查看“︁伴随矩阵”︁的源代码

{{Veil|time=2015-09-12}}
{{No footnotes |time=2019-12-15}}

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{About|'''古典伴隨矩陣'''|現今一般所指的'''伴隨算子'''|埃爾米特伴隨}}
{{线性代数}}
在[[线性代数]]中，一个[[矩阵|方形矩阵]]的'''伴随矩阵'''（{{lang-en|adjugate matrix}}）是一个类似于[[逆矩阵]]的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到[[除法]]。

'''<math>\mathbf{A}</math>'''的伴随矩阵记作<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A})</math>，或<math>\mathbf{A}^*</math>。

== 定义 ==
{{see also|子式和余子式|余因子矩阵|转置矩阵}}
设''R''是一个[[交换环]]，'''A'''是一个以''R''中元素为系数的''n''×''n''的[[矩阵]]。''A''的伴随矩阵可按如下步骤定义：
* 定义：'''A'''关于第''i''行第''j''列的'''余子式'''（记作'''M'''<sub>''ij''</sub>）是去掉'''A'''的第''i''行第''j''列之后得到的(''n'' − 1)×(''n'' − 1)矩阵的[[行列式]]。
* 定义：'''A'''关于第''i''行第''j''列的'''代数余子式'''是：
::<math>\mathbf{C}_{ij} =(-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}</math>。
* 定义：'''A'''的'''余子矩阵'''是一个''n''×''n''的矩阵'''C'''，使得其第''i''行第''j''列的元素是'''A'''关于第''i'' 行第''j'' 列的'''代数余子式'''。

引入以上的概念后，可以定义：矩阵'''A'''的'''伴随矩阵'''是'''A'''的余子矩阵的'''转置矩阵'''：

:<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T </math>，

也就是说，'''A'''的'''伴随矩阵'''是一个''n''×''n''的矩阵（记作adj('''A''')），使得其第''i'' 行第''j'' 列的元素是'''A'''关于第''j''行第''i''列的'''代数余子式'''。
简言之，伴随矩阵就是把原来'''余子矩阵C'''每一列的代数余子式横着写：
:<math>\left[ \mathrm{adj}(\mathbf{A}) \right]_{ij} = \mathbf{C}_{ji} </math>。

== 例子 ==

=== 2x2矩阵===

一个<math>2\times 2</math>矩阵<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}}  & {{d}} \end{bmatrix}</math>的伴随矩阵是
:<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{bmatrix}</math>

=== 3x3矩阵===

对于<math>3\times 3</math>的矩阵，情况稍微复杂一点：
:<math>
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}</math> 
其伴随矩阵是：
:<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
 & & \\
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
 & & \\
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
\end{bmatrix}^T</math>

其中
:<math>\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|=
\det\left[    \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right]=
\det\left|    \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|</math> 

要注意伴随矩阵是[[餘因子矩陣]]的转置，因此第''3''行第''2''列的系数是'''A'''关于第''2''行第''3''列的代数余子式。

=== 具体情况===

对于数值矩阵，
例如求矩阵 <math> A = \begin{bmatrix}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{bmatrix} </math> 的伴随矩阵<math>\operatorname{adj}(A)</math>，

只需将数值代入上节得到的表达式中。

即：<math>\operatorname{adj}(A)_{ji}=C_{ij}=(-1)^{i+j}(M_{ij})</math>。

其中，<math>M_{ij}</math>為刪掉矩陣 <math>A</math> 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式，<math>C_{ji}</math>為矩陣 <math>A</math> 的[[餘因子]]。


例如：<math> \operatorname{adj}(A)</math>中'''第3行第2列'''的元素为

:<math>\operatorname{adj}(A)_{32}=C_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname{det}\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\ \,3&\!-4\end{bmatrix}=-((-3)\cdot (-4)-2 \cdot 3)=-6</math>

