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{{NoteTA|G1=math}}
'''[[伽罗瓦理论]]基本定理'''是[[抽象代数]]中的定理，通过[[群]]的概念来描述特定[[域扩张]]的细致结构。定理说明了，如果某个域扩张{{mvar|L/K}}是[[域扩张|有限]][[伽罗瓦扩张]]，则此扩张的[[伽罗瓦群]]的[[子群]]与其中间域（即子扩张{{mvar|K}}⊂{{mvar|F}}⊂{{mvar|L}}中的{{mvar|F}}）之间有[[双射|一一对应]]关系。

==简介==
伽罗瓦理论最初研究的目标是[[体 (数学)|域]]上[[多项式]][[方程]]的根式通解问题。18世纪时，数学家已经知道，任意的[[二次方程]]、[[三次方程]]和[[四次方程]]可以通过[[配方法]]开方求解。但对五次以上的多项式方程，一直没有发现通用的根式求解方法。19世纪初，[[伽罗瓦]]和[[尼尔斯·阿贝尔|阿贝尔]]创造了[[群论]]，将多项式的不同根之间的关系用群来表示，从而揭示了多项式的根的根本性质{{r|cox|page=8-9}}<ref>{{cite book|author=Nathan Carter|title=Visual Group Theory|url=https://archive.org/details/visualgrouptheor00cart|year=2009|publisher=Mathematical Association of America|language=en|pages=[https://archive.org/details/visualgrouptheor00cart/page/221 221]|isbn=9780883857571}}</ref>。

从[[阿廷]]起，数学家开始使用域扩张的理论，更严谨地表述伽罗瓦的理论，先将多项式的性质转化为域扩张中的性质，然后通过研究域扩张对应的自同构群，利用群论的知识来解析域扩张的结构，从而对多项式及其根的性质进行更深刻的刻画{{r|gtm167|page=52}}。

给定域扩张{{mvar|L/K}}，{{mvar|L}}上的自同构里，在{{mvar|K}}上平凡（即为[[恒等映射]]）的[[自同构|环自同构]]称为{{mvar|L}}中的{{mvar|K-}}自同构。所有{{mvar|L}}中的{{mvar|K-}}自同构组成一个群，称为域扩张{{mvar|L/K}}的{{mvar|K-}}自同构群，简记为{{math|Aut(''L/K'')}}。{{mvar|K-}}自同构在{{mvar|K}}上是恒等映射，因此不属于{{mvar|K}}的元素在{{mvar|K-}}自同构的作用下仍被映射到不属于{{mvar|K}}的元素上{{r|gtm167|page=15-16}}。

如果存在{{mvar|L/K}}的子扩张{{mvar|K}}⊂{{mvar|F}}⊂{{mvar|L}}，则{{mvar|L/F}}的{{mvar|F-}}自同构也构成一个群：{{math|Aut(''L/F'')}}。它是{{math|Aut(''L/K'')}}的子群，因为在{{mvar|F}}平凡的自同构必然也在其子域{{mvar|K}}上平凡{{r|gtm167|page=18}}。反过来，给定{{math|Aut(''L/K'')}}的某个子群{{mvar|H}}，则可以定义[[群作用]]的不动点集合：
:<math>L^H := \{ x \in L ; \; \forall \tau \in H, \; \tau(x) = x\}</math>
可以证明，这个集合是一个域，称为子群{{mvar|H}}的不变域。它是{{mvar|K}}的扩域，是{{mvar|L}}的子域，即是{{mvar|L/K}}的中间域{{r|gtm167|page=18}}。显然
:<math>K \subset L^{\mathrm{Aut}(L/K)}.</math>
一个自然的猜想是：{{math|''K'' {{=}} ''L''<sup>Aut(''L/K'')</sup>}}，即所有不属于{{mvar|K}}的元素，都会在某个{{mvar|K-}}自同构的作用下被映射到其他的元素上去。然而这个命题只对特定的域扩张成立{{r|gtm167|page=20-21}}。

