查看“︁伽玛分布”︁的源代码

{{noteta
|G1=Math
|1=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數
|2=zh-cn:尺度参数;zh-tw:比例母數;zh-hant:尺度參數
|3 = zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
}}

{{機率分佈
| name       =Gamma
|type       =密度
|pdf_image  =[[File:Gamma distribution pdf.png|325px|Probability density plots of gamma distributions]]
|cdf_image  =[[File:Gamma distribution cdf.png|325px|Cumulative distribution plots of gamma distributions]]
|parameters =<math>k > 0\,</math> [[形状参数]] ([[实数]])<br /><math>\theta > 0\,</math> [[尺度参数]] (实数)
|support    =<math>x \in (0; \infty)\!</math>
|pdf        =<math>x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!</math>
|cdf        =<math>\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!</math>
|mean       =<math>k \theta\,\!</math>
|median     =no simple closed form
|mode       =<math>(k-1) \theta\,\!</math> for <math>k \geq 1\,\!</math>
| variance   =<math>k \theta^2\,\!</math>
|skewness   =<math>\frac{2}{\sqrt{k}}\,\!</math>
|kurtosis   =<math>\frac{6}{k}\,\!</math>
|entropy    =<math>k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!</math><br /><math>+ (1-k)\psi(k) \!</math>
|mgf        =<math>(1 - \theta\,t)^{-k}\,\!</math> for <math>t < 1/\theta\,\!</math>
|char       =<math>(1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!</math>
}}
'''伽玛分布'''（{{lang-en|Gamma distribution}}）是[[統計學]]的一種連續[[機率分布]]。伽玛分佈中的[[母數]]α，稱為形狀参数，β稱為尺度参数。

==實驗定義與觀念==
假设X<sub>1</sub>, X<sub>2</sub>, ... X<sub>n</sub> 为连续发生事件的等候时间，且这n次等候时间为独立的，那么这n次等候时间之和Y (Y=X<sub>1</sub>+X<sub>2</sub>+...+X<sub>n</sub>)服从伽玛分布，即 Y~Gamma(α , β)，亦可記作Y~Gamma(α , λ)，其中α = n，而 β 與λ互為[[倒数|倒數]]關係，λ 表單位時間內事件的發生率。

[[指数分布]]為α = 1的伽瑪分布。

==記號==
有兩種表記方法：

<math>X \sim \Gamma(\alpha, \beta)</math>或<math>X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)</math>

兩者所表達意義相同，只要將以下式子做<math>{\color{Red}\lambda =\frac{1}{\beta}}</math>的替換即可，即，其機率密度函數為：

<math>
f \left( x \right)
=
\frac{x^\left(\alpha-1\right){\color{Red}\lambda}^\alpha e^\left(-{\color{Red}\lambda} x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)}
=
\frac{x^\left(\alpha-1\right)e^\left(-{\color{Red}\frac{1}{\beta}} x\right)}{{\color{Red}\beta}^\alpha \Gamma\left(\alpha \right)}

</math>，<span style="font-size:larger;">x</span> > 0


其中[[Γ函数|Gamma函数]]之特徵為：

<math>
\begin{cases} \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)! & \mbox{if }\alpha\mbox{ is }\mathbb{Z}^+
\\ \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)& \mbox{if }\alpha\mbox{ is }\mathbb{R}^+
\\ \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}
\end{cases}
</math>

==特性==
===母函數、期望值、變異數===
*Gamma分配的[[矩母函数]]（m.g.f）
:<math>
M_{x}\left( t \right) 
=
E\left( e^{xt} \right)
=
\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma\left(\alpha\right)}
\int_{0}^{\infty}
e^{xt}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx
=
\left( \frac{\lambda}{\lambda-t} \right)^{\alpha}
=
\left( 1-{\beta}{t} \right)^{-\alpha}
</math>

*[[概率母函数]]（p.g.f）

:<math>
K_x\left(t\right) 
= 
\ln M_x\left( t \right)
=
\alpha\left[\ln\lambda-\ln\left(\lambda-t\right)\right]
</math>

*[[期望值]]

:<math>
\frac { dK_x \left( t \right) } {dt}
=
\frac {\alpha} {\lambda-t}
 ,\quad when(t=0),
E\left( X \right)
=
\frac{\alpha}{\color{Red}\lambda}
=
\alpha{\color{Red}\beta}
</math>

*[[方差]]

:<math>
\frac { d^2K_x \left( t \right) } {dt^2}
=
\frac {\alpha} {\left(\lambda-t\right)^2}
 ,\quad when(t=0),
\sigma^2\left( X \right)
=
\frac{\alpha}{\color{Red}{\lambda^2}}
=
\alpha{\color{Red}{\beta^2}}
</math>

===Gamma的可加性===

當兩隨機變數服從Gamma分布，且相互[[独立 (概率论)|獨立]]，且[[母數]]（<math>\lambda</math>或<math>\beta</math>）相同時，Gamma分布具有可加性。

:<math>
\coprod
\begin{cases} r.v.X\sim \Gamma \left( {\color{green}\alpha_1},\lambda \right) 
\\
r.v.Y\sim \Gamma \left( {\color{green}\alpha_2},\lambda \right)
\end{cases}
\Longrightarrow
X+Y\sim \Gamma \left( {\color{green}\alpha_1+\alpha_2},\lambda \right)
</math>

== 外部連結 ==
* [http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/ LDA-math-神奇的Gamma函数]{{Wayback|url=http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/ |date=20130320130016 }}
* [http://www.vias.org/simulations/simusoft_distcalc.html 分布计算器]{{Wayback|url=http://www.vias.org/simulations/simusoft_distcalc.html |date=20070129113929 }}（英文）

{{-}}
{{概率分布类型列表|伽玛分布}}

[[Category:连续分布]]
[[Category:阶乘与二项式主题]]