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在[[數學]]中，一個[[李群]] ''G'' 的'''伴隨表示'''（{{lang|en|adjoint representation}}）或'''伴隨作用'''（{{lang|en|adjoint action}}）是 ''G'' 在它自身的[[李代數]]上的自然表示。這個表示是群 ''G'' 在自身上的[[共軛 (群論)|共軛]][[群作用|作用]]的線性化形式。

==正式定义==

設 ''G'' 是一個[[李群]]，<math>\mathfrak g</math> 是它的[[李代數]]（我們將其等價於 ''G'' 中[[恒同元素]]的[[切空間]] ''T''<sub>''e''</sub>''G''）。利用方程 <math>\Psi(g)= \Psi_g</math> 對 ''g'' 屬於 ''G''，定義一個映射

:<math>\Psi : G \to \mathrm{Aut}(G),\,</math>

這里 <math>\mathrm{Aut}(G)</math> 是 ''G'' 的[[自同構群]]而[[自同構]] <math>\Psi_g</math> 定義為

:<math>\Psi_g(h) = ghg^{-1}\,</math> 對所有 ''h'' 屬於 ''G''。

從而 Ψ<sub>''g''</sub> 在恒同處的[[前推 (微分)|微分]]是李代數 <math>\mathfrak g</math> 的一個自同構。我們記這個映射為 Ad<sub>''g''</sub>：

:<math>\mathrm{Ad}_g\colon \mathfrak g \to \mathfrak g.\,</math>

所謂 Ad<sub>''g''</sub> 是一個李代數自同構是說 Ad<sub>''g''</sub> 是 <math>\mathfrak g</math> 的一個保持李括號的[[線性變換]]。映射
:<math>\mathrm{Ad}\colon G \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g)</math>
將 ''g'' 映為 Ad<sub>''g''</sub> 稱為 '''G''' 的'''伴隨表示'''（{{lang|en|adjoint representation}}）。這确实是 ''G'' 的一個表示因為 <math>\mathrm{Aut}(\mathfrak g)</math> 是 <math>\mathrm{GL}(\mathfrak g)</math> 的一個[[李子群]]且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 ''G'' 的維數相同。

===李代数的伴随表示===
我們可以由李群 ''G'' 的一個表示通過在恒同處取導數變為它的[[李代數的表示]]。取伴隨映射的導數

:<math>\mathrm{Ad}\colon G \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g),\,</math>

給出李代數 <math>\mathfrak g</math> 的'''伴隨表示'''：

:<math>\mathrm{ad}\colon \mathfrak g \to \mathrm{Der}(\mathfrak g).\,</math>

這里 <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math> 是 <math>\mathrm{Aut}(\mathfrak g)</math> 的李代數，可以與 <math>\mathfrak g</math> 上的[[微分代數#李代數上的導子|導子代數]]等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯繫。特別地，我們可以證明

:<math>\mathrm{ad}_x(y) = [x,y]\,</math>

對所有 <math>x,y \in \mathfrak g</math> 成立。詳情請見[[李代数的伴随表示]]。

==例子 ==

*如果 ''G'' 是一個 ''n'' 維[[阿貝爾群]]，''G'' 的伴隨表示是''n'' 維[[平凡表示]]。
*如果 ''G'' 是一個[[矩陣李群]]（即 GL(''n'','''C''') 的一個閉子群），則它的李代數是一個以[[交換子]]作李括號的 ''n''×''n'' 矩陣代數（即 <math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb C)</math> 的子代數）。此時，伴隨映射由 Ad<sub>''g''</sub>(''x'') = ''gxg''<sup>&minus;1</sup> 給出。
*如果 ''G'' 是 [[SL2(R)|SL<sub>2</sub>('''R''')]]（行列式為 1 的 2×2 實矩陣），''G'' 的李代數由[[跡]] 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 ''G'' 在兩個變量[[二次型]]空間上通過線性替換給出的作用。