依照其順序一一計算，便可得到计算后的结果是：

:<math> 
\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}\begin{bmatrix}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\!-8 &  18  & \, -4 \\
\, -5 &  12  & \, -1 \\
\!4 & \!-6 & \, 2
\end{bmatrix}</math>

==应用==
作为[[拉普拉斯展开|拉普拉斯公式]]的推论，关于''n''×''n''矩阵'''A'''的[[行列式]]，有：

:<math>\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf{I}\qquad(*)</math>

其中'''I'''是''n''阶的[[单位矩阵]]。事实上，'''A''' adj('''A''')的第''i''行第''i''列的系数是
:<math>\sum_{j=1}^{n} a_{i;j}  C_{i,j}</math>。根据拉普拉斯公式，等于'''A'''的行列式。

如果''i'' ≠ ''j''，那么'''A''' adj('''A''')的第''i''行第''j''列的系数是
:<math>\sum_{k=1}^{n} a_{i;k}  C_{j,k}</math>。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把'''A'''的第''j''行元素换成第''i''行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。

由这个公式可以推出一个重要结论：交换环''R''上的矩阵'''A'''可逆当且仅当其行列式在环''R''中可逆。

这是因为如果'''A'''可逆，那么
:<math>1 = \det(\mathbf I) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1})</math>，

如果det('''A''')是环中的[[可逆元]]那么公式（*）表明
:<math>\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A})</math>

== 性质==
对<math>n\times n</math>的矩阵'''A'''和'''B'''，有：
#<math>\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}</math>，
#<math>\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})</math>，
#<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T</math>，
#<math>\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}</math>，
#<math>\mathrm{adj}(k \mathbf{A}) = k^{n-1} \ \mathrm{adj}(\mathbf{A})</math>
#当n>=2时，<math> \mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) =(\det \mathbf{A})^{n-2} \mathbf{A} </math>
#如果'''A'''可逆，那么<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{-1}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{-1} = \frac{A}{\det A}</math>
#如果'''A'''是[[对称矩阵]]，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果'''A'''是[[反对称矩阵]]，那么当''n''为偶数时，'''A'''的伴随矩阵也是反对称矩阵，''n''为奇数时则是对称矩阵。
#如果'''A'''是（半）[[正定矩阵]]，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
#如果矩阵'''A'''和'''B'''[[相似矩阵|相似]]，那么<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A})</math>和<math>\mathrm{adj}(\mathbf{B})</math>也相似。
#如果n>2，那么非零矩阵'''A'''是[[正交矩阵]]当且仅当<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \pm A^T</math> 

===伴随矩阵的秩===
当矩阵'''A'''可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的[[矩阵的秩|秩]]一样，都是''n''。当矩阵'''A'''不可逆时，'''A'''的伴随矩阵的秩通常并不与'''A'''相同。当'''A'''的秩为''n''-1时，其伴随矩阵的秩为1，当'''A'''的秩小于''n''-1时，其伴随矩阵为零矩阵。

===伴随矩阵的特征值===
设矩阵'''A'''在复域中的[[特征值]]为<math>\lambda_1, \lambda_2 \cdots \lambda_n</math>(即为[[特征多项式]]的''n''个根），则'''A'''的伴随矩阵的特征值为
:<math> \lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1} </math>。

{{HideH|证明}}
这里要用到一个结论作为'''引理'''：一个''n''阶矩阵的''n''个特征值的和等于它的[[迹数]]，它们的乘积等于矩阵的[[行列式]]。

分3种情况讨论：
*如果'''A'''的秩为''n''，即是说'''A'''可逆，那么由引理有：<math> \det A = \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n</math>。只需证明'''A'''的伴随矩阵的特征值为<math> \frac{ \det A}{\lambda_1} , \frac{ \det A}{\lambda_2}, \cdots , \frac{ \det A}{\lambda_n} </math>。考察矩阵<math> X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A}) </math>：
:<math> \det( X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A})  )</math>
:<math>
\ \ = \det( X \mathbf{I} - \det \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} ) </math> 
:<math>
\ \ = \det \mathbf{A}^{-1} \cdot \det( X \mathbf{A} - \det \mathbf{A} \cdot \mathbf{I})</math> <math>
\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot X^n \cdot \det(\mathbf{A} - \frac{\det \mathbf{A} }{X} \mathbf{I} )
  </math>

