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{{refimprove|time=2020-04-24T13:18:23+00:00}}
{{noteTA
|G1=物理學
}}
[[File:VenturiFlow.png|right|thumb|氣體流入[[文丘里效应|文丘里計]]。減少[[压强|流體壓力]]而增加動能，由圖中兩管水的高度差可以看出氣壓差異。]]

'''伯努利原理'''（{{lang-en|Bernoulli's principle}}），又稱'''白努利定律'''或'''柏努利定律'''（{{lang-en|Bernoulli's Law}}）<ref>{{Cite web |url=http://scienceworld.wolfram.com/physics/BernoullisLaw.html |title=Bernoulli's Law -- from Eric Weisstein's World of Physics |accessdate=2017-11-22 |archive-date=2017-06-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170627075849/http://scienceworld.wolfram.com/physics/BernoullisLaw.html |dead-url=no }}</ref>，是[[流體力學]]中的一個定律，由瑞士流體物理學家[[丹尼尔·伯努利]]於1738年出版他的理論《Hydrodynamica》，描述[[流體]]沿著一條穩定、非黏性、不可壓縮的流線移動行為。<ref>白努利定理的誤解與錯誤 物理雙月刊</ref>

在流體動力學，伯努利原理指出，無黏性的流體的速度增加時，流體的壓力能或位能（勢能）總和將減少。

伯努利原理可以應用到不同類型的流體流動，從而是可廣泛套用的伯努利方程表示式。事實上，有不同類型的伯努利方程式不同形式的。伯努利原理的簡單形式是有效的不可壓縮流動（如液體流動），也為移動可壓縮流體（如氣體）在低[[馬赫數]]（通常小於0.3）。更先進的形式可被應用到在某些情況 下，在更高的馬赫數（見伯努利方程的推導）可壓縮流。

伯努利定律可以從[[能量守恆定律]]來推演。說明如下：在一個穩定的水流，沿著直線流向的所有點上，各種形式的流體[[機械能]]總和必定相同。也就是說，[[動能]]，[[位能]]，與[[內能]]的總和保持不變。換言之，任何的流體速度增加，即代表動態壓力和單位體積動能的增加，而在同時會導致其靜態壓力，單位體積流體的位能、內能等三者總和的減少。如果液體流出水庫，在各方向的流線上，各種形式的能量的總和是相同的；因為每單位體積能量的總和（即壓力和單位體積流體的重力位能<math> \rho g h</math>的總和）在水庫內的任何位置都相同。

伯努利原理，也可以直接由[[牛頓第二定律]]推演。說明如下：如果從高壓區域往低壓區域，有一小體積流體沿水平方向流動，小體積區域後方的壓力自然比前方區域的壓力更大。所以，此區域的力量總和必然是沿著流線方向向前。在此假設，前後方區域面積相等，如此便提供了一個正方向淨力施於原先設定的流體小體積區域，其加速度與力量同方向。此假想環境中，流體粒子僅受到壓力和自己質量的重力之影響。先假設如果流體沿著流線方向作水平流動，並與流體流線的截面積垂直，因為流體從高壓區域朝低壓區域移動，流體速度因此增加；如果該小體積區域的流速降低，其唯一的可能性必定是因為它從低壓區朝高壓區移動。因此，任一水平流動流體之內，壓力最低處有最高流速，壓力最高處有最低流速。

== 物理量及定律 ==
=== 原表達形式 ===
:<math> \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \mbox{constant}</math><br />
其中：
:<math>v=\;</math> 流體[[速度]]<br />
:<math>g=\;</math> [[重力加速度]]（地球表面的值约為 9.8 m/s<sup>2</sup>）<br />
:<math>h=\;</math> 流體處於的深度（從某參考點計）<br />
:<math>p=\;</math> 流體所受的[[壓強|壓力強度]]<br />
:<math>\rho=\;</math> 流體質量[[密度]]
:<math>\mbox{constant}=\;</math> 常數

