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'''伯恩赛德引理'''（{{lang-en|Burnside's lemma}}），也叫'''伯恩赛德计数定理'''（{{lang|en|Burnside's counting theorem}}），'''柯西-弗罗贝尼乌斯引理'''（{{lang|en|Cauchy-Frobenius lemma}}）或'''轨道计数定理'''（{{lang|en|orbit-counting theorem}}），是[[群论]]中一个结果，在考虑[[对称]]的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括{{link-en|威廉·伯恩赛德|William Burnside}}、[[乔治·波利亚|波利亚]]、[[奥古斯丁·路易·柯西|柯西]]和[[费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯|弗罗贝尼乌斯]]。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 ''On the Theory of Groups of Finite Order''》引用了，而将其归于{{harvtxt|弗罗贝尼乌斯|1887}}<ref>{{harvnb|伯恩赛德|1897|loc=§119}}</ref>。

下文中，设 <math>G</math> 是一个[[有限集合|有限]][[群]]，[[群作用|作用]]在集合 <math>X</math> 上。对每个属于 <math>G</math> 的  <math>g</math> ，令 <math>X^g</math> 表示 <math>X</math> 中在 <math>g</math> 作用下的[[不动点|不动]][[元素 (数学)|元素]]。伯恩赛德引理断言[[轨道 (群论)|轨道]]数（记作 <math>|X/G|</math>）由如下公式给出：<ref>{{harvnb|Rotman|1995|loc=Chapter 3}}</ref>

:<math>|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|.\,</math>

从而轨道数（是一个[[自然数]]或[[无穷]]）等于被 ''G'' 中一个元素保持不动的点个数的平均值（故同样是自然数或无穷）。

== 应用举例 ==
=== [[圓排列|環狀排列]] ===
使用兩種顏色對三個珠子染色，共有<math>2^3=8</math>種染色方法，而只有四種旋轉後不重合的染色方法，用[[位陣列|二元數列]]表示為<math>000,001,011,111</math>。旋轉對稱將染色方法的集合X分為四個軌道：<math>X = \{000\} \cup \{001,010,100\} \cup \{011,101,110\} \cup \{111\}</math>。考慮三種可能的旋轉：「空旋轉」，順時針轉一個單位，順時針轉兩個單位；它們對應的不動點數目分別為8，2，2，因此軌道數為<math> \frac{1}{3}(8+2+2)=4 </math>。對於長度為4的環狀排列，共有16種染色方法，4個旋轉；0個單位的旋轉有16個不動點，1個單位和3個單位的旋轉有不動點0000,1111；2個單位的旋轉有不動點0000,0101,1010,1111。因此軌道數為<math> \frac{1}{4}(16+2+4+2) = 6 </math>。具體地，0000,0001,0011,0101,0111,1111為六種旋轉後不重合的染色方法。

=== 立方體染色 ===
使用三種顏色對[[立方體]]的六個面染色，將旋轉后相同的視為一種染色，染色方式總數可以由上述公式確定。

選取一個[[定向 (數學)|定向]]，設<math>X</math>是這個定向立方體所有<math>3^6</math>種可能面染色組合，立方體的[[旋轉群]]<math>G</math>顯然是[[群作用|作用]]在<math>X</math>上的群。且若<math>X</math>的兩個元素（染色組合）屬于同一[[群作用#軌道 |軌道]]，則其中一個染色可以通過旋轉變成另一個染色，因而考慮旋轉對稱後不同的染色數就是<math>X</math>關於<math>G</math>的軌道数，可以通過數<math>G</math>的<math>24</math>個元素的不動集合的大小求出來。
[[Image:Face colored cube.png|thumb|立方體面染色]]

