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'''伴随向量映射原理'''（covector mapping principle）是[[泛函分析]]的基礎定理[[里斯表示定理]]中的一個特例。名稱是由{{link-en|I. Michael Ross|I. Michael Ross|Ross}}和其工作夥伴所命名<ref name = "R1">Ross, I. M., “A Historical Introduction to the Covector Mapping Principle,” Proceedings of the 2005 AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, August 7–11, 2005 Lake Tahoe, CA. AAS 05-332.</ref><ref>Q. Gong, I. M. Ross, W. Kang, F. Fahroo, Connections between the covector mapping theorem and convergence of pseudospectral methods for optimal control, Computational Optimization and Applications, Vol. 41, pp. 307–335, 2008</ref><ref name ="R2">Ross, I. M. and Fahroo, F., “Legendre Pseudospectral Approximations of Optimal Control Problems,” Lecture Notes in Control and Information Sciences, Vol. 295, Springer-Verlag, New York, 2003, pp 327–342.</ref><ref name = "R3">Ross, I. M. and Fahroo, F., “Discrete Verification of Necessary Conditions for Switched Nonlinear Optimal Control Systems,” Proceedings of the American Control Conference, June 2004, Boston, MA</ref><ref name = "R4">Ross, I. M. and Fahroo, F., “A Pseudospectral Transformation of the Covectors of Optimal Control Systems,” Proceedings of the First IFAC Symposium on System Structure and Control, Prague, Czech Republic, 29–31 August 2001.</ref><ref>W. Kang, I. M. Ross, Q. Gong, Pseudospectral optimal control and its convergence theorems, Analysis and Design of Nonlinear Control Systems, Springer, pp.109–124, 2008.</ref>。伴随向量映射原理提供了運算型[[最优控制]]中，可以將[[离散化]]和對偶性（dualization）交換順序的條件。

==說明==
假設要將[[庞特里亚金最大化原理]]應用在問題<math> B </math>，會從給定的最佳控制問題產生一個[[边值问题]]。依照Ross的論點，此边值问题是庞特里亚金提昇（Pontryagin lift），表示為問題<math>B^\lambda</math>。
<!--[[Image:CMP-OptimalControl.png|thumb|300px|center|伴随向量映射原理的圖示（源自Ross和Fahroo
.<ref>I. M. Ross and F. Fahroo, A Perspective on Methods for Trajectory Optimization,  ''Proceedings of the AIAA/AAS Astrodynamics Conference'', Monterey, CA, August 2002. Invited Paper No. AIAA 2002-4727.</ref>）]]-->

現在要離散化問題<math>B^\lambda</math>，這會產生問題<math>B^{\lambda N}</math>，其中<math>N</math> 表示離散化的點數。為了方便起見，有需要證明下式成立：

:<math> N \to \infty, \quad \text{Problem } B^{\lambda N} \to \text{Problem } B^\lambda </math>

在1960年代Kalman等人<ref>Bryson, A.E. and Ho, Y.C. Applied optimal control. Hemisphere, Washington, DC, 1969.</ref>就已證明要求解<math> B^{\lambda N}</math>會非常的困難。此困難性稱之為「複雜度咒詛」（curse of complexity）<ref>Ross, I. M. A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control. Collegiate Publishers. Carmel, CA, 2009. {{ISBN|978-0-9843571-0-9}}.</ref>，是「維度咒詛」（dimensionality）的互補。

在1990年代開始的一系列論文中，Ross和Fahroo證明有更簡單求解問題<math> B^{\lambda}</math>（因此也包括問題<math> B </math>）的方法，作法是先進行離散化（問題<math> B^{N}</math>）再進行對偶（問題<math> B^{N \lambda}</math>）。此作法需要很小心的進行，以確保解的一致性及收斂。伴随向量映射原理確保可以找到一個伴随向量的映射律，將問題<math> B^{N \lambda}</math>的解映射到問題<math> B^{\lambda N}</math>的解<!--thus completing the circuit.-->。

==相關條目==
*[[勒壤得擬譜法]]
*[[Ross–Fahroo擬譜法]]
*[[Ross–Fahroo引理]]

==參考資料==
{{Reflist}}

[[Category:最佳控制]]