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{{Distinguish|伯特蘭－切比雪夫定理}}
{{noteTA|G1=物理學}}
[[File:Bertrand.jpg|thumb|200px|約瑟·伯特蘭]]
在[[經典力學]]裏，'''伯特蘭定理'''闡明，只有兩種[[位勢]]<math>V</math>可以給出閉合軌道<ref>{{cite journal | last = Bertrand | first = J | year = 1873 | title = Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe| journal = C. R. Acad. Sci.  | volume = 77 | pages = 849–853}}</ref>：
*[[平方反比定律|平方反比]][[連心力]]給出的[[連心勢]]，像[[萬有引力|重力勢]]或[[靜電學|靜電勢]]，以方程式表示為 
::<math>V(r) = \frac{ - k}{r}</math>。
*徑向[[諧振子]]勢： 
::<math>V(r) = \frac{1}{2} kr^{2}</math>。

其中，<math>r</math>是徑向座標，<math>k</math>是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為'''閉合軌道'''。

1687年，物理学家[[艾薩克·牛頓]]在著作《自然哲學的數學原理》裏提出了[[萬有引力定律]]，解釋了行星繞著太陽的公轉为何遵守[[克卜勒定律]]。此后許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道時，可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到1873年，法國數學家[[約瑟·伯特蘭]]發表伯特蘭定理，才正確解析此問題。该定理對於經典[[天體力學]]研究非常重要，伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。

在現代物理學裏，理論物理學家發現由於[[廣義相對論]]效應，引力與距離不再成精確的平方反比關係，因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，[[水星]]繞著[[太陽]]公轉的橢圓軌道，其[[拱點|近拱點]]呈緩慢[[進動#行星軌道的進動|進動]]狀態。

==前論==
所有吸引性[[連心力]]都可以產生[[圓|圓形]]的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與[[離心力]]等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的[[角速度]]。本篇文章不研究[[連心力|非連心力]]。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。

採用[[極坐標]]<math>(r,\theta)</math>，一個移動於連心勢<math>V(r)</math>的粒子，其[[拉格朗日量]]<math>\mathcal{L}</math>是
:<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 - V(r)</math>。

其中，<math>m</math>是粒子質量，<math>\dot{r}</math>、<math>\dot{\theta}</math>分別表示<math>r</math>、<math>\theta</math>對於時間<math>t</math>的導數。

這粒子的[[拉格朗日方程式]]為
:<math>m\ddot{r} - mr\dot{\theta}^2+\frac{dV}{dr}=0</math>、
:<math>\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=0</math>。

由於角坐標<math>\theta</math>顯性地跟拉格朗日量無關，<math>\theta</math>是個[[可略坐標]]，其[[共軛動量]]（[[角動量]]）<math>\ell</math>守恆，<math>\ell</math>是個常數：
:<math>\ell=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}</math>。

將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個<math>r</math>的二次[[微分方程式]]，
:<math>m\ddot{r} - \frac{\ell^2}{mr^3}+\frac{dV}{dr}=0</math>。

假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個項目是零，則如同期待的，連心力<math> - \frac{dV}{dr}</math>等值於離心力<math> - \frac{\ell^2}{mr^3}</math>。

對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為
:<math>\frac{d}{dt} = \frac{\ell}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta}</math>。

將這公式代入，可推導出一個跟角度有關，跟時間無關的軌道方程式：
:<math>\frac{\ell}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{\ell}{mr^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right) - \frac{\ell^{2}}{mr^{3}} = - \frac{dV}{dr}</math>。

設定變數<math>u = \frac{1}{r}</math>，改換方程式的變數為<math>u</math>，同時將方程式兩邊乘以<math>\frac{m}{\ell^2 u^2}</math>，可以得到一個[[微分方程#常系数非齐次线性全微分方程|常係數非齊次線性全微分方程式]]：
:<math>\frac{d^2u}{d\theta^2}+u= - \frac{m}{\ell^2}\frac{d}{du}V(1/u)</math>。

==導引==
如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定（'''穩定'''在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道），也可能不閉合。本段落會證明，穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢（一個[[必要條件]]）。下一個段落會證明，這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道（一個[[充分條件]]）。

為了簡化標記，設定 
:<math>J(u)= - \frac{m}{\ell^2}\frac{d}{du}V(1/u)= - \frac{m}{\ell^{2}u^{2}} f(1/u)</math>；<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

其中，<math>f(1/u)</math>是連心力函數。

則軌道方程式為
:<math>\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=J(u)</math>。

如果要得到半徑為<math>r_0\equiv \frac{1}{u_0}  </math>的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為
:<math>u_{0} = J(u_0)</math>。