由于<math> \det( \mathbf{A} - X \mathbf{I}) = \prod_{i=1}^n(\lambda_i - X)</math>，因此
:<math>\det(\mathbf{A} - \frac{\det \mathbf{A} }{X} \mathbf{I} ) </math> 
:<math>\ \ = \prod_{i=1}^n(\lambda_i - \frac{\det \mathbf{A} }{X}) </math> 
:<math>\ \ = \frac{1}{X^n} \prod_{i=1}^n(\lambda_i X - \det \mathbf{A}) </math>

因此
:<math> \det( X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A})  )</math> 
:<math>\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot X^n \cdot \frac{1}{X^n} \prod_{i=1}^n(\lambda_i X - \det \mathbf{A}) </math> 
:<math>\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n \prod_{i=1}^n(X -  \frac{ \det A}{\lambda_i}) </math> 
:<math>\ \ = \prod_{i=1}^n( X - \frac{\det A}{\lambda_i})</math> 

可以看到<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A})</math>的特征多项式为<math> \prod_{i=1}^n(X - \frac{ \det A}{\lambda_i}) </math>，因此命题成立。 

*如果'''A'''的秩严格小于''n''-1，即是说'''A'''至少有两个特征值为0，于是
:<math> \lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1} </math>
全部都是0。这时'''A'''的伴随矩阵为0，因此特征值也全是0。命题成立。 

*如果'''A'''的秩等于''n''-1，即是说'''A'''至少有一个特征值为0，不妨设其为<math> \lambda_1</math>。由于这时'''A'''的伴随矩阵秩为1，它至少有''n''-1个特征值为0。设剩余的一个为<math>\alpha</math>，则其[[迹数]]为<math>\alpha</math>。另一方面，'''A'''的伴随矩阵的迹数为
: <math>C_{11} +C_{22} + \cdots + C_{nn}</math>
这个和恰好等于<math>\sum_{i=1}^n \prod_{k \neq i} \lambda_k</math>，即等于<math>\lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}</math>（其余都是0）。

综上所述，对任意的矩阵'''A'''，命题都成立。
{{HideF}}

===伴随矩阵和特征多项式===

设 <math> p(t)=\mathrm{det}(\mathbf{A}-t\mathbf{I}) </math> 为<math> \mathbf{A} </math>的[[特征多项式]]，定义<math>q (t) = \frac{p (0)-p (t)}{t}</math>，那么： 

:<math> \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1}) </math>,

其中<math> p_i </math>是<math>p(t)</math>的各项系数：
:<math> p (t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}</math>。

伴随矩阵也出现在[[行列式]]的[[导数]]形式中。


==参见==
* [[逆矩阵]]
* [[可逆元]]
* [[余子矩阵]]
* [[行列式]]

== 参考来源 ==
{{Reflist}}
* {{cite book |last=Strang |first=Gilbert |title=''Linear Algebra and its Applications'' |url=https://archive.org/details/linearalgebraits00stra_435 |edition=3 |year=1988 |publisher=Harcourt Brace Jovanovich |isbn=0-15-551005-3 |chapter=Section 4.4: Applications of determinants |pages=[https://archive.org/details/linearalgebraits00stra_435/page/n242 231]–232 |language=en}}{{page needed}}
* {{cite book |author=居余马 |title=线性代数 |publisher=清华大学出版社 |edition=2 |isbn= |language=zh-cn |year=2002}}{{page needed}}

==外部链接==
* [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/property.html#adjoint 矩阵论参考手册 (英文)]{{Wayback|url=http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/property.html#adjoint |date=20080820024601 }}

{{DEFAULTSORT:adjugate matrix}}
[[Category:线性代数]]
[[Category:矩阵]]