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'''伽利略變換'''（{{lang-en|Galilean transformation}}）是[[經典力學|-{zh-cn:经典力学; zh-hk:經典力學; zh-tw:古典力學}-]]中用以在兩個只以匀速相對移動的[[参考系|參考系]]之間變換的方法，屬於一種被動態變換。在[[狹義相對論|相對論]]效應下，伽利略变换在物體以接近[[光速]]運動时不成立<ref>{{Cite web |url=https://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=74549 |title=伽利略變換 |access-date=2021-06-26 |archive-date=2021-06-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210628155710/https://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=74549 |dead-url=no }}</ref>，在電磁系統中也不会成立。<ref>{{cite book|author= 	Arthur Beiser; Kok Wai Cheah|title=''Concepts of modern physics''|year=2015|publisher=McGraw-Hill|isbn=9789814595261|pages=第6頁}}</ref>

[[伽利略·伽利莱]]在解釋匀速運動時制定了這一套概念。<ref>Galileo 1638 ''Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze'' '''191''' - '''196''', published by [[Lowys Elzevir]] ([[Louis Elsevier]]), Leiden, or  ''[[Two New Sciences]]'', English translation by [[Henry Crew]] and [[Alfonso de Salvio]] 1914, reprinted on pages 515-520 of ''On the Shoulders of Giants'': The Great Works of Physics and Astronomy. [[Stephen Hawking]], ed. 2002 ISBN 978-0-7624-1348-5</ref>他用其解釋[[球體]]滾下[[斜面]]這一力學問題，並測量出[[地球]]表面[[引力]][[加速度]]的數值。

在狭义相对论中，伽利略变换被[[龐加萊群|庞加莱变换]]所取代；相反，庞加莱变换的[[经典极限]]''c'' →∞中的群收缩产生了伽利略变换。

==平移==
[[Image:Galilean transformation zh.svg|right|thumb|300px|伽利略變換示意圖]]
伽利略變換建基於人們加減物體速度的直覺。在其核心，伽利略變換假設時間和空間是[[絕對同時|絕對]]的。

這項假設在[[洛伦兹变换]]中被捨棄，因此就算在[[狹義相對論|相對論]]性速度下，洛伦兹变换也是成立的；而伽利略變換則是洛伦兹变换的低速近似值。

以下為伽利略變換的數學表達式，其中<math>(x,y,z,t)</math>和<math>(x',y',z',t')</math>分別為同一個事件在兩個坐標系<math>S</math>和<math>S'</math>中的坐標。兩個坐標系以相對匀速運行（[[速度]]為<math>v</math>），運行方向為<math>x</math>和<math>x'</math>，原點在時間<math>t=t'=0</math>時重合。
<ref>{{citation
|title=Basic relativity
|first1=Richard A.
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|publisher=Springer-Verla
|year=2002
|isbn=0-387-95210-1
|url=http://books.google.com/?id=lfGE-wyJYIUC&pg=PA42
}}, [http://books.google.be/books?id=lfGE-wyJYIUC&pg=PA42 Chapter 2 §2.6, p. 42] {{Wayback|url=http://books.google.be/books?id=lfGE-wyJYIUC&pg=PA42 |date=20120229175149 }}</ref>
<ref>{{citation
|title=Physics for Scientists and Engineers, Volume 2
|first1=Lawrence S.
|last1=Lerner
|publisher=Jones and Bertlett Publishers, Inc
|year=1996
|isbn=0-7637-0460-1
|url=http://books.google.com/?id=B8K_ym9rS6UC&pg=PA1047
}}, [http://books.google.be/books?id=B8K_ym9rS6UC&pg=PA1047 Chapter 38 §38.2, p. 1046,1047] {{Wayback|url=http://books.google.be/books?id=B8K_ym9rS6UC&pg=PA1047 |date=20120229175403 }}</ref>
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|title=Principles of Physics: A Calculus-based Text, Fourth Edition
|first1=Raymond A.
|last1=Serway
|first2=John W.
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|publisher=Brooks/Cole - Thomson Learning
|year=2006
|isbn=0-534-49143-X
|url=http://books.google.com/?id=1DZz341Pp50C&pg=PA261
}}, [http://books.google.be/books?id=1DZz341Pp50C&pg=PA261 Chapter 9 §9.1, p. 261] {{Wayback|url=http://books.google.be/books?id=1DZz341Pp50C&pg=PA261 |date=20120229175444 }}</ref>
<ref>{{citation
|title=Relativity and Its Roots
|first1=Banesh
|last1=Hoffmann
|publisher=Scientific American Books
|year=1983
|isbn=0-486-40676-8
|url=http://books.google.com/?id=JokgnS1JtmMC&pg=PA83
}}, [http://books.google.be/books?id=JokgnS1JtmMC&pg=PA83 Chapter 5, p. 83] {{Wayback|url=http://books.google.be/books?id=JokgnS1JtmMC&pg=PA83 |date=20120229175528 }}</ref>