思考對於標準圓形運動軌道的變數<math>u</math>的[[微擾理論|微擾]]<math>\eta \equiv u - u_{0}</math>，函數<math>J(u)</math>在<math>u_0</math>的[[泰勒級數]]為
:<math>J(u)\approx u_0+\eta J^{\prime}(u_0)+\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0) +\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0)+\ldots</math>。

將此展開示代入軌道方程式：
:<math>\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\eta=\eta J^{\prime}(u_0)+\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0)+\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0)\ldots</math>。

設定常數<math>\beta^2\equiv 1 - J^{\prime}(u_0)</math>（<math>\beta=0</math>的解答為標準圓形運動軌道）：
:<math>\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\beta^2\eta=\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0) +\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0) \ldots</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

取至<math>\eta</math>的1次方：
:<math>\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\beta^2\eta=0</math>。

<math>\beta^2</math>必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為
:<math>\eta(\theta)=h_1\cos(\beta\theta)</math>；

其中，[[振幅]]<math>h_1</math>是個積分常數。

假若這軌道是閉合軌道，則<math>\beta</math>必須是[[有理數]]。繼續運算，從方程式(1)，取對於<math>u</math>的導數：
:<math>\begin{align} J^{\prime}(u_0) & = -\frac{m}{\ell^2}\left( - \left.\frac{2f(1/u)}{u^3}\right|_{u_0}+\left.\frac{1}{u^2}\frac{d f(1/u)}{du}\right|_{u_0}\right) \\
  & = - \left.\frac{2J(u)}{u}\right|_{u_o}+\frac{J(u)}{f(1/u)}\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}= - 2+\frac{u_0}{f(1/u_0)}\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}=1 - \beta^2 \\ \end{align} </math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

這方程式對於任意<math>u_0</math>值都必須成立，因此可以將<math>u_0</math>認定為函數<math>\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}</math>的參數。用符號<math>u</math>來代替<math>u_0</math>，
:<math>\frac{df}{du}= - (\beta^2 - 3 )\frac{f(1/u)}{u}</math>。

將方程式的變數換回為<math>r</math>，
:<math>\frac{df}{dr} = \left( \beta^{2} - 3 \right) \frac{f}{r}</math>。

這意味著作用力必須遵守[[冪定律]]：
:<math>f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^2}}</math>。

代入方程式 (1) , <math>J</math>的一般形式為
:<math>J(u) = \frac{mk}{\ell^2} u^{1-\beta^2}</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(3)</span>

假設實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，不能忽略<math>J</math>函數的泰勒級數的更高次方項目），則可以用[[傅立葉級數]]來展開<math>\eta</math>：
:<math>\eta(\theta) = h_0 + h_1\cos(\beta\theta)+h_2\cos(2\beta\theta) + h_3\cos(3\beta \theta) + \ldots</math>。

因為高頻率項目的係數太小，傅立葉級數只取至<math>3\beta</math>項目。方程式 (2)也只取至<math>\eta</math>的三次方。注意到<math>h_0</math>與<math>h_2</math>的數量級為<math>h_1^2\!</math>，超小於<math>h_1</math>；<math>h_3,\!</math>的數量級為<math>h_1^3</math>，超小於<math>h_0</math>與<math>h_2</math>。將上述傅立葉級數代入方程式 (2)，匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣，可以得到一系列方程式：
:<math>h_0=h_1^2\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{4\beta^2}</math>，<span style="position:absolute;right:15%">(4)</span>

:<math>0=(2h_1 h_0+h_1 h_2)\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{2}+h_1^3 \frac{J^{\prime\prime\prime}(u_0)}{8}</math>，<span style="position:absolute;right:15%">(5)</span>

:<math>h_2= - h_1^2\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{12\beta^2}</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(6)</span>

求<math>J(u)</math>在<math>u_0</math>對於<math>u</math>的微分：
:<math>J^{\prime}(u_0) =(1 - \beta^2) \frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2}=1 - \beta^2</math> 
:<math>J^{\prime\prime}(u_0) =(1 - \beta^2)( - \beta^2)\frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2 - 1} = -  \frac{\beta^2(1 - \beta^2)}{u_0}</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(7)</span>
:<math>J^{\prime\prime\prime}(u_0) =(1 - \beta^2)( - \beta^2)( - \beta^2 - 1)\frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2 - 2} =\frac{\beta^2(1 -\beta^2)(1+\beta^2)}{u_0^2}</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(8)</span>

將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)：
:<math>h_0= - \frac{(1-\beta^2)h_1^2}{4u_0}</math>，<span style="position:absolute;right:15%">(9)</span>
:<math>h_2=\frac{(1-\beta^2)h_1^2}{12u_0}</math>。<span style="position:absolute;right:15%">(10)</span>

再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5)，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果：
:<math>\beta^2( 1 - \beta^2)(4 - \beta^2)=0</math>。

解答<math>\beta=0</math>是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 (<math>\beta =1</math>)與徑向諧振子勢 (<math>\beta =2</math>)能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。

