查看“︁伪全纯曲线”︁的源代码

[[拓扑学]]与[[几何学]]中，'''伪全纯曲线'''（或'''''J''-全纯曲线'''）是[[黎曼曲面]]到[[殆复流形]]的[[光滑函数|光滑映射]]，并满足[[柯西-黎曼方程]]。伪全纯曲线在1985年由[[米哈伊尔·格罗莫夫]]提出，自此彻底改变了[[辛流形]]研究。特别是，它们导致了[[格罗莫夫–威滕不变量]]与[[弗洛尔同调]]，并在[[弦理论]]中发挥了重要作用。

==定义==
令''X''为殆复流形，具有殆复结构''J''。令''C''是光滑[[黎曼曲面]]（也叫[[代数曲线|复曲线]]），具有复结构''j''。''X''中的'''伪全纯曲线'''是映射<math>f : C \to X</math>，满足柯西-黎曼方程
:<math>\bar \partial_{j, J} f := \frac{1}{2}(df + J \circ df \circ j) = 0.</math>
由于<math>J^2 = -1</math>，这条件等价于
:<math>J \circ df = df \circ j,</math>
意味着微分<math>{\rm d}f</math>是复线性的，即''J''将每个切空间
:<math>T_xf(C)\subseteq T_xX</math>
映射到自身。出于技术原因，通常最好引入某种不齐次项<math>\nu</math>，并研究满足微扰柯西-黎曼方程
:<math>\bar \partial_{j, J} f = \nu.</math>
的映射。更具体地说，满足这方程的伪全纯曲线可以叫做'''<math>(j, J, \nu)</math>-全纯曲线'''。扰动项<math>\nu</math>有时被假定为由[[哈密顿向量场|哈密顿量]]生成的（特别是弗洛尔理论中），但一般来说不需要。

据定义，伪全纯曲线总是参数化的。在应用中，人们通常真正感兴趣的是未参数化的曲线，即''X''的嵌入（或浸入）双子流形，因此可通过保相关结构的域重参数化来进行模拟。在格罗莫夫–威滕不变量的情形下，我们只考虑固定亏格''g''的[[闭流形|闭]]域''C''，并在''C''上引入''n''个'''标记点'''（或称穿刺，puncture）。一旦标记点的[[欧拉示性数]]<math>2 - 2 g - n</math>为负，''C''就将只有有限多保标记点的全纯重参数化。域曲线''C''是曲线的德利涅-芒福德模空间的一个元素。

==与经典柯西-黎曼方程的类比==
经典情形是''X''、''C''都是简单[[复数 (数学)|复]]平面。实坐标中
:<math>j = J = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},</math>
:<math>df = \begin{bmatrix} du/dx & du/dy \\ dv/dx & dv/dy \end{bmatrix},</math>
其中<math>f(x, y) = (u(x, y), v(x, y))</math>。将这些矩阵按两个不同阶数相乘后，立即得到方程
:<math>J \circ df = df \circ j</math>
等价于经典柯西-黎曼方程
:<math>\begin{cases} du/dx = dv/dy \\ dv/dx = -du/dy. \end{cases}</math>

==在辛拓扑中的应用==
虽然伪全纯曲线可对任何殆复流形定义，但当''J''与[[辛形式]]<math>\omega</math>相互作用时，伪全纯曲线尤其有趣。当且仅当殆复结构''J''满足，对所有非零切向量''v''，
:<math>\omega(v, J v) > 0</math>
称''J''是'''<math>\omega</math>-驯顺'''（tame）的。驯顺性意味着公式
:<math>(v, w) = \frac{1}{2}\left(\omega(v, Jw) + \omega(w, Jv)\right)</math>
在''X''上定义了[[黎曼流形|黎曼度量]]。格罗莫夫证明，对给定的<math>\omega</math>，<math>\omega</math>-驯顺''J''的空间非空、且是[[可收缩空间|可收缩]]的。他用这一理论证明了关于球到圆柱的辛嵌入的[[非挤压定理]]。

格罗莫夫证明，伪全纯曲线的特定[[模空间]]（满足附加的特定条件）是[[紧空间|紧]]的，并描述了伪全纯曲线在只假定有限能量时退化的方式。（有限能量条件尤其适用于辛流形中有固定同调类的曲线，其中''J''是<math>\omega</math>-驯顺或<math>\omega</math>-相容的）。这一[[格罗莫夫紧性定理]]现在利用稳定映射得到了极大推广，使得[[格罗莫夫–威滕不变量]]的定义成为可能，它可以计算辛流形中的伪全纯曲线。

伪全纯曲线的紧模空间也用于构造[[弗洛尔同调]]，[[安德烈斯·弗洛尔]]（及后来的学者，在更广的广义上）用它来证明[[弗拉基米尔·阿诺德]]关于[[哈密顿向量场]]定点数的著名猜想。

==在物理学中的应用==
在II类弦论中，我们考虑弦沿着[[卡拉比-丘流形|卡拉比-丘3-流形]]中的路径运动时描绘的面。根据[[量子力学]]的[[路径积分表述]]，我们希望计算所有此类面的空间的某些积分。这空间是无限维的，因此在数值上很难算出积分。不过，在A-twist下，我们可以推导出这些面由伪全纯曲线参数化，于是路径积分可简化为伪全纯曲线（更确切地说是稳定映射）模空间上的积分，是有限维的。例如，闭IIA型弦论中，这些积分正是[[格罗莫夫–威滕不变量]]。

==另见==
* [[全纯曲线]]

==参考文献==
* [[Dusa McDuff]] and [[Dietmar Salamon]], ''J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology'', American Mathematical Society colloquium publications, 2004. {{isbn|0-8218-3485-1}}.
* [[Mikhail Leonidovich Gromov]], Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds.  Inventiones Mathematicae vol. 82, 1985, pgs. 307-347.
* {{cite journal
   | last = Donaldson
   | first = Simon K.
   | authorlink = Simon Donaldson
   | title = What Is...a Pseudoholomorphic Curve?
   | journal = [[Notices of the American Mathematical Society]]
   | date = October 2005
   | volume = 52
   | issue = 9
   | pages = 1026–1027
   | url = https://www.ams.org/notices/200509/what-is.pdf
   | accessdate = 2008-01-17
   | archive-date = 2024-01-12
   | archive-url = https://web.archive.org/web/20240112112025/https://www.ams.org/notices/200509/what-is.pdf
   | dead-url = no
   }}

[[Category:复流形]]
[[Category:辛拓扑]]
[[Category:代数几何]]
[[Category:弦理论]]
[[Category:曲线]]