=== 定理假設===
使用伯努利定律必須符合以下假設，方可使用；如沒完全符合以下假設，所求的解也是近似值。
* [[定常流动]]（或稱穩定流，Steady flow）：在流動系統中，流體在任何一點之性質不隨時間改變。
* [[不可壓縮流]]（Incompressible flow）：密度為常數，在流體為氣體適用於[[馬赫數]]<math>M</math>小於0.3的情況。
* 無摩擦流（Frictionsless flow）：摩擦效應可忽略，忽略[[黏滯性]]效應。
* 流體沿著[[流線]]流動（Flow along a streamline）：流體元素（element）沿著流線而流動，流線間彼此是不相交的。
===簡化型式===
在許多伯努利定律的應用中，{{mvar|ρgz}}項的變化，相對其他項而言要小很多，因此會省略。例如在空中飛行的飛機，高度{{mvar|z}}的變化很小，因此{{mvar|ρgz}}可以省略，伯努利定律即可簡化為下式：
<math display="block">p + q = p_0</math>
其中{{math|''p''<sub>0</sub>}}稱為總壓，而{{mvar|q}}稱為[[動壓]]<ref>{{cite web|title = Bernoulli's Equation| publisher = NASA Glenn Research Center| url =http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/bern.htm| archive-url =https://archive.today/20120731182454/http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/bern.htm| url-status =dead| archive-date =2012-07-31|access-date = 2009-03-04 }}</ref>。許多作者用{{mvar|p}}表示靜壓，以和總壓{{math|''p''<sub>0</sub>}}和動壓{{mvar|q}}區分<ref name="Clancy1975">{{cite book |last=Clancy |first=L.J. |author-link=Laurence Joseph Clancy |title=Aerodynamics |url=https://books.google.com/books?id=zaNTAAAAMAAJ |year=1975 |publisher=Wiley |isbn=978-0-470-15837-1}}</ref>{{rp|at= § 3.5}}。

== 推論過程 ==
[[File:BernoullisLawDerivationDiagram.svg|500px|]]<br />
考慮一符合上述假設的流體，如圖所示：

流體因受壓力的推動而得之能量：  

: <math>F_{1} s_{1}-F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t.\;</math>

流體因重力做功所損失的能量： 
 
:<math> m g h_1-m g h_2 = \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 -\rho g A_2 v_2 \Delta t h_2.\;</math>

流體所得的動能可以改寫為：  

:<math> \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 = 
\frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 -
\frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2</math>

根據[[能量守恆定律]]，流體因受力所得的能量＋流體因重力做功所損失的能量＝流體所得的動能。

:<math> p_1 A_1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 - \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 = \frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 - \frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2</math>

:<math> \frac{ \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2}{2} + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 + p_1 A_1 v_1 \Delta t = \frac{ \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2}{2} + \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 + p_2 A_2 v_2 \Delta t.</math> 

由[[連續方程式]]可知：

:<math> A_1 v_1 = A_2 v_2 = \mbox{constant}</math>
令<math>\mbox{constant}=\Delta V \;</math>


從[[等式]]兩邊除以<math>\Delta t \;</math> 及<math>\Delta V \;</math>可得：

:<math> \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \mbox{constant}</math>
或
:<math> \frac{v^2}{2g} + h + \frac{p}{\rho g} = \mbox{constant}</math>

== 垂直流線方向的加速度定律 ==
[[File:Free-body_diagram_of_a_fluid_particle.png |300px|right|thumb|受壓力及重力作用流體質點之自由體圖]]

考慮沿流線運動的微小流體質點<ref name=":0">{{Cite book|title=Fundamentals of Fluid Mechanics|date=2013-01-22|url=https://archive.org/details/fluidmechanics0000bruc|last=BRUCE R. MUNSO； DONALD F. YOUNG；THEODORE H. OKIISHI；WADE W. HUEBSCH|first=|publisher=John Wiley & Sons Inc|isbn=1118318676|location=|pages=page 96}}</ref>，其質量以<math>\delta m=\rho\delta n\delta s\delta y</math>表示，δy代表寬度，流體質點運動以速度向量V表示，流線座標可表示為與某參考點的距離s=s(t)及流線局部曲率半徑<math>\Re=\Re(s)</math> ，沿著流線的座標為s；垂直流線的座標為 n。

在垂直流線的方向n̂上，由於存在向心加速度<math>a_n={V^2 \over \Re}</math>，故質點所受淨力為：

<math>\textstyle \sum\delta F_n \displaystyle=\frac{\delta m V^2 }{\Re}=\frac{\rho\delta\mathbb{V} V^2}{\Re}
\bar{V}</math>，其中<math>\mathbb{V}=\delta s\delta n\delta y</math>為微小流體質點體積，<math>\rho</math>為流體密度。