如果某个不属于{{mvar|K}}的元素{{mvar|a}}是{{mvar|K}}上的[[代数扩张|代数元]]，设其为某个{{mvar|K-}}多项式<ref group="N">即以{{mvar|K}}中元素为系数的多项式。下同。</ref>{{mvar|f}}的根，则{{mvar|a}}在{{mvar|L}}中任一个{{mvar|K-}}自同构{{mvar|τ}}的作用下的像仍是{{mvar|f}}的一个根{{r|gtm167|page=16}}。事实上，如果设：
:<math>f = \lambda_0 + \lambda_1 X + \cdots + \lambda_k X^k, \; \, \lambda_0 , \lambda_1 , \cdots , \lambda_k \in K, \; \, f(a) = 0,</math>
那么
:<math>0 = \tau(0) = \tau(f(a)) = \tau(\lambda_0 + \lambda_1 a + \cdots + \lambda_k a^k) =\lambda_0 + \lambda_1 \tau(a) + \cdots + \lambda_k \tau(a)^k = f(\tau(a)).</math>
这说明，{{mvar|K-}}自同构将{{mvar|K-}}多项式的根进行重新排列{{r|gtm167|page=17}}。因此，对{{mvar|K-}}自同构的研究可以帮助了解{{mvar|K-}}多项式的根。

为了讨论多项式的根，引入[[正规扩张]]的概念。给定一个域扩张{{mvar|L/K}}，任一{{mvar|K-}}不可约多项式如果有一个根在{{mvar|L}}中，那么全部根都在{{mvar|L}}中。这样的扩张称为正规扩张{{r|gtm167|cox|page1=29|page2=108}}。正规扩张中，{{mvar|K-}}自同构可以将多项式的根映射到它的任意其他根上。因此，对{{mvar|L}}中任一个不属于{{mvar|K}}的元素，都有{{mvar|K-}}自同构将其映射到它的[[极小多项式]]的任意其他根上{{r|cox|page=130}}。另外再假定任意元素的极小多项式都没有重根（这样的扩张称为[[可分扩张]]{{r|gtm167|page=42}}）。这时，一个{{mvar|K-}}自同构或某些{{mvar|K-}}自同构组成的群的不动点集合将和{{mvar|K-}}多项式的根产生密切联系。这样的域扩张称为[[伽罗瓦扩张]]{{r|gtm167|page=42}}。若{{mvar|L/K}}是伽罗瓦扩张，它的{{mvar|K-}}自同构群称为[[伽罗瓦群]]，记作{{math|Gal(''L/K'')}}{{r|cox|page=125}}。当{{mvar|L/K}}是有限扩张时，伽罗瓦群是[[有限群]]，其元素个数等于域扩张的次数，并且有{{math|''K'' {{=}} ''L''<sup>Aut(''L/K'')</sup>}}{{r|gtm167|page=51-52}}。而伽罗瓦理论基本定理更进一步，给出了{{math|Gal(''L/K'')}}的子群和{{mvar|L/K}}的中间域的对应关系。

==对应关系==
从前述中已经知道，给定{{math|Aut(''L/K'')}}的某个子群{{mvar|H}}，其不变域：
:<math>L^H := \{ x \in L ; \; \forall \tau \in H, \; \tau(x) = x\}</math>
是{{mvar|L/K}}的一个中间域。给定中间域{{mvar|F}}，则{{math|Aut(''L/F'')}}是{{math|Aut(''L/K'')}}的子群。如果{{mvar|L/K}}是有限的伽罗瓦扩张，那么伽罗瓦理论基本定理说明，{{mvar|L/K}}的伽罗瓦群{{math|Gal(''L/K'')}}的子群与{{mvar|L/K}}的中间域之间有一一对应关系{{r|gtm167|page=51}}：
:对伽罗瓦群{{math|Gal(''L/K'')}}的每一个子群{{mvar|H}}，唯一对应一个中间域，即其不变域：<math>H \longrightarrow L^H</math>
:对域扩张{{mvar|L/K}}的每一个中间域，唯一对应一个群：<math>F \longrightarrow \mathrm{Gal}(L/F),</math> 它是{{mvar|L/K}}的伽罗瓦群{{math|Gal(''L/K'')}}的子群。
这两种叙述是互洽的，也就是说{{r|cox|page=162-163}}，
:<math>\forall H  \subset \mathrm{Gal}(L/K), \; \mathrm{Gal}(L/L^H) = H.</math>
:<math>\forall K \subset F \subset L, \; L^{\mathrm{Gal}(L/F)} = F.</math>

