查看“︁传递函数”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = IT
|G2 = Math
}}在工程中，'''传递函数'''（{{lang-en|transfer function}}，也称'''系统函数'''<ref>Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger, ''Signals and systems'', 2nd ed., Wiley, 2001, ISBN 978-0-471-98800-7 p. 50</ref>、'''转移函数'''或'''网络函数'''，画出的曲线叫做'''传递曲线'''）是用来拟合或描述[[黑箱模型]]（[[系统分析|系统]]）的输入与输出之间关系的数学表示。在二维图像的应用中，输入和输出的[[位图]]间的关系函数称作'''转移曲线'''、'''转换曲线'''（{{lang|en|transfer curve}}）或'''特征曲线'''（{{lang|en|characteristic curve}}）。

通常它是零初始条件和零平衡点下，以空间或时间频率为变量表示的[[线性时不变系统]]（LTI）的输入与输出之间的关系。<ref>The Oxford Dictionary of English, 3rd ed., "Transfer function"</ref><!--With [[optical transfer function|optical imaging devices]], for example, it is the [[Fourier transform]] of the [[point spread function]] (hence a function of [[spatial frequency]]) i.e. the intensity distribution caused by a point object in the field of view.{{citation needed|date=December 2014}}-->然而一些资料来源中用“传递函数”直接表示某些物理量输入输出的特性，（例如[[二端口网络]]中的输出电压作为输入电压的一个函数）而不使用变换到[[S平面]]上的结果。<ref name="LaughtonWarne2002">{{cite book|author1=M. A. Laughton|author2=D.F. Warne|title=Electrical Engineer's Reference Book|publisher=Newnes|isbn=978-0-08-052354-5|pages=14/9–14/10|edition=16}}</ref><ref name="Parr1993">{{cite book|author=E. A. Parr|title=Logic Designer's Handbook: Circuits and Systems|url=https://archive.org/details/logicdesignersha0000parr|year=1993|publisher=Newness|isbn=978-1-4832-9280-9|pages=[https://archive.org/details/logicdesignersha0000parr/page/65 65]–66|edition=2nd}}</ref><ref name="SinclairDunton2007">{{cite book|author1=Ian Sinclair|author2=John Dunton|title=Electronic and Electrical Servicing: Consumer and Commercial Electronics|url=https://archive.org/details/electronicelectr0000sinc_f1t5|year=2007|publisher=Routledge|isbn=978-0-7506-6988-7|page=[https://archive.org/details/electronicelectr0000sinc_f1t5/page/n183 172]}}</ref>

== 解释 ==
'''传递函数'''通常用于分析诸如单输入、单输出的[[滤波器]]系统中，主要用在[[信号处理]]、[[通信理论]]、[[控制理论]]。这个术语经常专门用于如本文所述的[[线性时不变系统]]（LTI）。实际系统基本都有[[非线性]]的输入输出特性，但是许多系统在标称参数范围内的运行状态非常接近于线性，所以实际应用中完全可以应用[[线性时不变系统理论]]表示其输入输出行为。

简单说明一下，下面的描述都是以複数 <math>s=\sigma +j\cdot \omega</math> 为变量的。在许多应用中，足以限定 <math>\sigma=0</math> (于是 <math>s=j\cdot \omega</math>)，从而将含有複参数的[[拉普拉斯变换]]简化为实参 <math>\omega</math>的[[傅里叶变换]]。

那么，对于最简单的[[连续时间]]输入信号<math>x(t)</math>和输出信号<math>y(t)</math>来说，传递函数<math>H(s)</math>所反映的就是零状态条件下输入信号的[[拉普拉斯变换]] <math>X(s) = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}</math> 与输出信号的[[拉普拉斯变换]] <math>Y(s) = \mathcal{L}\left\{y(t)\right\}</math> 之间的线性映射关系：

:<math> Y(s) = H(s) \, X(s) </math>
或者
:<math> H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{ \mathcal{L}\left\{y(t)\right\} }{ \mathcal{L}\left\{x(t)\right\} } </math>

在[[离散时间]]系统中，应用[[Z变换]]，传递函数可以类似地表示成
:<math>H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}</math>
这常常被称为脉冲传递函数。

=== 从微分方程直接推导 ===
考虑一个常系数[[线性微分方程]]