而質點所受重力為：

<math>\textstyle \delta W_n=-\delta W\cos\theta=-\gamma\delta\mathbb{V}\cos\theta</math>，其中<math>\textstyle \gamma=\rho g</math>。

如圖所示的質點中央壓力為p ，垂直流線的兩端平均壓力分別為<math>\textstyle p+\delta p_n
</math>及<math>\textstyle p-\delta p_n</math>，可用泰勒級數展開求壓力差異<math>\textstyle \delta p_n =(\frac{\partial p}{\partial n})(\frac{\delta n}{2})</math>。

<math>\delta F_{pn}</math>為質點於垂直方向上所受淨壓

<math>\begin{align} \sum\delta F_{pn} & = (p-\delta p_n)\delta s\delta y-(p+\delta p_n)\delta s\delta y=-2\delta p_n\delta s\delta y \\ 
& =-\frac{\partial p }{\partial n}\delta n\delta s\delta y=-\frac{\partial p }{\partial n}\delta\mathbb{V} \\ \end{align}</math>

故

<math>\textstyle \sum\delta F_n \displaystyle=\delta W_n+\delta F_{pn}=(-\gamma\cos\theta-\frac{\partial p}{\partial n} )\delta\mathbb{V}</math>

因為沿著垂直流線方向 <math>\textstyle \cos\theta= {dz \over dn}</math>，可得到垂直流線方向之運動方程式

<math>(-\gamma{dz \over dn}-\frac{\partial p}{\partial n})= {\rho V^2 \over \Re}</math>

此式意味著，垂直於流線的壓力梯度及質點所受重力會改變流向，造成彎曲的流線。




若忽略重力的因素，即只考慮流體在水平面的流動，以龍捲風為例，<math>{dz \over dn}=0</math>，會得到<math>\frac{\partial p}{\partial n}= -{\rho V^2 \over \Re}</math>，這意味著，壓力隨著遠離曲率中心的距離而增大（n的正向，指向彎曲流線的內部），由於<math>{\rho V^2 \over \Re}</math>為正值，因此<math>{\partial p \over \partial n}</math>會是負的，在龍捲風之外的壓力（典型的大氣壓力）遠大於中心處（低氣壓，可能會產生部分真空），而這些壓力差會被用於平衡曲率運動所需的向心力。




在s為定值的情況下

<math>{\partial p \over \partial n}={dp \over dn}</math>

沿n的方向積分可得

<math>\int {dp \over \rho}+\int {V^2 \over \Re}dn+gz=\mbox{constant along the streamline}</math>

對於不可壓縮流，可得

<math>p+\rho\int {V^2 \over \Re}dn+\gamma z=\mbox{constant along the streamline}</math>

由推導方程式所需的基本假設：'''穩定、無黏性''' 及'''不可壓縮流'''，可以得出

'''1.跨過流線的運動方程式'''
<math>(-\gamma{dz \over dn}-\frac{\partial p}{\partial n})= {\rho V^2 \over \Re}</math>

<math>p+\rho\int {V^2 \over \Re}dn+\gamma z=\mbox{constant along the streamline}</math>


'''2.沿著流線的運動方程式'''  同上述做法<ref name=":0" />，可得出沿著流線方向之運動方程式

<math>(-\gamma{dz \over ds}-\frac{\partial p}{\partial s})= {\rho  \over 2}{dV^2 \over ds}</math>  

以及伯努利定律

<math>p+\tfrac{1}{2}\rho V^2+\gamma z=\mbox{constant along the streamline}</math>

在跨過流線的情形使用伯努力定律時，若流體位置發生旋轉或彎曲，就會因'''跨過流線的運動方程式'''中所含的<math>\rho\int {V^2 \over \Re}dn</math>，導致計算結果須修正。

