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{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
'''伽罗瓦扩张'''是[[抽象代数]]中[[伽罗瓦理论]]的核心概念之一。伽罗瓦扩张是[[体 (数学)|域]][[域扩张|扩张]]的一类。如果某个域扩张{{mvar|L/K}}既是[[可分扩张]]也是[[正规扩张]]，则称其为伽罗瓦扩张。另一个等价的定义是：伽罗瓦扩张是使得其上的[[环同态|环]][[自同构]][[群]]的固定域为其基域的域扩张。伽罗瓦扩张上的自同构群称为'''[[伽罗瓦群]]'''，而且伽罗瓦扩张的中间域与其伽罗瓦群的子群之间的关系满足[[伽罗瓦理论基本定理]]。

==等价定义==
给定[[有限扩张|有限]]的域扩张{{mvar|L/K}}。{{mvar|L/K}}是伽罗瓦扩张，[[当且仅当]]它满足以下四个相互等价的条件中的任何一个{{r|cox|page=147}}：
*{{mvar|L/K}}是[[可分多项式|可分]]的[[正规扩张]]。
*{{mvar|L}}是某个以{{mvar|K}}中元素为系数的[[多项式]]在{{mvar|K}}的[[分裂域]]，而且该多项式在此分裂域中没有重根。
*{{math|[''L'' : ''K''] {{=}} {{!}}Aut(''L/K''){{!}}}}。域扩张{{mvar|L/K}}的次数，等于其上的自同构群{{math|Aut(''L/K'')}}的阶数（群元素的个数）。
*{{math|Aut(''L/K'')}}的不变域，即<math>L^{\mathrm{Aut}(L/K)} := \{x\in L|\forall\sigma\in \mathrm{Aut}(L/K),\sigma(x)=x\}</math>，是{{mvar|K}}。

==例子==
给定域扩张<math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\theta, \omega)</math>，其中的{{math|''θ'' {{=}} {{radic|2|3}}}}是2的三次方根，{{mvar|ω {{=}} ''e''<sup>{{frac|2''iπ''|3}}</sup>}}是三次[[单位根]]。<math>L = \mathbb{Q}(\theta, \omega)</math>是多项式{{math|''P'' {{=}} ''X''<sup>3</sup> - 2}}在有理数域上的分裂域，而且它在其中没有重根，所以<math>L/\mathbb Q</math>是伽罗瓦扩张{{r|cox|page=52-53}}。它的扩张次数是6，而它的自同构群元素有六个，同构于[[置换群|3次对称群]]。有关其具体结构，可参见[[伽罗瓦理论基本定理#非交换群的例子|伽罗瓦理论基本定理]]。

==性质==
如果域扩张基域的[[特征 (代数)|特征]]为0，那么所有[[代数扩张]]都是可分扩张，这时所有的正规扩张都是伽罗瓦扩张。

如果域扩张{{mvar|L/K}}是伽罗瓦扩张，则中间扩张{{mvar|K}}⊂{{mvar|F}}⊂{{mvar|L}}中，{{mvar|L/F}}也是伽罗瓦扩张{{r|cox|page=149}}。

域{{mvar|K}}的[[代数闭包]]{{math|''K''<sup>alg</sup>}}是{{mvar|K}}的伽罗瓦扩张，当且仅当{{mvar|K}}是[[完美域]]。

== 参见 ==
*[[正规扩张]]
*[[可分扩张]]
*[[伽罗瓦群]]

== 参考来源 ==
{{reflist|refs=
<ref name="cox">{{cite book|author=David A. Cox|title=Galois Theory|year=2004|url=http://books.google.fr/books?id=3u4RF8SrRooC|publisher=John Wiley & Sons, 1st Edition|language=en|isbn=9780471434191|access-date=2014-06-14|archive-date=2014-07-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20140714205919/http://books.google.fr/books?id=3u4RF8SrRooC|dead-url=no}}</ref>
}}
== 参考文献 ==
*{{cite book | author=Serge Lang| title=Algebra | publisher=Springer-Verlag | year=2002 | id=ISBN 978-0-387-95385-4}}
*{{cite book|author=Patrick Morandi|title=Fields and Galois Theory|year=1996|publisher=Springer（插图版）|language = en|isbn=9780387947532}}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:域论|G]]
[[Category:伽罗瓦理论|G]]