:<math>x'=x-vt\,</math>
:<math>y'=y \,</math>
:<math>z'=z \,</math>
:<math>t'=t \,</math>

最後一條方程式意味著時間是不受觀測者的相對運動影響的。

利用[[線性代數]]的術語來說，這種變換是個[[錯切]]，是矩陣對向量進行變換的一個過程。當參考系只沿著x軸移動時，伽利略變換只作用於兩個分量：

:<math>(x', t') = (x,t) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\-v & 1 \end{pmatrix}.</math>
雖然在伽利略變換中沒有必要用到矩陣表達法，但是用了矩陣就可以和狹義相對論中的變換法進行比較。

==三種伽利略變換==
[[Image:Galilean transform of world line.gif|right|framed|沿著一個加速中觀測者的[[世界線]]所看到的[[時空]]。<br><br>縱軸為時間，橫軸為距離，虛線為觀測者在時空中的軌跡。圖的下半部是已經發生了的事件，上半部則是未來的事件。圖中小點為時空中的事件。<br><br>世界線的斜率為觀測者的相對速率。注意觀測者在加速時所看到的時空會進行[[錯切]]。]]

伽利略變換可以唯一寫成由時空的旋轉、平移和匀速運動[[複合函數|複合]]而成的函數。<ref name="mmcm">{{cite book|last1=Arnold|first1=V. I.|title=Mathematical Methods of Classical Mechanics|publisher=Springer-Verlag|year=1989|edition=2|isbn=0-387-96890-3|page=6|url=http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-0-387-96890-2|access-date=2013-01-30|archive-date=2013-03-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20130312032011/http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-0-387-96890-2|dead-url=no}}</ref>設'''x'''為三維空間中的一點，''t''為一維時間中的一點。時空當中的任何一點可以表達為[[有序對]]('''x''',''t'')。速度為'''v'''的匀速運動表達為<math>(\mathbf{x},t) \mapsto (\mathbf{x}+t\mathbf{v},t)</math>，其中'''v'''在'''R'''<sup>3</sup>內。平移表達為<math>(\mathbf{x},t) \mapsto (\mathbf{x}+\mathbf{a},t+b)</math>，其中'''a'''在'''R'''<sup>3</sup>內，''b''在'''R'''內。旋轉表達為<math>(\mathbf{x},t) \mapsto (G\mathbf{x},t)</math>，其中{{nowrap|1=''G'' : '''R'''<sup>3</sup> → '''R'''<sup>3</sup>}}為某[[正交變換]]。<ref name="mmcm"/>作為一個[[李群]]，伽利略變換的維度為10。<ref name="mmcm"/>

这三种变换可更加数学化地表达为伽利略群<ref>H.R.Petry,B.Metsch; Theoretische Mechanik (Oldenburg, München 2005) 第18页 ISBN 3-486-24673-9</ref>。首先G为SO(3)中的旋转矩阵，3维内积在G的作用下保持不变，表达为:<math> <G\overrightarrow{x},G\overrightarrow{y}>=<\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}>\,\!</math>设在某t时刻有映射<math>\varphi_t(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},G)</math>将空间上的某一点x映射到另一点<math>G\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \cdot t</math>上。可证得<math>\varphi_t</math>构成一个群。<br>
结合律：<math>\varphi_t</math>为线性映射，线性映射满足结合律。

单位元：<math>\varphi_t(\overrightarrow{0},\overrightarrow{0},\mathbf{I})(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}</math><br>

逆映射：<math>\varphi_t(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},G)^{-1}=\varphi_t(-G^{-1} \overrightarrow{a},-G^{-1} \overrightarrow{b},G^{-1})</math><br>