* 一個[[單位元|恒同元素]]保持 ''X'' 的所有 3<sup>6</sup> 個元素不變。
* 六個 90 度面旋轉，每一個保持 ''X'' 的 3<sup>3</sup> 個元素不變。<ref>「90 度面旋轉」指選定一個面面向自己，將立方體逆時針旋轉90度，立方體六個面所對應的面旋轉都不同，因而共有六個「90 度面旋轉」。若將面向自己的一面標記為1號，背向自己的一面為6號，其他四個面逆時鐘方向分別標記為2345號，則此旋轉對效於[[對稱群_(n次對稱群)#對換|對換]]（5234）。若一染色為不動點，則不被旋轉軸所經過的四個面的顏色必須全部相同，有三個獨立染色[[自由度_(統計學)|自由度]]，所以有3<sup>自由度</sup> = 3<sup>3</sup> 個不動點。</ref>
* 三個 180 度面旋轉，每一個保持 ''X'' 的 3<sup>4</sup> 個元素不變。
* 八個 120 度頂點旋轉，每一個保持 ''X'' 的 3<sup>2</sup> 個元素不變。
* 六個 180 度邊旋轉，每一個保持 ''X'' 的 3<sup>3</sup> 個元素不變。


這些自同構的詳細檢驗可參見{{link-en|循環指標|Cycle index}}。

這樣，平均不動集合的大小是

: <math> \frac{1}{24}(3^6+6\times 3^3 + 3 \times 3^4 + 8 \times 3^2 + 6 \times 3^3 ) = 57.\, </math>

從而有 57 種旋轉不同的立方體面 3 色染色方式。一般地，使用 ''n'' 種顏色，立方體不同的旋轉面染色數是

: <math> \frac{1}{24}(n^6+3n^4 + 12n^3 + 8n^2).\, </math>

== 证明 ==
定理的證明利用[[軌道-中心化子定理]]以及 ''X'' 是軌道的[[不交并]]的事實：
:<math>\sum_{g \in G}|X^g| = |\{(g,x)\in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x| </math>
:<math>= \sum_{x \in X} \frac{|G|}{|G. x|} = |G| \sum_{x \in X}\frac{1}{|G. x|} = |G|\sum_{A\in X/G}\sum_{x\in A} \frac{1}{|A|} </math>
:<math>= |G| \sum_{A\in X/G} 1 = |G| \cdot |X/G|.</math>

==历史：该引理不属于伯恩赛德==
[[威廉·伯恩賽德]]在他1897年關于有限群的書中陳述并證明了這個引理，將其歸于{{harvnb|弗罗贝尼乌斯|1887}}。不過在弗羅貝尼烏斯以前，這個公式在1845年已經為柯西所知。事實上，這個引理明顯如此有名，伯恩賽德不過忽略了將其歸于柯西。因此，這個引理有時候也稱為'''不是伯恩賽德的引理'''
<ref>{{harvnb|紐曼|1979}}</ref>。這可能看起來不那么有歧義，伯恩賽德對這個領域貢獻了許多引理。

==注释==
{{reflist}}

== 另见 ==
* [[波利亞計數定理]]

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=伯恩赛德 | first1=威廉 | author1-link=威廉·伯恩賽德 | title=Theory of groups of finite order | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1897}}.
* {{citation | last=弗罗贝尼乌斯|first=费迪南德·格奥尔格|authorlink=费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯|title=Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul|journal=Crelle|volume=CI|year=1887|page=288}}.
* {{Citation | last1=紐曼 | first1=彼得·邁克爾 | author1-link=彼得·邁克爾·紐曼 | title=A lemma that is not Burnside's | id={{MathSciNet | id = 562002}} | year=1979 | journal=The Mathematical Scientist | issn=0312-3685 | volume=4 | issue=2 | pages=133–141}}.
* {{citation | last=Cheng |first=Yuanyou (程远游) |title=A generalization of Burnside's lemma to multiply transitive groups |publisher=journal of Hubei University of Technology |year=1986 |issn=1003-4684}}.
* {{citation | last=Rotman |first=Joseph |title=An introduction to the theory of groups |publisher=Springer-Verlag |year=1995 |isbn=0-387-94285-8}}.

[[Category:引理|B]]
[[Category:群论|B]]
[[Category:包含证明的条目|B]]