:<math> L[u] = \frac{d^nu}{dt^n} + a_1\frac{d^{n-1}u}{dt^{n-1}} + \dotsb + a_{n-1}\frac{du}{dt} + a_nu = r(t) </math>

其中 ''u'' 和 ''r'' 是 ''t'' 的适当的光滑函数。''L'' 是相关函数空间上定义的，将 ''u'' 变换为 ''r'' 的算子。这种方程可以用于以强迫函数 ''r'' 为变量约束输出函数 ''u'' 。传递函数写成算子<math>F[r] = u </math>的形式，是 ''L'' 的右逆，因为<math>L[F[r]] = r</math>。

这个[[线性微分方程#常系数齐次线性微分方程|常系数齐次微分方程]]<math>L[u] = 0</math>的解可以通过尝试<math>u = e^{\lambda t}</math>找到。这个代换会产生''特征多项式''

:<math> p_L(\lambda) = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \dotsb + a_{n-1}\lambda + a_n\,</math>

在输入函数 ''r'' 的形式也为<math>r(t) = e^{s t}</math>的时候，非齐次的情形也可以很容易的解决。在那种情况下，通过代入<math>u = H(s)e^{s t}</math>就可以发现<math>L[H(s) e^{s t}] = e^{s t}</math>当且仅当

:<math>H(s) = \frac{1}{p_L(s)}, \qquad p_L(s) \neq 0.</math>

把那当作''传递函数''的定义需要注意区分实数和复数的差异。这是受到 ''abs(H(s))'' 表示[[增益]]，而用 ''-atan(H(s))'' 表示[[相位差|相位滞后]]惯例的影响。传递函数的其他定义还有例如<math>1/p_L(ik)</math>。<ref>{{cite book |title= Ordinary differential equations|last= Birkhoff |first= Garrett|author2=Rota, Gian-Carlo |year=1978|publisher=John Wiley & Sons |location= New York|isbn= 0-471-05224-8}}{{page needed|date=April 2013}}</ref>

== 信号处理 ==

设普通[[线性非时变系统]]的输入为 <math> x(t) \ </math> ，输出为 <math> y(t) \ </math> ，并且 <math> x(t) \ </math> 和 <math> y(t) \ </math> 的[[拉普拉斯变换]]为

:<math> X(s)  =  \mathcal{L}\left \{ x(t) \right \} \equiv \int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st}\, dt  </math>

:<math> Y(s)  =   \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \equiv \int_{0}^{\infty} y(t) e^{-st}\, dt </math>.

那么输出与输入之间通过'''传递函数''' <math> H(s) \ </math> 发生关系

:: <math> Y(s) = H(s) X(s)  \, </math>

并且传递函数为

:: <math> H(s) = \frac{Y(s)} {X(s)} </math> 。

=== 频响函数 ===
在信号分析与处理中，通常感兴趣的系统的频率响应，这时候经常使用'''频响函数'''来表示系统对于不同频率谐波的响应特征。频响函数通常用[[傅里叶变换]]表示，傅里叶变换是 <math> s = j \omega </math> 的双边[[拉普拉斯变换]]的一个特例。频响函数实际上是线性系统的稳态响应分量，只有再加上瞬态响应分量，才构成系统的全响应，即系统的传递函数。

当一个[[振幅]]为 <math>|X| \ </math>、[[角频率]]为 <math>\omega \ </math> 以及[[相位]]为 <math>\arg(X) \ </math> 的[[谐波]][[信号]]

:<math> x(t) = Xe^{j\omega t} = |X|e^{j(\omega t + \arg(X))} </math>
:其中 <math> X = |X|e^{j\arg(X)}  </math>

输入到[[线性时不变系统]]的时候，那么对应的输出为：

:<math> y(t) = Ye^{j\omega t} = |Y|e^{j(\omega t + \arg(Y))} </math>
:且 <math> Y = |Y|e^{j\arg(Y)}  </math>.

