解法，并与[[吉罗拉莫·卡尔达诺]]分享，但要求他不要发表。卡尔达诺用类似方法将其推广，可见[[三次方程#卡尔达诺法]]。发现德尔·费罗的研究后，他认为塔尔塔利亚的方法不再是秘密，因此在《{{link-en|大术|Ars Magna(Cardano book)}}》（Ars Magna，1545）中发表了自己的解法。<ref>{{harvnb|Cardano|1545}}</ref>他的学生[[洛多维科·费拉里]]解出了一元四次方程，解法也收录在《大术》中。不过书中没有一元三次方程解的一般式，因为那时还没有[[复数 (数学)|复数]]和充足的代数符号来描述一般三次方程。用现代符号与复数可以验证，书中公式在一般情形下确实有效，但卡尔达诺不知道。[[拉斐尔·邦贝利]]设法用复数求解所有形式的三次方程。

法国意大利裔数学家[[约瑟夫·拉格朗日]]的论文《关于代数方程解的思考》（Réflexions sur la résolution algébrique des équations，1770）在拉格朗日{{link-en|预解式|Resolvent (Galois theory)}}法中，分析了卡尔达诺和费拉里的解法，认为其根的排列组合（置换）可以得到低次的辅助多项式，从而对解法有了统一认识，并为群论与伽罗瓦理论奠定了基础。但至关重要的是，他没有考虑置换的组合。拉格朗日法没有推广到五次及以上的方程，因为预解式的次数更高。

[[保罗·鲁菲尼]]在1799年几乎证明了五次方程没有一般的根式解，其中关键是[[置换群]]，而非单一的置换。他的证明有缺陷，柯西认为这无伤大雅。挪威数学家[[尼尔斯·阿贝尔]]在1824年发表的研究中补全了这缺陷，从而建立了[[阿贝尔-鲁菲尼定理]]。

鲁菲尼和阿贝尔确定了一般五次方程不可解，而<math>x^5-1=0</math>这种特殊五次方程是可解的。[[埃瓦里斯特·伽罗瓦]]找到了五次及以上方程的确切可解指标：多项式是否可解取决于其根的置换群（即其[[伽罗瓦群]]）是否具有某种结构（即是不是[[可解群]]）。对四次及以下的多项式，这个群总可解；而五次及以上的多项式则不总是可解的。

=== 伽罗瓦 ===
[[File:Evariste Galois.jpg|alt=Évariste Galois|thumb|埃瓦里斯特·伽罗约15岁时的肖像]]
1830年，18岁的伽罗瓦向[[巴黎科学院]]提交了一份备忘录，介绍了他的根式可解性理论。次年，他的文章因过于简略和给出的是方程根（而非系数）的条件而被否决。随后，伽罗瓦在1832年的一场决斗中丧生，他的论文《根式方程可解条件备忘录》（Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux）到1846年才由[[约瑟夫·刘维尔]]发表，并附有他自己的一些解释。<ref name="Tignol2001">{{cite book|first=Jean-Pierre|last=Tignol|title=Galois' Theory of Algebraic Equations|url=https://archive.org/details/galoistheoryalge00tign_325|url-access=limited|year=2001|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-4541-2|pages=[https://archive.org/details/galoistheoryalge00tign_325/page/n242 232]–3, 302}}</ref>刘维尔在1843年7月4日的一次演讲中向学院宣布了伽罗瓦的结果。<ref>Stewart, 3rd ed., p. xxiii</ref>Allan Clark认为，伽罗瓦的描述“极大地取代了阿贝尔和鲁菲尼的工作”。<ref name="Clark1984">{{cite book|first=Allan|last=Clark|title=Elements of Abstract Algebra|year=1984|orig-year=1971|publisher=Courier |isbn=978-0-486-14035-3|page=131}}</ref>