== 特例：托里切利定律 ==
[[File:TorricellisLaw.svg|190px|right]]
當液體因受到地心吸力的作用而流出時，其速度等於<math>\sqrt{2gh}</math>，其中<math>g</math>為[[重力加速度]]，<math>h</math>為開口的中心和液體最高面的距離。<ref>{{cite book|author= Dennis Zill|title=''Advanced Engineering Mathematics''|year=2012|publisher=Jones & Bartlett|isbn=9781449689803|pages=第22頁}}</ref>這個速度剛好等於液體從離地<math>h</math>的地方以[[自由落體]]的方式下落時著地前的速度（但實際上因為有[[空氣阻力]]，所以實際情形一般不會以自由落體的方式下落）。

==伯努利定律演示實驗==
[[File:Simple airbrush.JPG|thumb|簡易噴槍]][[File:Simple airbrush functioning.JPG|thumb|運作中的簡易噴槍]]
簡易噴霧器，以大吸管固定兩隻小吸管使之夾角略小於直角，因從吸管吹出之氣體流速較快，壓力較一大氣壓力為低，因此能夠將水經由下端吸管中吸起，並於開口處加速破碎成霧滴，模型製作用[[噴槍]]以及工業用噴漆噴槍多為此種設計。

不過因為伯努利定律是假設流體沿著流線流動，探討同一流線上二點的速度及壓力變化。因此有些現象和伯努利定律無關，例如懸浮保麗龍球，將可折彎的吸管一端向上穩定吹出氣體，將一直徑約3公分之保麗龍球放置於氣柱上，保麗龍球能夠懸浮晃動於一定區域中，因為保麗龍球上方和下方的氣流不是同一流線，這和伯努利定律無關，是[[康達效應]]的結果<REF>張慧貞 物理雙月刊 37卷3期 教科書對於演示實例的理解及誤解</REF>。

== 可壓縮流體的伯努利定律 ==
伯努利從觀察液體的行為中推導出伯努利方程式，但他的方程是只能應用在不可壓縮的流體，以及雖然可壓縮但流速非常慢的流體（也許可以到1/3的聲速）。利用基本物理原理，可以發展出類似的方程式，以適用於可壓縮的流體。以下有幾個類似於伯努力定律，能應用在不同領域方程式。它們的推導只運用了像是[[牛頓第二定律]]和[[熱力學第一定律]]的基本物理定律。

=== 可壓縮流體之流體力學 ===
對於可壓縮的流體，在保守力的作用之下，所得到的守恆式為
:<math>\frac {v^2}{2}+ \int_{p_1}^p \frac {d\tilde{p}}{\rho(\tilde{p})}\ + \Psi = \text{constant}</math> {{pad|3em}} （流線型下的守恆）
其中:
:<math>p =\;</math> [[壓力]]
:<math>\rho =\;</math> [[密度]]
:<math>v =\;</math> [[流速]]
:<math>\Psi =\;</math> 保守力場下的位勢，通常指重力位勢
在工程領域，在海拔比較高的地方，其壓力會比地表來的小，而且流體流動的時間通常是相當的小，如同絕熱系統般。在這種情形下，上述的方程即
:<math>\frac {v^2}{2}+ gz+\left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho}   = \text{constant}</math> {{pad|3em}} （流線型下的守恆）
其中：
:<math>\gamma =\;</math> [[絕熱指數]]
:<math>g =\;</math> [[重力加速度]]
:<math>z =\;</math> 離參考平面的高度

在可壓縮流體可以應用的地方，因為高度變化與其他變因相比小的很多，故gz項可以省略，所以較常用的方程式為
:<math>\frac {v^2}{2}+\left( \frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho}  = \left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p_0}{\rho_0}</math>

其中:

:<math>p_0 =\;</math> 總壓力
:<math>\rho_0 =\;</math> 總密度

=== 可壓縮流動的熱力學 ===
另一個適合使用在熱力學的公式是

:<math>{v^2 \over 2} + \Psi + w =\text{constant}</math>
其中：
:<math>v =\;</math> [[流速]]
:<math>\Psi =\;</math> 重力位勢
:<math>w =\;</math> 單位質量的[[焓]]（通常寫作<math>h</math>，但注意並非表示高度）

請注意<math>w = \epsilon + \frac{p}{\rho}</math> ，其中<math>\epsilon</math>為熱力學單位質量的能量，即比內能（specific internal energy）；<math>p</math>為壓力；<math>\rho</math>為密度。