===基本性质===
中间域与伽罗瓦群的子群之间有一个反向的包含对应关系：如果伽罗瓦群的某个子群{{math|''H''<sub>1</sub>}}是另一个子群{{math|''H''<sub>2</sub>}}的子群，那么{{math|''H''<sub>1</sub>}}对应的中间域{{math|''L''<sup>''H''<sub>1</sub></sup>}}是{{math|''H''<sub>2</sub>}}对应的中间域{{math|''L''<sup>''H''<sub>2</sub></sup>}}的扩域{{r|gtm167|page=51}}。

伽罗瓦群的子群的元素个数，以及它在伽罗瓦群中的指数，和对应的中间域相关的扩域的次数相同。如果{{mvar|H}}是{{math|Gal(''L/K'')}}的子群，那么{{math|{{!}}''H''{{!}} {{=}} [''L'' : ''L<sup>H</sup>'']}}，{{math|[Gal(''L/K'') : ''H''] {{=}} [''L<sup>H</sup>'' : ''K'']}}{{r|gtm167|page=51}}。

给定伽罗瓦扩张{{mvar|L/K}}的中间域{{mvar|F}}和{{mvar|L}}中的{{mvar|K-}}自同构{{mvar|σ}}，则{{mvar|σ}}作用在{{mvar|F}}上得到的像集<math>\sigma(F) := \{\sigma(x) ; \; x\in F \}</math>也是一个中间域。设{{mvar|F}}对应的伽罗瓦群子群是{{mvar|H}}，则中间域{{mvar|σ}}({{mvar|F}})对应的子群是{{mvar|σHσ}}<sup>-1</sup>。如果{{mvar|F/K}}是正规扩张<ref group="N">伽罗瓦扩张{{mvar|L/K}}是[[可分扩张]]，而可分扩张的子扩张仍然是可分扩张，因此{{mvar|F/K}}必然是可分扩张。所以只要是{{mvar|F/K}}是正规扩张，就必然也是伽罗瓦扩张。</ref>，则对于任意的{{mvar|K-}}自同构{{mvar|σ}}，{{math|''σ''(''F'') {{=}} ''F''}}。这也说明对于任意的{{mvar|K-}}自同构{{mvar|σ}}，{{mvar|σHσ}}<sup>-1</sup> {{math|{{=}} ''H''}}。这样的子群{{mvar|H}}称为[[正规子群]]。域扩张{{mvar|F/K}}是正规扩张当且仅当其对应的子群{{math|''H'' {{=}} Gal(''L/F'')}}是正规子群。对于正规子群{{mvar|H}}，可以定义{{math|Gal(''L/K'')}}对{{mvar|H}}的商群{{math|''G'' {{=}} Gal(''L/K'')/''H''}}。这个商群和{{math|Gal(''F/K'')}}是同构的{{r|gtm167|page=51-52}}。