=== 后续 ===
众所周知，伽罗瓦理论很难为同时代的人理解。例如，刘维尔在1846年的评论中完全忽略了群论这一方法核心。<ref name="Wussing2007">{{cite book|first=Hans|last=Wussing|title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory|url=https://archive.org/details/genesisofabstrac0000wuss|year=2007|publisher=Courier |isbn=978-0-486-45868-7|page=[https://archive.org/details/genesisofabstrac0000wuss/page/118 118]}}</ref>[[约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷]]曾参加过几次刘维尔的演讲，将伽罗瓦理论写入了1866年的教科书《高等代数》（Cours d'algèbre supérieure，第3版）。他的学生[[卡米尔·若尔当]]在《关于替代和代数方程》（Traité des substitutions et des équations algébriques，1870）中对伽罗瓦理论有了更深刻的理解。法国之外，伽罗瓦理论在更长的时期中仍然比较模糊。英国数学家[[阿瑟·凯莱]]没能领会伽罗瓦理论的深刻内涵，英国流行的代数教科书到20世纪初才提到伽罗瓦理论。德国数学家[[利奥波德·克罗内克]]的著作更关注阿贝尔的结果；[[理查德·戴德金]]对伽罗瓦理论著述甚少，但在1858年于哥廷根大学发表了关于伽罗瓦理论的演讲，显示了他的深刻理解。<ref name="Scharlau1981">{{cite book |first1=Winfried |last1=Scharlau |first2=Ilse |last2=Dedekind |first3=Richard |last3=Dedekind |title=Richard Dedekind 1831–1981; eine Würdigung zu seinem 150. Geburtstag |publisher=Vieweg |location=Braunschweig |year=1981 |isbn=9783528084981 |url=http://www.gbv.de/dms/ilmenau/toc/023900512.PDF |access-date=2024-02-15 |archive-date=2023-05-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230513172126/https://www.gbv.de/dms/ilmenau/toc/023900512.PDF |dead-url=no }}</ref>1880年代，[[欧根·内托]]根据若尔当的《关于替代和代数方程》编写的书，以及[[海因里希·马丁·韦伯]]1895年出版的代数教科书，让更多德国和美国读者了解了伽罗瓦理论。<ref name="GaloisNeumann2011">{{cite book|first1=Évariste|last1=Galois|first2=Peter M.|last2=Neumann|title=The Mathematical Writings of Évariste Galois|year=2011|publisher=European Mathematical Society|isbn=978-3-03719-104-0|page=10}}</ref>

==置换群描述==
给定一多项式，它的一些根可能是被不同的[[多项式方程]]联系起来的。例如，有两个根''A''和''B''，满足方程<math>A^2+5B^3=7</math>。伽罗瓦理论的核心思想是考虑具有以下性质的根的[[置换]]：根满足的任何多项式方程，在置换之后仍成立。此理论最初是针对[[有理数|有理]]系数代数方程提出的，其实可以自然扩张到系数位于任意[[域 (数学)|域]]的方程，但简单起见，我们限制在有理数域。

这些置换形成了一个[[置换群]]，也称为多项式的[[伽罗瓦群]]，可以很清晰的举例说明。

===例1：二次方程===
考虑[[一元二次方程]]：
:<math>x^2 - 4x + 1 = 0</math>
应用一元二次方程的[[一元二次方程#公式解法|求根公式]]，可得其两个根
:<math>A = 2 + \sqrt{3}</math>
:<math>B = 2 - \sqrt{3}</math>
''A''和''B''满足一些多项式方程：
:<math>\begin{cases}
A + B = 4\\
AB = 1
\end{cases}</math>
这些方程中，交换''A''和''B''，方程恒成立。例如，方程''A'' + ''B'' = 4简单的变成了''B'' + ''A'' = 4。进一步的，这对于''A''和''B''满足的所有可能的[[多项式]]方程都成立。这是[[对称多项式]]理论的成果，这里可以用[[二项式定理]]的公式来代替。

这里会有人产生疑问：''A''和''B''同样满足另一个多项式方程<math>A - B - 2\sqrt{3} = 0</math>，但交换''A''和''B''后，这个方程将不成立。不过，这里不考虑这种关系，因为它的系数<math>-2\sqrt{3}</math>是[[无理数]]。

我们可以总结出，多项式<math>x^2-4x+1</math>的伽罗瓦群由两种置换构成：保持''A''和''B''不变的[[恒同变换]]，以及交换''A''与''B''位置的[[换位]]。它是一个二阶[[循环群]]，因此[[同构]]于<math>\Z/2\Z</math>。

