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{{no footnotes|time=2015-05-18T01:01:04+00:00}}
[[微分幾何]]中，'''伯恩施坦問題'''如下：如果在'''R'''<sup>''n''−1</sup>上的[[函數]]圖象是'''R'''<sup>''n''</sup>中的[[極小曲面]]，那麼函數是否必然是線性函數？這個結果在維數''n''不大於8時成立，但''n''不小於9時不成立。這條問題是以俄羅斯數學家[[謝爾蓋·納塔諾維奇·伯恩施坦]]命名，他在1914年解出了''n'' = 3的情形。

==問題==
設''f''是一個有''n'' - 1個實變數的函數。''f''的圖象是'''R'''<sup>''n''</sup>中的曲面。這曲面的極小曲面條件，就是''f''滿足極小曲面方程

:<math>\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\frac{\partial f}{\partial x_i}}{\sqrt{1+\sum_{j=1}^{n-1}(\frac{\partial f}{\partial x_j})^2}} = 0</math>

伯恩施坦問題是指，如果一個在整個'''R'''<sup>''n''−1</sup>上有定義的函數''f''符合這條方程，''f''是否必然是一次多項式。

==歷史==

{{harvtxt|Bernstein|1915–1917}}證明了伯恩施坦定理：一個在'''R'''<sup>2</sup>上的實函數的圖象如果是'''R'''<sup>3</sup>中極小曲面，這曲面必定是平面。

{{harvtxt|Fleming|1962}}給出了伯恩施坦定理的新證明，用了'''R'''<sup>3</sup>中沒有非平面的面積最小化錐的結果推斷出定理。

{{harvtxt|De Giorgi|1965}}證明了如果'''R'''<sup>''n''&minus;1</sup>中沒有非平面的面積最小化錐，那麼伯恩施坦定理的類似結果在'''R'''<sup>''n''</sup>成立，特別是這結果可以推出定理在'''R'''<sup>4</sup>中成立。

{{harvtxt|Almgren|1966}}證明了'''R'''<sup>4</sup>中沒有非平面的面積最小化錐，將伯恩施坦定理推廣到'''R'''<sup>5</sup>。

{{harvtxt|Simons|1968}}證明了'''R'''<sup>7</sup>中沒有非平面的面積最小化錐, 將伯恩施坦定理推廣到'''R'''<sup>8</sup>。他也給出了'''R'''<sup>8</sup>中的局部穩定錐的一些例子，並問這些例子是否整體面積最小化。

{{harvtxt|Bombieri|De Giorgi|Giusti|1969}}證明了[[詹姆斯·西蒙斯]]的錐確實是整體最小化的，並證明了'''R'''<sup>''n''</sup>對於''n''≥9時，有圖象是極小曲面但不是超平面。連同西蒙斯的結果，這顯示了伯恩施坦定理的類似結果，在維數上到8時是對的，在更高維數是錯的。

==參考==
*{{Citation | last1=Almgren | first1=F. J. | title=Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of Bernstein's theorem | jstor=1970520 | mr=0200816 | year=1966 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=84 | pages=277–292}}
*{{Citation | last1=Bernstein | first1=S.N. | title=Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique | year=1915–1917  | journal=Comm. Soc. Math. Kharkov  | volume=15 | pages=38–45}} German translation in {{Citation | last1=Bernstein | first1=Serge | title=Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus | doi=10.1007/BF01475472 | publisher=Springer Berlin / Heidelberg | language=de | year=1927 | journal=[[Mathematische Zeitschrift]] | issn=0025-5874 | volume=26 | pages=551–558}}
*{{Citation | last1=Bombieri | first1=Enrico | author1-link=Enrico Bombieri | last2=De Giorgi | first2=Ennio | last3=Giusti | first3=E. | title=Minimal cones and the Bernstein problem | doi=10.1007/BF01404309 | mr=0250205 | year=1969 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=7 | pages=243–268}}
*{{Citation | last1=De Giorgi | first1=Ennio | title=Una estensione del teorema di Bernstein | url=http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1965_3_19_1_79_0 | mr=0178385 | year=1965 | journal=Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) | volume=19 | pages=79–85 | accessdate=2015-05-17 | archive-date=2015-06-16 | archive-url=https://web.archive.org/web/20150616003524/http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1965_3_19_1_79_0 | dead-url=no }}
*{{Citation | last1=Fleming | first1=Wendell H. | title=On the oriented Plateau problem | doi=10.1007/BF02849427 | mr=0157263 | year=1962 | journal=[[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]]. Serie II | issn=0009-725X | volume=11 | pages=69–90}}
*{{eom|id=b/b015750|title=Bernstein theorem|first=I.Kh. |last=Sabitov}}
*{{Citation | last1=Simons | first1=James | author1-link=James Harris Simons | title=Minimal varieties in riemannian manifolds | jstor=1970556 | mr=0233295 | year=1968 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=88 | pages=62–105}}
*{{eom|id=b/b110360|title=Bernstein problem in differential geometry|first=E. |last=Straume}}

==外部連結==
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bernstein_theorem Encyclopaedia of Mathematics article on the Bernstein theorem]{{Wayback|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bernstein_theorem |date=20150819050425 }}

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[[分類:微分幾何]]