== 例子 ==
===克莱因四元群===
[[File:Lattice diagram of Q adjoin the positive square roots of 2 and 3, its subfields, and Galois groups variant.png|thumb|500px|子群与子域的关联结构图]]
从有理数域<math>K = \mathbb{Q}</math>出发。设扩域<math>L = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})</math>。{{mvar|L}}是在有理数域中添加根号2与根号3得到的扩域，也可以看成是<math>L = \mathbb{Q}(\sqrt{2})( \sqrt{3})</math>，即先在有理数域中添加根号2，再在其中添加根号3得到的扩域。因此其中每个元素可以表达成如下的形式：
:<math>(a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2})\sqrt{3}, \; a,b,c,d \in \mathbb{Q}.</math>
可以证明域扩张{{mvar|L/K}}是可分正规扩张，即伽罗瓦扩张。它的{{mvar|K-}}自同构群{{math|''G'' {{=}} Gal(''L/K'')}}为{{mvar|L}}中所有对有理数为恒等映射的同构。设有{{mvar|K-}}自同构{{mvar|σ}}，则{{mvar|σ}}将任何有理数映射到它自身，将根号2映射到自身或负根号2上，将根号3映射到自身或负根号3上。这是因为：
:<math>
\begin{align}
\left(\sigma(\sqrt{2})\right)^2 = \sigma(\sqrt{2})\cdot \sigma(\sqrt{2}) =\sigma(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}) = \sigma(2) = 2, \\
\left(\sigma(\sqrt{3})\right)^2 = \sigma(\sqrt{3})\cdot \sigma(\sqrt{3}) =\sigma(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}) = \sigma(3) = 3.
\end{align}</math>
这说明自同构群{{mvar|G}}中包含四个元素：{{mvar|e}}、{{mvar|σ}}、{{mvar|τ}}、{{mvar|τσ}}。具体为：
:<math>
\begin{array}{ll}
e (\sqrt{2}) = \sqrt{2}, \;  e (\sqrt{3}) = \sqrt{3}, \; &  \sigma(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}, \;  \sigma (\sqrt{3}) = \sqrt{3}\\
\tau (\sqrt{2}) = \sqrt{2}, \;  \tau (\sqrt{3}) = - \sqrt{3}, \; &  (\tau\sigma)(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}, \;  (\tau\sigma) (\sqrt{3}) = -\sqrt{3}
\end{array}</math>
{{math|''G'' {{=}} {''e'', ''σ'', ''τ'', ''τσ''} }}同构于[[克莱因四元群]]，它的子群包括{{math| ''H<sub>e</sub>'' {{=}} {''e''},  ''H<sub>σ</sub>'' {{=}} {''e'', ''σ''}, ''H<sub>τ</sub>'' {{=}} {''e'', ''τ''}, ''H<sub>τσ</sub>'' {{=}} {''e'', ''τσ''} }}以及{{mvar|G}}自身。考虑在这些子群的作用下，保持不变的元素构成的集合：
*{{mvar|L}}中所有的元素都在{{mvar|e}}下不变，所以{{math|''L<sup>H<sub>e</sub></sup>'' {{=}} ''L''}}，
*{{mvar|σ}}将根号2变换到负根号2，而保持根号3不变，所以<math>L^{H_\sigma} = \mathbb{Q}(\sqrt{3})</math>， 
*{{mvar|τ}}将根号3变换到负根号3，而保持根号2不变，所以<math>L^{H_\tau} = \mathbb{Q}(\sqrt{2}) </math>，
*{{mvar|τσ}}将根号2与根号3分别变换到负根号2与负根号3，因此只有根号6经历了两次变换而保持原号，所以<math> L^{H_{\tau\sigma}} = \mathbb{Q}(\sqrt{6})</math>，
*由于根号2和根号6在{{mvar|σ}}作用下变号，根号3在{{mvar|τ}}作用下变号，所以只有有理数能够在所有的自同构下保持不变，即<math> L^{G} = \mathbb{Q} = K</math>。
以上的结论说明域扩张{{mvar|L/K}}真正的中间域有3个，分别是：<math>\mathbb{Q}(\sqrt{2})</math>、<math>\mathbb{Q}(\sqrt{3})</math>和<math>\mathbb{Q}(\sqrt{6})</math>。{{r|gtm167|page=53-54}}