封闭性：<math>\begin{align}
\varphi_t(\overrightarrow{a'},\overrightarrow{b'},G')\circ \varphi_t(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},G)(\overrightarrow{x})=GG'\overrightarrow{x}+(G'\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a'})+(G\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b'}) \cdot t \\
=\varphi_t(G'\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a'},G\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b'},GG')(\overrightarrow{x})\end{align}</math>
对应的有：<br>
空间平移：<math>\varphi_t(\overrightarrow{a},\overrightarrow{0},\mathbf{I})(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a}</math><br>
速度变换：<math>\varphi_t(\overrightarrow{0},\overrightarrow{b},\mathbf{I})(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{b} \cdot t</math><br>
空间旋转：<math>\varphi_t(\overrightarrow{0},\overrightarrow{0},G)(\overrightarrow{x})=G\overrightarrow{x}</math><br>
<math>\varphi_t(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},G)</math>为不含时伽利略群，加上时间平移<math>t \mapsto t+t_0</math>后映射<math>(\overrightarrow{x},t) \mapsto (\varphi_t,t+t_0)= (G\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \cdot t,t+t_0)</math>构成一个完整伽利略群，其依旧满足群的性质。完整伽利略群具有10个生成元，分别为3个空间平移(x,y,z)，3个空间转动(对应3个坐标基矢），3个速度，以及一个时间平移。



==伽利略群的中心擴張==
這裡我們只考慮[[伽利略群]]的[[李代數]]。結果能夠輕易延伸到[[李群]]。L的李代數由H、P<sub>i</sub>、C<sub>i</sub>和L<sub>ij</sub>[[線性生成空間|張成]]（[[反對稱張量]]），並能夠受[[交換子]]的作用，其中
:<math>[H,P_i]=0 \,\!</math>
:<math>[P_i,P_j]=0 \,\!</math>
:<math>[L_{ij},H]=0 \,\!</math>
:<math>[C_i,C_j]=0 \,\!</math>
:<math>[L_{ij},L_{kl}]=i [\delta_{ik}L_{jl}-\delta_{il}L_{jk}-\delta_{jk}L_{il}+\delta_{jl}L_{ik}] \,\!</math>
:<math>[L_{ij},P_k]=i[\delta_{ik}P_j-\delta_{jk}P_i] \,\!</math>
:<math>[L_{ij},C_k]=i[\delta_{ik}C_j-\delta_{jk}C_i] \,\!</math>
:<math>[C_i,H]=i P_i \,\!</math>
:<math>[C_i,P_j]=0 \,\!.</math>

H為時間平移的生成元（[[哈密顿算符]]），P<sub>i</sub>為平移的生成元（[[動量算符]]），C<sub>i</sub>為伽利略變換的生成元，而L<sub>ij</sub>為旋轉的生成元（[[角動量算符]]）。

現在我們可以對H'、P'<sub>i</sub>、C'<sub>i</sub>、L'<sub>ij</sub>（反對稱張量）、M所張成的李群進行中心擴張，使得M與一切都[[可交換]]（位於[[中心 (群论)|中心]]，「中心擴張」因此得名）：
:<math>[H',P'_i]=0 \,\!</math>
:<math>[P'_i,P'_j]=0 \,\!</math>
:<math>[L'_{ij},H']=0 \,\!</math>
:<math>[C'_i,C'_j]=0 \,\!</math>
:<math>[L'_{ij},L'_{kl}]=i [\delta_{ik}L'_{jl}-\delta_{il}L'_{jk}-\delta_{jk}L'_{il}+\delta_{jl}L'_{ik}] \,\!</math>
:<math>[L'_{ij},P'_k]=i[\delta_{ik}P'_j-\delta_{jk}P'_i] \,\!</math>
:<math>[L'_{ij},C'_k]=i[\delta_{ik}C'_j-\delta_{jk}C'_i] \,\!</math>
:<math>[C'_i,H']=i P'_i \,\!</math>
:<math>[C'_i,P'_j]=i M\delta_{ij} \,\!</math>

==參見==
*[[洛伦兹群]]
*[[龐加萊群]]

==備註==
{{Reflist}}

{{Relativity}}

[[Category:理論物理]]
[[Category:经典力学]]