类似讨论适用于任意二次多项式<math>ax^2+bx+c</math>，其中''a、b、c''都是有理数。
* 如果多项式只有一个有理根，例如<math>x^2-4x+4=(x-2)^2</math>，则伽罗瓦群是平凡的，即只包括恒同变换。
* 如果多项式有两个不同的有理根，例如<math>x^2-3x+2=(x-2)(x-1)</math>，伽罗瓦群同样是平凡的。
* 如果多项式有两个无理根（包括根是[[复数 (数学)|复数]]的情况），那么伽罗瓦群包括上面例子中所描述的两个置换。

===例2：四次方程===
考虑多项式
:<math>x^4-10x^2+1</math>
也可以写成
:<math>(x^2-5)^2-24</math>
我们同样希望在[[有理数]]域上描述这多项式的伽罗瓦群。这个多项式有四个根：
:<math>A = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>
:<math>B = \sqrt{2} - \sqrt{3}</math>
:<math>C = -\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>
:<math>D = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>
这四个根有24种可能的排列，但它们并不都是伽罗瓦群的元素。伽罗瓦群的元素必须保持'''所有'''''A'', ''B'', ''C''和''D''满足的有理系数多项式方程。这样的方程例如：
:<math>\begin{align}
AB&=-1 \\ AC&=1 \\ A+D&=0
\end{align}</math>
由此可知，如果''φ''是属于伽罗瓦群的置换，则必须有：
:<math>\begin{align}
\varphi(B)&=\frac{-1}{\varphi(A)}, \\ \varphi(C)&=\frac{1}{\varphi(A)}, \\ \varphi(D)&=-\varphi(A).
\end{align}</math>
因此置换由''A''的像确定，伽罗瓦群有4个元素：
:<math>(A,\ B,\ C,\ D)\to (A,\ B,\ C,\ D)</math>
:<math>(A,\ B,\ C,\ D)\to (B,\ A,\ D,\ C)</math>
:<math>(A,\ B,\ C,\ D)\to (C,\ D,\ A,\ B)</math>
:<math>(A,\ B,\ C,\ D)\to (D,\ C,\ B,\ A)</math>
==现代的域论描述==
现代的研究方法是从[[域扩张]]''L''/''K''开始，并分析固定''K''的''L''的[[自同构]]群。进一步的解释和例子请参见关于[[伽罗瓦群]]条目。

这两种描述的关系如下。多项式系数属于基域''K''；扩域''L''应是在域''K''中添加多项式的根得到的域。满足保上述多项式方程的根的置换，都对应''L''/''K''的一个自同构，反之亦然。

在上面的第一个例子中，我们研究的是域扩张<math>\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q}</math>，其中<math>\mathbb{Q}</math>是[[有理数]]域，而<math>\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q}</math>是在<math>\mathbb{Q}</math>中加入<math>\sqrt{3}</math>得到的域。在第二个例子中，我们研究的是域扩张<math>\mathbb{Q}(A,\ B,\ C,\ D)/\mathbb{Q}</math>。

现代的方法比起置换群方法，有几点优势：
* 它使得[[伽罗瓦理论基本定理]]的描述更为简洁；
* 在数学中的很多其他领域需要使用'''Q'''以外的基域。例如，在[[代数数论]]中，人们经常在[[代数数域]]、[[有限域]]和[[局部域]]上应用伽罗瓦理论。
* 它使人们更容易研究无穷扩张。这在代数数论中同样很重要，例如人们经常需要研究'''Q'''的[[绝对伽罗瓦群]]，即当''K''是'''Q'''的一个代数闭包时，''K''/'''Q'''的伽罗瓦群。
* 它使得人们可以研究[[可分扩张|不可分扩张]]。这在经典框架中并不成为问题，因为这时总是可以假定为[[特征]]0的；但在[[数论]]和[[代数几何]]中经常出现特征非0的情况。
* 它去除了人们对多项式求根的依赖性。也就是说，不同的多项式可能产生同一个扩域，现代的方法可以识别这些多项式之间的联系。

==可解群和根式解==
[[群論]]中[[可解群]]的概念讓我們得以確定多項式何時有根式解，这取决于其伽罗瓦群是否有可解性。每个域扩张<math>L/K</math>实质上都对应伽罗瓦群[[合成列]]中的某[[商群|因子群]]。若合成列的某因子群是''n''阶[[循环群]]，且若相应域扩张<math>L/K</math>中，域''K''已经包含了原始''n''次[[单位根]]，则其就是一个根式扩域，''L''的元素就可以用''K''中某元素的''n''次根表示。若合成列中所有因子群都是循环群，则称此伽罗瓦群可解，相应域中所有元素都可从基域（通常是<math>\mathbb{Q}</math>）通过取根、积、求和得到。

