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{{unreferenced|time=2019-04-26T13:02:47+00:00}}
{{微積分學}}
'''伯努利微分方程'''是形式如 <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math> 的[[常微分方程]]。

==解法==
: <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^{n}\,</math>

代入 <math> w= {y^{1-n}}\,</math> （注意 <math>w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'</math> ）：
: <math>\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)</math>

此一階常微分方程可用[[積分因子]]求解。

==例子==
解以下微分方程。 

:<math>y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2</math>

两边除以<math>y^2</math>，得：

:<math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2</math>

利用[[分离变数法]]，可得：

:<math>w = \frac{1}{y}</math>

:<math>w' = \frac{-y'}{y^2}.</math>

:<math>w' + \frac{2}{x}w = x^2</math>

它可以用[[积分因子]]的方法来解出。

:<math>M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.</math>

两边乘以<math>M(x)</math>，得：

:<math>w'x^2 + 2xw = x^4,\,</math> 

等式的左边是<math>wx^2</math>的[[导数]]。两边积分，得：

:<math>\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx</math>

:<math>wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math> 

:<math>\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math>

于是：

:<math>y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}</math>

==参见==
*[[里卡蒂方程]]
*[[柯西-欧拉方程]]
*[[克莱罗方程]]
*[[全微分方程]]
*[[线性微分方程]]

==外部链接==
* {{planetmath reference|id=7032|title=Bernoulli equation|urlname=bernoulliequation}}
* {{planetmath reference|id=2629|title=Differential equation|urlname=differentialequation}}
* {{planetmath reference|id=7023|title=Index of differential equations|urlname=indexofdifferentialequations}}

[[Category:微分方程]]