===非交换群的例子===
[[File:Lattice diagram of Q adjoin a cube root of 2 and a primitive cube root of 1, its subfields, and Galois groups variant.png|thumb|500px|子群与子域的关联结构图]]
以下给出一个伽罗瓦群不是交换群（阿贝尔群）的例子。设有多项式{{math|''P'' {{=}} ''X''<sup>3</sup> - 2}}，这是一个在<math>K = \mathbb{Q}</math>上不可约的有理系数多项式。他在<math>\mathbb{Q}</math>上对应的[[分裂域]]是<math>L = \mathbb{Q}(\theta, \omega)</math>，其中的{{math|''θ'' {{=}} {{radic|2|3}}}}是2的三次方根，{{mvar|ω {{=}} ''e''<sup>{{frac|2''iπ''|3}}</sup>}}是三次[[单位根]]。域扩张{{mvar|L/K}}是可分正规扩张，因此是伽罗瓦扩张。考虑其伽罗瓦群{{math|''G'' {{=}} Gal(''L/K'')}}。与上一个例子类似地，它里面的{{mvar|K-}}自同构必然也是只可能是对{{mvar|θ}}和{{mvar|ω}}产生变换。设有{{mvar|K-}}自同构{{mvar|σ}}，则它将{{mvar|θ}}和{{mvar|ω}}变换后的结果满足：
:<math>\begin{array}{ll}
2 = \sigma(2) = \sigma(\theta^3) = \left(\sigma(\theta)\right)^3, \\
1 = \sigma(1) = \sigma(\omega^3) = \left(\sigma(\omega)\right)^3.
\end{array}</math>
所以{{mvar|σ}}作用在{{mvar|θ}}上的结果有三种：{{mvar|θ}}、{{mvar|ωθ}}或{{math|''ω''<sup>2</sup>''θ''}}，而{{mvar|σ}}作用在{{mvar|ω}}上的结果有两种：{{mvar|ω}}或{{math|''ω''<sup>2</sup>}}。这是因为{{math|''σ''(''ω'')}}的结果不可能是1，否则会与{{math|''σ''(1) {{=}} 1}}矛盾。这表明{{mvar|G}}中元素有六个，可以表示为：{{math|''G'' {{=}} {''e'', ''f'', ''f''<sup>2</sup>, ''g'', ''gf'', ''gf''<sup>2</sup>}. }}其中：
:<math>f(\theta) = \omega\theta, \; f(\omega) = \omega, \quad g(\theta) = \theta, \; g(\omega) = \omega^2. \quad fg = gf^2.</math>
下面给出由伽罗瓦理论基本定理指出的子群与中间域的对应关系：
*与上例一样，在平凡子群{{math| {''e''} }}作用下不变的是{{mvar|L}}中所有元素，在群{{mvar|G}}所有元素作用下不变的只有{{mvar|K}}中元素。所以平凡子群对应着{{mvar|L}}而{{mvar|G}}对应着{{mvar|K}}。
*{{mvar|G}}仅有一个三元子群{{math|''H<sub>f</sub>'' {{=}} {''e'', ''f'', ''f''<sup>2</sup>} }}，在其作用下不变的是{{mvar|ω}}，因此它对应的是中间域<math>\mathbb{Q}(\omega)</math>。<math>[\mathbb{Q}(\omega) : \mathbb{Q}] = 2</math>，等于{{mvar|H<sub>f</sub>}}在{{mvar|G}}中的指数。{{mvar|H<sub>f</sub>}}是{{mvar|G}}的正规子群，所以<math>\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}</math>是正规扩张<ref group="N"><math>\mathbb{Q}(\omega)</math>是<math>\mathbb{Q}</math>-不可约多项式<math>X^2+X+1</math>的分裂域。</ref>。
*{{mvar|G}}有三个二元子群，分别是{{math|''H<sub>g</sub>'' {{=}} {''e'', ''g''}, ''H<sub>gf</sub>'' {{=}} {''e'', ''gf''}, ''H<sub>fg</sub>'' {{=}} {''e'', ''gf''<sup>2</sup>}. }}它们对应的中间域分别是<math>\mathbb{Q}(\theta)</math>、<math>\mathbb{Q}(\omega\theta)</math>和<math>\mathbb{Q}(\omega^2 \theta)</math>。这些中间域都是有理数域的三次扩域，与对应子群在{{mvar|G}}中的指数相等。由于这三个二元子群都不是{{mvar|G}}的正规子群，所以相应的，这些中间域也不是有理数域的正规扩张。事实上，它们各自是在有理数域中添加多项式{{mvar|P}}的一个根得到的扩域，但另外两个根都不在其中。{{r|gtm167|page=52-53}}

== 应用 ==
从上述例子可见，伽罗瓦理论基本定理的作用是将域扩张的中间域结构，转化为特定群的子群来描述。将难以用直接的方法刻画的中间域，和可以用群论中的成熟方法刻画的有限群子群对应起来{{r|gtm167|page=51}}。