==平方反比力（克卜勒問題）==
平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為 
:<math>V(\mathbf{r}) = \frac{ - k}{r} = - ku</math>。 

處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為
:<math>\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{m}{\ell^{2}}  \frac{d}{du} V(1/u) = \frac{km}{\ell^{2}}</math>。

其解答為軌道函數<math>u(\theta)</math>： 
:<math>u= \frac{km}{\ell^{2}} \left[ 1 + e \cos \left( \theta - \theta_{0}\right) \right]</math>；

其中，<math>e</math>是橢圓軌道的[[離心率]]，<math>\theta_{0}</math>是相位差，是一個積分常數。

這是[[焦點]]位於原點的[[圓錐曲線]]的一般方程式。當<math>e=0</math>時，這軌道對應於[[圓形]]軌道；
當<math>e<1</math>時，這軌道是橢圓形軌道；當<math>e=1</math>時，這軌道是[[拋物線]]軌道；當<math>e>1</math>時，這軌道是[[雙曲線]]軌道。

離心率與粒子能量<math>E</math>的關係為
:<math>e = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^{2}}{k^{2}m}}</math>。

所以，當<math>E= - \frac{k^{2}m}{2\ell^{2}}</math>時，這軌道是圓形軌道；
當<math>E<0</math>時，這軌道是橢圓形軌道；當<math>E=0</math>時，這軌道是拋物線軌道；當<math>E>0</math>時，這軌道是雙曲線軌道。

==徑向諧振子==
為了方便解析這問題，採用[[直角坐標]]<math>\mathbf{r} = (x, y, z)</math>。勢能可以寫為
:<math>V(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} kr^{2} =
\frac{1}{2} k ( x^{2} + y^{2} + z^{2})</math>。 

處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量<math>\mathcal{L}</math>是
:<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2} m (\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})
+\frac{1}{2} k (x^{2}+y^{2}+z^{2})</math>。

這粒子的拉格朗日方程式為
:<math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} x = 0</math>、
:<math>\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} y = 0</math>、
:<math>\frac{d^{2}z}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} z = 0</math>；

其中，<math>\omega_{0}=k/m</math>是振動[[頻率 (物理學)|頻率]]。

常數<math>k</math>必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為
:<math>x = A_{x} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{x} \right)</math>、
:<math>y = A_{y} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{y} \right)</math>、
:<math>z = A_{z} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{z} \right)</math>；

其中，<math>A_{x}</math>、<math>A_{y}</math>、<math>A_{z}</math>分別為x、y、z方向的振幅，<math>\phi_{x}</math>、<math>\phi_{y}</math>、<math>\phi_{z}</math>分別為其[[相位]]

由於上述方程式經過整整一周期<math>T \equiv {2\pi}/{\omega_{0}}</math>後，會重複自己，軌道解答<math>\mathbf{r}(t) = \left[ x(t), y(y), z(t) \right]</math>是閉合軌道。

==牛頓旋轉軌道定理==
[[牛頓旋轉軌道定理]]表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子<math>\alpha</math>是[[有理數]]，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力<math>\Delta F(r)=\frac{k}{r^3}</math>為
:<math>\Delta F(r)=\frac{L_{1}^{2}}{mr^{3}} \left( 1 - \alpha^{2} \right)</math>；

其中，<math>\ell_{1}</math>是粒子原本的角動量，<math>m</math>是粒子的質量。

所以，<math>\alpha^2=1 - \frac{mk}{\ell_1^2}</math>。 

由於<math>\alpha</math>是有理數，<math>\alpha</math>可以寫為[[分數]]<math>m/n</math>；其中，<math>m</math>和<math>n</math>都是[[整數]]。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成<math>m</math>圈公轉的時間等於原本完成<math>n</math>圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。

==參閱==
*[[二體問題]]
*[[三體問題]]
*[[克卜勒定律]]
*[[牛頓旋轉軌道定理]]

==參考文獻==
{{reflist}}
:{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|authorlink=:en:Herbert Goldstein |title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en| pages=pp. 89-92}}
:{{Citation
  | last = Grandati
  | first = Yves
  | last2 =Bérard
  | first2 =Alain
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  | journal = American Journal of Physics
  | volume = 76
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  | pages = pp. 782-787
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|date=August 2008}}
:{{Citation
  | last = Tikochinsky
  | first = Yoel
  | title = A simplified proof of Bertrand's theorem 
  | journal = American Journal of Physics 
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:{{Citation
  | last =Zarmi
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  | pages = pp. 446-449
  | url = http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=AJPIAS000070000004000446000001&idtype=cvips&gifs=Yes&ref=no
|date=April 2002}}


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[[Category:拉格朗日力學|B]]
[[Category:天體力學|B]]
[[Category:引力|B]]
[[Category:物理定理|B]]