有根式解的充要條件是其[[分裂域]]''L''對基域''F''的伽羅瓦群可解。簡言之，取此伽羅瓦群的任一合成列，透過伽羅瓦理論基本定理，合成列對應到一族子域<math>L=L_n \supset L_{n-1} \supset \cdots \supset L_0=F</math>，各段<math>L_{i+1}/L_i</math>的伽羅瓦群一一對應於合成列的因子。若<math>L_{i+1}/L_i</math>之伽羅瓦群是n階[[循環群]]，則域擴張<math>L_{i+1}/L_i</math>由n次根式生成。伽羅瓦群可解若且唯若合成列的因子皆為循環群，於是若群可解，相應方程便有根式解。反向的結果亦不難證明。
伽羅瓦理論的重大成就之一是證明了當<math>n>4</math>時，一般的''n''次多項式無根式解（「一般」意謂將多項式係數視為獨立變元）（几年前[[尼尔斯·阿贝尔]]用相似方法独立证明了这一点，这就是[[阿贝尔-鲁菲尼定理]]），并得到了检验多项式是否根式可解的方法。原因是[[对称群 (n次对称群)|對稱群]]<math>S_n</math>在<math>n>4</math>時包含的[[正规子群]]中有个[[单群]]是[[交错群]]<math>A_n</math>，不是[[循环群]]，因此不可解。

===例3：不可解的五次方程===

[[image:Non solvable quintic.svg|right|thumb|多项式<math>x^5-x-1</math>的实根<math>x=1.1673\dots</math>是代数的，但无法用根式表示。另外四个根都是[[复数 (数学)|复数]]。]]

以多项式方程 <math>x^5 -x -1=0</math> 为例。<ref>van der Waerden, Modern Algebra (1949 English edn.), Vol. 1, Section 61, p.191<!-- p. 191 isn't in the preview, but this instance might be a better ref. {{cite book |first=B.L. |last=van der Waerden |first2=Emil |last2=Artin |first3=Emmy |last3=Noether |title=Algebra: Based in Part on Lectures by E. Artin and E. Noether. ... |url=https://books.google.com/books?id=XDN8yR8R1OUC&pg=PP1 |date=2003 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-40624-4 |volume=1 |origyear=1970}} --></ref>
根据[[有理数根定理]]，方程无有理零点，也无模2或3的线性因子。<math>f(x)</math>模2的伽罗瓦群是6阶循环群，因为<math>f(x)</math>模2可以分解为2、3次多项式：<math>(x^2+x+1)(x^3+x^2+1)</math>。

<math>f(x)</math>模3无线性或二次因子，因此是[[不可约多项式]]，于是其模3伽罗瓦群包含5阶元素。

众所周知<ref>{{cite book |first=V.V. |last=Prasolov |chapter=5 Galois Theory Theorem 5.4.5(a) |doi=10.1007/978-3-642-03980-5_5 |title=Polynomials |publisher=Springer |series=Algorithms and Computation in Mathematics |volume=11 |year=2004 |isbn=978-3-642-03979-9 |pages=181–218 }}</ref>，素数模的伽罗瓦群同构于有理数上伽罗瓦群的一个子群。

5个对象（其中包含5、6阶元素）上的置换群只能是对称群<math>S_5</math>，因此对称群<math>S_5</math>就是<math>f(x)</math>的伽罗瓦群，故无根式解。

这是不可解五次多项式最简单的例子之一。[[塞尔日·兰]]说[[埃米尔·阿廷]]很喜欢这个例子。<ref>{{cite book |title=Algebraic Number Theory|volume=110|series=Graduate Texts in Mathematics|first=Serge|last=Lang|author-link=Serge Lang|publisher=Springer|year=1994|isbn=9780387942254|page=121|url=https://books.google.com/books?id=u5eGtA0YalgC&pg=PA}}</ref>

