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{{NoteTA|G1=Math|1=zh:上同調;zh-hans:上同调;zh-hant:餘調}}
在[[數學]]中，'''伽羅瓦上同調'''是一套用[[群上同調]]研究[[伽羅瓦群]]的作用的技術。具體言之，假設伽羅瓦群 <math>G = G_{L/K}</math> 作用在一個群 <math>A</math>（通常是[[數論]]中出現的代數結構，如 <math>L, L^\times, C_L</math> 等等）上，伽羅瓦上同調研究相關的[[群上同調]] <math>H^i(G,A)</math>。這些群通常具有重要的數論或算術代數幾何意義。

伽羅瓦上同調是現代[[代數數論]]的基石之一。

==在代數數論中的應用==
伽羅瓦上同調最早在1950年代被提出，主要與克勞德·謝瓦萊在[[類域論]]上的工作相關。這套理論的目的在以群上同調「代數地」闡釋類域論，避免使用[[L-函數]]。[[哈瑟原理]]在伽羅瓦上同調的框架下能得到清晰的描述。

==在代數幾何中的應用==
伽羅瓦上同調關係到算術[[代數幾何]]中的許多重要問題，例如[[橢圓曲線]]上的整點個數。作為下降理論在[[平展拓撲]]上的應用，第一個伽羅瓦上同調群分類了[[概形]] <math>\mathrm{Spec}(K)</math> 上的[[扭子]]，這是[[主叢]]在代數幾何上的推廣。藉著下降理論，可以用伽羅瓦上同調研究[[二次型式]]、[[中心單代數]]與 Severi-Brauer 簇等等結構。

==文獻==
* Serre, Jean-Pierre (2002), ''Galois cohomology'', Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1867431, ISBN 978-3-540-42192-4, translation of ''Cohomologie Galoisienne'', Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).

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