== 性质 ==
下表總結了定義中提到的不同映射的性質
{| align=center border=1 cellpadding=2 style="border: solid 1pt black; border-collapse: collapse;"
| align=center | <math>\Psi\colon G \to \mathrm{Aut}(G)\,</math>
| align=center | <math>\Psi_g\colon G \to G\,</math>
|-
| valign=top | 李群同態:
<ul>
 <li><math>\Psi_{gh} = \Psi_g\Psi_h</math></li>
</ul>
| valign=top | 李群自同態:
<ul>
 <li><math>\Psi_g(ab) = \Psi_g(a)\Psi_g(b)</math></li>
 <li><math>(\Psi_g)^{-1} = \Psi_{g^{-1}}</math></li>
</ul>
|-
| align=center | <math>\mathrm{Ad}\colon G \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g)</math>
| align=center | <math>\mathrm{Ad}_g\colon \mathfrak g \to \mathfrak g</math>
|-
| valign=top | 李群同態:
<ul>
 <li><math>\mathrm{Ad}_{gh} = \mathrm{Ad}_g\mathrm{Ad}_h</math></li>
</ul>
| valign=top | 李代數自同態:
<ul>
 <li><math>\mathrm{Ad}_g</math> 線性
 <li><math>(\mathrm{Ad}_g)^{-1} = \mathrm{Ad}_{g^{-1}}</math>
 <li><math>\mathrm{Ad}_g[x,y] = [\mathrm{Ad}_g(x),\mathrm{Ad}_g(y)]</math>
</ul>
|-
| align=center | <math>\mathrm{ad}\colon \mathfrak g \to \mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>
| align=center | <math>\mathrm{ad}_x\colon \mathfrak g \to \mathfrak g</math>
|-
| valign=top | 李代數同態:
<ul>
 <li><math>\mathrm{ad}</math> 线性</li>
 <li><math>\mathrm{ad}_{[x,y]} = [\mathrm{ad}_x,\mathrm{ad}_y]</math></li>
</ul>
| valign=top | 李代數導子:
<ul>
 <li><math>\mathrm{ad}_x</math> 線性
 <li><math>\mathrm{ad}_x[y,z] = [\mathrm{ad}_x(y),z] + [y,\mathrm{ad}_x(z)]</math>
</ul>
|}

''G'' 在伴隨映射下的[[像 (数学)|像]]記為 Ad<sub>''G''</sub>。如果 ''G'' [[連通空間|連通]]，則伴隨表示的[[核 (群論)|核]]與 Ψ 的核相同，就是 ''G'' 的[[中心 (群論)|中心]]。從而，如果 ''G'' 中心平凡，則連通李群 ''G'' 的伴隨表示是[[忠實表示|忠實]]的。進一步，如果 ''G'' 不連通，伴隨映射的核是 ''G'' 的[[單位分支]] ''G''<sub>0</sub> 的[[中心化子]]。由[[第一同構定理]]我們有

:<math>\mathrm{Ad}_G \cong G/C_G(G_0).\,</math>

== 半单李群的根 ==

如果 ''G'' [[半單群|半單]]，伴随表示的非零[[权 (表示论)|权]]组成一个[[根系 (数学)|根系]]。为了说明这是怎么回事，考虑特例 ''G''=SL<sub>''n''</sub>('''R''')。

我们可取[[对角矩阵]] diag(''t''<sub>1</sub>,...,''t''<sub>''n''</sub>) 的群是 ''G'' 的[[极大环面]] ''T''。用 ''T'' 中元素的共轭作用为
:<math>\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{bmatrix}
\mapsto
\begin{bmatrix}
a_{11}&t_1t_2^{-1}a_{12}&\cdots&t_1t_n^{-1}a_{1n}\\
t_2t_1^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots&t_2t_n^{-1}a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
t_nt_1^{-1}a_{n1}&t_nt_2^{-1}a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{bmatrix}.
</math>

从而 ''T'' 在 ''G'' 的李代数的对角部分上的作用平凡，在非对角元素上有本征向量 ''t''<sub>''i''</sub>''t''<sub>''j''</sub><sup>-1</sup>。''G'' 的根是权 
diag(''t''<sub>1</sub>,...,''t''<sub>''n''</sub>)→''t''<sub>''i''</sub>''t''<sub>''j''</sub><sup>-1</sup>。这是 ''G''=SL<sub>''n''</sub>('''R''') 的根系作为''e''<sub>''i''</sub>&minus;''e''<sub>''j''</sub> 形式的向量集合的标准描述之说明。

== 变体与类比 ==
伴随表示也能对任何域上的[[代数群]]定义。

'''餘伴随表示'''（{{lang|en|co-adjoint representation}}）是伴随表示的[[对偶表示|逆步表示]]。[[亚历山大·卡里洛夫]]（{{lang|en|Alexandre Kirillov}}）观察到任何向量在餘伴随表示中的[[轨道 (群论)|轨道]]是一个[[辛流形]]。按照[[表示论]]中称之为'''轨道方法'''的哲学（另见[[卡里洛夫特征标公式]]（{{lang|en|Kirillov character formula}}）），一个李群 ''G'' 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在[[幂零李群]]时最密切。

==参考==
*{{Citation
| last=Fulton
| first=William
| author-link=William Fulton
| last2=Harris
| first2=Joe
| author2-link=Joe Harris (mathematician)
| title=Representation theory. A first course
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| location=New York
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]], Readings in Mathematics
| isbn=978-0-387-97495-8
| id={{MathSciNet | id = 1153249}}, ISBN 978-0-387-97527-6
| year=1991
| volume=129}}
*{{Citation
| last=Hall
| first=Brian C. 
| title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction
| publisher=[[Springer-Verlag]]( reprinted by World Publishing Corporation, Beijing)
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| isbn=978-7-5062-8297-0
| year=2004
| volume=222}}

[[Category:李群表示论|B]]