注意，在線性非時變系统中，谐波信号输入频率 <math> \omega \ </math> 没有发生变化，只有三角函数的振幅和相位经过系统发生了改变。[[相位差|相位延迟]]（也就是传递函数引起的与频率相关的正弦曲线延迟）为：

:<math>\tau_{\phi}(\omega) = -\frac{\phi(\omega)}{\omega}</math>。

[[群延迟]]（也就是传递函数引起的与频率相关的正弦曲线包络线延迟）通过计算相位延迟对于角频率 <math> \omega \ </math> 的导数得到，

:<math>\tau_{g}(\omega) = -\frac{d\phi(\omega)}{d\omega}</math>.

频率响应 <math> H(j \omega) </math> 可分解为幅频响应<math>A(\omega)</math>或增益<math>G(\omega)</math>以及相频响应<math>\phi(\omega)</math>

:<math>G(\omega) = \frac{|Y|}{|X|} = |H(j \omega)| \ </math>
:<math>\phi(\omega) =  \arg(Y) -  \arg(X) = \arg( H(j \omega))</math>.

并可由此绘出系统的幅频特性曲线与相频特性曲线，总称[[波特图]]。

频率响应也可以按其实部与虚部分解表示为：
:<math>H(j \omega) = \operatorname{Re}(\omega) + j\operatorname{Im}(\omega) </math>
并由此绘出系统频率响应的[[奈奎斯特曲线]]。

不管是使用拉普拉斯变换还是傅立叶变换，它们都将时间域上系统响应的[[卷积]]运算转化为对应的复数域或频域上的代数（频率相乘，相位相加）运算，并且可以直观的揭示出系统对于信号频率的作用。

== 控制工程 ==

在[[控制工程]]和[[控制理论]]中，传递函数是从[[拉普拉斯变换]]推导出来的。传递函数是经典控制工程中的一个主要工具，但是，在分析多输入多输出（MIMO）系统的时候它就显得很笨拙了，在分析这样的系统的时候大部分被[[状态空间]]表示所代替。尽管这样，经常也可以从任意的线性系统得到'''传递矩阵'''用于分析它的动态及其它特性：传递矩阵中的每个元素都是与特定输入和特性输出相关的一个传递函数。

== 光学 ==

在[[光学]]中'''调制传递函数'''描述的是光学系统传递对比度的能力，是常用的像质评价方法之一。

例如，如果一系列的黑白交替条纹以一个特定的空间频率画出来，那么当观察这些条纹的时候，图像质量可能发生退化。白色的条纹看起来变暗了，而黑色的条纹看起来变亮了。

忽略相位变化，在特定空间频率的调制传递函数称为'''调制传递函数'''（{{Lang-en|modulation transfer function}}，'''MTF'''）<ref name=":0">{{Cite book|title=工程光学（第4版）|last=郁道银|isbn=9787111519621|last2=谈恒英|publisher=机械工业|date=2016-02-01}}</ref>，定义为：

: <math> \mathrm{MTF}(f) = \frac{M(\mathrm{image})} {M(\mathrm{source})}</math>

其中调制（M）是根据下式从图像或者光源亮度中导出来的：

: <math> M = \frac{(L_\mathrm{max} - L_\mathrm{min} )} {(L_\mathrm{max} + L_\mathrm{min})} </math>
用MTF曲线的[[积分]]值可以评价成像质量。理论上，像点的中心亮度值等于MTF曲线的面积。而面积越大，意味着像点中包含的信息越多，成像质量也就越好。不过，MTF曲线只能反映少数点的情况。<ref name=":0" />

== 非线性系统 ==
许多非线性成分（如[[张弛振荡器]]）就不存在传递函数，<ref name="Dehaene">{{cite book|author=Valentijn De Smedt, Georges Gielen and Wim Dehaene|title=Temperature- and Supply Voltage-Independent Time References for Wireless Sensor Networks|publisher=Springer|isbn=978-3-319-09003-0|page=47|year=2015}}</ref>但可以用[[描述函数]]来近似。

== 参见 ==
{{refbegin|2}}
* [[波特图]]
* [[奈奎斯特曲线]]
* [[频率响应]]
* [[线性时不变系统]]
* [[半对数图]]
* [[閉迴路傳遞函數]]
* [[梅森增益公式]]
* [[傳遞函數矩陣]]
{{refend}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{-}}
{{自動控制}}
{{规范控制}}

[[Category:传递函数|*]]
[[Category:电路]]
[[Category:信号处理]]
[[Category:控制理论]]
[[Category:控制论]]
[[Category:函数]]