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{{unreferenced|time=2015-07-21T17:10:42+00:00}}
'''伪黎曼流形'''，也称为'''半黎曼流形'''（{{lang-en|Pseudo-Riemannian manifold}}）<ref>{{harvtxt|Benn|Tucker|1987}}, p.&nbsp;172.</ref><ref>{{harvtxt|Bishop|Goldberg|1968}}, p.&nbsp;208</ref>，在[[微分几何]]中是指一光滑[[流形]]，其上有一光滑、对称、点点非退化的<math>(0,2)</math> [[張量]]。此張量稱為伪黎曼度量或伪[[度量張量]]。

伪黎曼流形与[[黎曼流形]]的区别是它不需要[[正定矩阵|正定]]（通常要求非[[退化 (數學)|退化]]）。因为每個正定形式都是非退化的，所以黎曼度量也是一个伪黎曼度量，亦即黎曼流形是伪黎曼流形的一种特例。

每一個非退化對稱，[[二次型|雙線性形式]]有一個固定的[[度量符号]]<math>(p,q)</math>。這裡<math>p</math>與<math>q</math>記作正特徵值及負特徵值的个数。注意<math>p + q = n</math>是流形的维数。黎曼流形就是以<math>(n,0)</math>作為符号。

伪黎曼流形的符号<math>(p,1)</math>稱為'''洛伦兹度量'''。擁有洛伦兹度量的流形都是[[洛伦兹流形]]。除黎曼流形外，洛伦兹流形是伪黎曼流形的最重要的子類。因為它常被用於[[廣義相對論]]。[[廣義相對論]]首要假設是[[時空]]可以轉為擁有<math>(3,1)</math>符号的洛伦兹流形的模型。

和[[欧几里得空间]]<math>\mathbf R^n</math>可以被认为是[[黎曼流形]]的模型一样，,有平坦[[闵可夫斯基度量]]的[[闵可夫斯基空间]](Minkowski space) <math>\mathbf R^{p,1}</math>是洛伦兹流形的模型空间。特征数为<math>(p,q)</math>的伪黎曼流形的模型空间是有如下伪度量的<math>\mathbf R^{p,q}</math>:
:<math>g = dx_1^2 + \cdots + dx_p^2 - dx_{p+1}^2 - \cdots - dx_{p+q}^2</math>

有些黎曼度量的基本定理可以推广到伪黎曼的情形。例如[[黎曼几何基本定理]]对伪黎曼流形也成立。这使得我们能够在伪黎曼流形上能够使用[[列维-奇维塔联络]]和相关的[[曲率张量]]。另一方面，黎曼几何的很多定理在推广到伪黎曼的情况下不成立。例如，并不是每个光滑流形都可以有一个给定符号的伪黎曼度量；因为有一些特殊的[[拓扑学|拓扑]]阻碍存在。

==参考资料==
{{reflist}}

[[Category:微分几何|W]]
[[Category:流形上的结构]]
[[Category:洛伦兹流形]]
[[Category:伯恩哈德·黎曼]]
[[Category:黎曼几何]]