伽罗瓦基本定理的最初应用是在使用伽罗瓦理论证明五次或以上的[[代数方程|多项式方程]]没有代数解求根公式的问题上<ref group="N">代数解是指能够从方程系数和有理数出发，通过有限次[[四则运算]]和开方运算得到的解。</ref>。其证明的主要思路是将“开{{mvar|n}}次方”的过程转化为“在基域中添加{{mvar|n}}次方根”生成的域扩张。将多项式有代数解的问题转化为某个分裂域是否可以通过有限次特定的域扩张得到的问题。而这些域扩张是否满足条件，则可以由伽罗瓦基本定理将其转化为判定“特定的伽罗瓦群是否有某种特殊的子群和[[商群]]（称为[[可解群]]）”的问题。[[阿贝尔-鲁菲尼定理]]说明了：一般的五次或以上的多项式方程，其对应的伽罗瓦群是[[置换群|{{mvar|n}}元置换群]]<math>\mathfrak{S}_n</math>（{{mvar|n}}大于等于5），而这个群唯一的非平凡[[正规子群]]：[[交错群|{{mvar|n}}元交替群]]<math>\mathfrak{A}_n</math>是[[交换群|不交换]]的[[单群]]，无法满足要求。因此，不存在使用根式求解一般的五次或以上的多项式方程的方法{{r|cox|page=191-244}}。

==推广==
对于[[域扩张|无限]]的伽罗瓦扩张，伽罗瓦理论基本定理不再成立，因为这时伽罗瓦群的子群个数会比中间域的个数要多。然而，在给伽罗瓦群装备了一定的拓扑结构（Krull拓扑）后，可以证明域扩张的中间域和所有的[[闭集|闭]]子群之间有一一对应的关系。因此，在此拓扑下，有推广的伽罗瓦理论基本定理：
:给定无限伽罗瓦扩张{{mvar|L/K}}，其伽罗瓦群{{math|''G'' {{=}} Gal(''L/K'')}}的所有'''闭子群'''与{{mvar|L/K}}之间存在一一对应关系：
::<math>H \longrightarrow L^H, \qquad F \longrightarrow \mathrm{Gal}(L/F)</math>
:子扩张{{mvar|F/K}}是伽罗瓦扩张，当且仅当中间域{{mvar|F}}对应的子群{{math|''H'' {{=}} Gal(''L/F'')}}是伽罗瓦群{{mvar|G}}的正规子群。扩张的次数{{math|[''F'' : ''K'']}}有限，当且仅当{{mvar|H}}在{{mvar|G}}中的指数有限，或当{{mvar|H}}是{{mvar|G}}的[[开集|开]]子群。<ref>{{cite web|author=Cindy Tsang|title=Infinite Galois Theory and  Profinite Group Theory|url=http://www.math.ucsb.edu/~cindytsy/talks/infinite%20Galois%20theory%20and%20profinite%20group%20topology.pdf|publisher=[http://www.math.ucsb.edu/ Department of Mathematics, University of California, Santa Barbara]|accessdate=2014-06-14|language=en|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140714162555/http://www.math.ucsb.edu/~cindytsy/talks/infinite%20Galois%20theory%20and%20profinite%20group%20topology.pdf|archivedate=2014-07-14}}</ref><ref>{{cite web|author=Brian Osserman|title=Infinite Galois Theory|url=https://www.math.ucdavis.edu/~osserman/classes/250C/notes/infinite.pdf|publisher=[https://www.math.ucdavis.edu/ Department of Mathematics,  University of California, Davis]|accessdate=2014-06-14|language=en|archive-date=2013-12-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20131206192350/https://www.math.ucdavis.edu/~osserman/classes/250C/notes/infinite.pdf|dead-url=no}}</ref>。

==参见==
*[[伽罗瓦理论]]

== 注释 ==
{{reflist|group="N"}}
==参考来源==
{{reflist|refs=
<ref name="gtm167">{{cite book|author=Patrick Morandi|title=Fields and Galois Theory|year=1996|publisher=Springer（插图版）|language = en|isbn=9780387947532}}</ref>
<ref name="cox">{{cite book|author=David A. Cox|title=Galois Theory|year=2004|url=http://books.google.fr/books?id=3u4RF8SrRooC|publisher=John Wiley & Sons, 1st Edition|language=en|isbn=9780471434191|access-date=2014-06-12|archive-date=2014-07-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20140714205919/http://books.google.fr/books?id=3u4RF8SrRooC|dead-url=no}}</ref>
}}

{{基本定理}}
{{ModernAlgebra}}
[[Category:伽罗瓦理论]]
[[Category:代数定理]]
[[Category:域论]]
[[Category:多项式]]