==逆伽罗瓦问题==
{{main|en:Inverse Galois problem|}}
逆伽罗瓦问题是寻找具有给定伽罗瓦群的域扩张的问题。

不指定[[基域]]的话问题并不难，而且所有有限群都能作为伽罗瓦群出现。证明这一点可以这样做：选定域''K''和有限群''G''。[[凯莱定理]]指出，''G''（在同构意义上）是[[对称群]]''S''在''G''的元素上的子群。选择不定项<math>\{x_{\alpha}\}</math>，''G''的每个元素<math>\alpha</math>对应一个不定项，与''K''相配得到域<math>F=K(\{x_{\alpha}\})</math>。''F''中包含了<math>\{x_{\alpha}\}</math>中的对称[[有理函数]]域''L''。根据埃米尔·阿廷的基本结果，<math>F/L</math>的伽罗瓦群是''S''。''G''通过''S''的作用的限制作用于''F''，若此作用的[[中心化子和正規化子|定域]]是''M''，则据[[伽罗瓦理论基本定理]]，<math>F/M</math>的伽罗瓦群就是''G''。

另一方面，是否每个有限群都能作为有理数域<math>\mathbb{Q}</math>某域扩张的伽罗瓦群，仍是未知的。{{link-en|伊戈尔·沙法列维奇|Igor Shafarevich]]证明可解有限群都是<math>\mathbb{Q}</math>的某扩张的伽罗瓦群。很多人已解决了某些非阿贝尔[[单群]]的逆伽罗瓦问题。在26个散在单群中，除[[马蒂厄群]]<math>M_{23}</math>外，其他解都已证明了存在性。甚至还有一种整系数多项式，其伽罗瓦群是[[魔群]].

==不可分扩张==
在上述形式中，特别是[[伽罗瓦理论基本定理]]中，只考虑伽罗瓦扩张，是可分扩张。一般的域扩张可以分为可分扩张与[[纯不可分扩张]]，对后者如<math>F/K</math>，有一种伽罗瓦理论，其中伽罗瓦群被[[导子]]的[[向量空间]]<math>Der_K(F, F)</math>取代，即满足莱布尼茨法则的''F''的''K''-[[线性映射|线性自同态]]。这种对应关系中，中介域''F''被赋予<math>Der_E(F, F) \subset Der_K(F, F)</math>。相反，满足进一步适当条件的子空间<math>V \subset Der_K(F, F)</math>映射到<math>\{x \in F, f(x)=0\ \forall f \in V\}</math>。在<math>F^p \subset K</math>的假设下，{{harvtxt|Jacobson|1944}}证明，这建立了一一对应关系。{{harvtxt|Brantner|Waldron|2020}}利用[[导出代数几何]]概念给出对应关系，消除了Jacobson提出的条件。

==另见==
* [[伽罗瓦群]]
* [[伽罗瓦理论基本定理]]
* [[微分伽罗瓦理论]]——微分方程的伽罗瓦理论
* [[格罗滕迪克伽罗瓦理论]]——伽罗瓦理论的深刻推广
* [[拓扑伽罗瓦理论]]
* [[亚廷–施莱尔理论]]——伽罗瓦理论的子领域