公式右側的常數通常被稱為伯努力常數，常被寫為<math>b</math>。當在絕熱非黏滯性的流動，沒有能量的流進或流出時，<math>b</math>在任何曲線都是常數。

當<math>\Psi</math>變化可以忽略，一個非常有用的形式的方程式是: 
:<math>{v^2 \over 2}+ w = w_0</math>

其中<math>w_0</math>是焓的總量。

== 相關條目 ==
* [[丹尼尔·伯努利]]
* [[康達效應]]
* [[欧拉方程 (流体动力学)]]
* [[水力学]]
* [[纳维-斯托克斯方程]]
* [[流體動力學]]
* [[文丘里效应]]

==參考資料==
{{reflist}}

==延伸閱讀==
{{refbegin}}
*{{cite book|last=Ting|first=J.|title=fluid mechanics|year=2014|publisher=createspace|isbn=978-149426094-1|url=http://www.amazon.com/dp/1494260948|access-date=2016-11-14|archive-date=2021-05-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20210505091918/https://www.amazon.com/dp/1494260948|dead-url=no}}
*{{cite book | first=G.K. | last=Batchelor | authorlink=:en:George Batchelor | title=An Introduction to Fluid Dynamics | year=1967 | publisher=Cambridge University Press | isbn=0-521-66396-2 }}
*{{cite book | first= L.J. | last=Clancy | authorlink= | year=1975 | title=Aerodynamics | publisher=Pitman Publishing, London | isbn=0-273-01120-0 }}
*{{cite book | first=H. | last=Lamb | authorlink=:zh:贺拉斯·兰姆 | year=1993 | title=Hydrodynamics | publisher=Cambridge University Press | edition=6th | isbn=978-0-521-45868-9 }} Originally published in 1879; the 6th extended edition appeared first in 1932.
*{{cite book |last1=Landau |first1=L.D. |author1-link=Lev Landau |last2=Lifshitz |first2=E.M. |author2-link=:zh:叶夫根尼·利夫希茨 |title=Fluid Mechanics |url=https://archive.org/details/fluidmechanics0006land_m7w6 |edition=2nd |series=[[理论物理学教程|Course of Theoretical Physics]] |publisher=Pergamon Press |year=1987 |isbn=0-7506-2767-0 |ref=harv}}
*{{cite book | first=H. | last=Chanson | authorlink=:en:Hubert Chanson | title=Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows | url=http://www.uq.edu.au/~e2hchans/reprints/book15.htm | year=2009 | publisher=CRC Press, Taylor & Francis Group | isbn=978-0-415-49271-3 | access-date=2015-01-06 | archive-date=2011-08-07 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110807012313/http://www.uq.edu.au/~e2hchans/reprints/book15.htm | dead-url=no }}
{{refend}}

==外部連結==
{{commons category|Bernoulli's principle}}
* [http://cereference.com/book/hydraulics/energy-and-head Head and Energy of Fluid Flow] {{Wayback|url=http://cereference.com/book/hydraulics/energy-and-head |date=20150415195102 }}
* [http://www.fxsolver.com/solve/share/PbQFI7GERDpBd0fNakKRzA==/ Bernoulli equation calculator]
* [http://mysite.du.edu/~jcalvert/tech/fluids/bernoul.htm Denver University – Bernoulli's equation and pressure measurement] {{Wayback|url=http://mysite.du.edu/~jcalvert/tech/fluids/bernoul.htm |date=20120923221339 }}
* [https://web.archive.org/web/20080201073117/http://www.millersville.edu/~jdooley/macro/macrohyp/eulerap/eulap.htm Millersville University – Applications of Euler's equation]
* [http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/bga.html NASA – Beginner's guide to aerodynamics] {{Wayback|url=http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/bga.html |date=20120715033132 }}
* [http://user.uni-frankfurt.de/~weltner/Misinterpretations%20of%20Bernoullis%20Law%202011%20internet.pdf Misinterpretations of Bernoulli's equation – Weltner and Ingelman-Sundberg] {{Wayback|url=http://user.uni-frankfurt.de/~weltner/Misinterpretations%20of%20Bernoullis%20Law%202011%20internet.pdf |date=20120208095012 }}

{{Continuum mechanics|fluid}} 
{{水力學}}

[[Category:流体力学中的方程]]
[[Category:物理定律]]