== 注释 ==
{{reflist|refs=
<ref name="Stewart">{{cite book
 | first=Ian
 | last=Stewart
 | title =Galois Theory
 | publisher=Chapman and Hall
 | year=1989
 | isbn=0-412-34550-1
 | author-link=Ian Stewart (mathematician)
}}</ref>
}}
==参考文献==
* {{cite book|author=Harold M. Edwards | title=Galois Theory | publisher=Springer-Verlag | year = 1984 | id=ISBN 978-0-387-90980-6}}
* Serge Lang, 'Algebraic Number Theory', Addison-Wesley (1970).
* {{cite book | first=Emil |last=Artin | title=Galois Theory | publisher=Dover | year=1998 | isbn=0-486-62342-4 | author-link=Emil Artin |orig-year=1944}}
* {{cite book | author-link=Jörg Bewersdorff |last=Bewersdorff|first=Jörg | title=Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective|series=The Student Mathematical Library| publisher=American Mathematical Society | year=2006 |volume=35| isbn=0-8218-3817-2|doi=10.1090/stml/035|s2cid=118256821 }}
* {{citation|last1=Brantner|first1=Lukas|last2=Waldron|first2=Joe|title=Purely Inseparable Galois theory I: The Fundamental Theorem|year=2020|arxiv=2010.15707}}
* {{cite book|first=Gerolamo|last=Cardano|year=1545|title=Artis Magnæ|language=la|author-link=Gerolamo Cardano|url=http://www.filosofia.unimi.it/cardano/testi/operaomnia/vol_4_s_4.pdf|access-date=2024-02-15|archive-date=2008-06-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20080626092254/http://www.filosofia.unimi.it/cardano/testi/operaomnia/vol_4_s_4.pdf|dead-url=yes}}
* {{cite book |first=Harold M. |last=Edwards |author-link=Harold Edwards (mathematician) |title=Galois Theory |publisher=Springer-Verlag |year=1984 |isbn=0-387-90980-X |url-access=registration |url=https://archive.org/details/galoistheory00edwa_0 }} ''(Galois' original paper, with extensive background and commentary.)''
* {{cite journal| first= H. Gray | last=Funkhouser | author-link = Howard G. Funkhouser | title=A short account of the history of symmetric functions of roots of equations | journal=American Mathematical Monthly | year=1930 | volume= 37 | issue=7 | pages=357–365 | doi=10.2307/2299273| jstor= 2299273 }}
* {{springer|title=Galois theory|id=p/g043160}}
* {{citation|first=Nathan|last=Jacobson|title=Galois theory of purely inseparable fields of exponent one|journal=Amer. J. Math.|volume=66|year=1944|issue=4 |pages=645–648|doi=10.2307/2371772|jstor=2371772}}
* {{cite book | first=Nathan |last=Jacobson| title=Basic Algebra I |edition=2nd | publisher=W. H. Freeman | year=1985 | isbn=0-7167-1480-9 | author-link=Nathan Jacobson}} ''(Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)''
* {{Cite book | last1=Janelidze | first1=G. | last2=Borceux | first2=Francis | title=Galois Theories | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-80309-0 | year=2001 }} (This book introduces the reader to the Galois theory  of [[Grothendieck]], and some generalisations, leading to Galois [[groupoids]].)
* {{Cite book | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Algebraic Number Theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94225-4 | year=1994 }}
* {{cite book|first=M. M. |last=Postnikov | title=Foundations of Galois Theory | publisher=Dover Publications | year = 2004 | isbn=0-486-43518-0}}
* {{cite book|first=Joseph|last= Rotman | title =Galois Theory |edition=2nd | publisher=Springer| year=1998 | isbn=0-387-98541-7}}
* {{Cite book | last1=Völklein | first1=Helmut | title=Groups as Galois groups: an introduction | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-56280-5 | year=1996 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/groupsasgaloisgr0000volk }}
* {{Cite book | last1=van der Waerden | first1=Bartel Leendert | author1-link=Bartel Leendert van der Waerden | title=Moderne Algebra |language= de |publisher=Springer | year=1931 | location=Berlin }}.   '''English translation''' (of 2nd revised edition): {{Cite book | title = Modern Algebra | url = https://archive.org/details/modernalgebra02waer | url-access = registration | publisher=Frederick Ungar |location= New York |year= 1949}} ''(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)''
==外部链接==
以下是一些網上的教學資料：
* [http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html ABSTRACT ALGEBRA ON LINE: Galois Theory]{{Wayback|url=http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html |date=20070711112420 }} {{en}}
* [http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422 nrich.maths.org Mathematics Enrichment: An Introduction to Galois Theory]{{Wayback|url=http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422 |date=20070717233505 }} {{en}}
中英夾雜的教學資料：
* [http://math.ntnu.edu.tw/~li/galois-html 簡介Galois理論 /李華介]{{Wayback|url=http://math.ntnu.edu.tw/~li/galois-html |date=20071204165010 }}
以下網站提供德语、中文、英语、法语、意大利语、西班牙语及罗马尼亚语版的線上教材：
* [http://www.galois-group.net/ Evariste Galois: whatsnew]{{Wayback|url=http://www.galois-group.net/ |date=20070812190250 }} {{en}}
以下網站提供伽羅瓦生平及其理論的應用：
* [http://theprincipia.blogspot.com/2009/08/7-writing.html 稱對的對稱——遊走於科學與藝術間] {{Wayback|url=http://theprincipia.blogspot.com/2009/08/7-writing.html |date=20190502072744 }}
*{{Wiktionary-inline|伽罗瓦理论}}
*{{Commons category-inline}}

{{Authority control}}
[[Category:伽罗瓦理论|Q]]