查看“︁伊藤积分”︁的源代码

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[[Image:Ito Integral BdB.png|thumb|300px|布朗运动及布朗运动的伊藤积分]]

'''伊藤微分'''（{{lang-en|'''Itō calculus}}'''）得名自[[日本]]數學家[[伊藤清]]，是將[[微積分]]的概念擴展到[[隨機過程]]中，像[[布朗运动]]（[[維納過程]]）就可以用伊藤微积分進行分析。主要應用在[[金融數學]]及[[隨機微分方程]]中。伊藤微积分的中心概念是伊藤积分，是將傳統的[[黎曼－斯蒂爾傑斯積分]]延伸到隨機過程中，隨機過程一方面是一個[[隨機變數]]，而且也是一個不可微分的函數。

藉由伊藤积分，可以將一個隨機過程（被积分函数）對另一個隨機過程（積分變數）進行積分。積分變數一般會[[布朗运动]]。從<math>0</math>到<math>t</math>的積分結果是一個隨機變數。此隨機變數定義為一特定隨機變數[[序列]]的極限（有許多等效的方式可建構上述的定義）。

伊藤积分是对[[半鞅]]''X''以及随机过程''H''的积分

:<math>\int_0^t H\,dX = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}).</math>

这里''X''是[[布朗运动]]，或者更广义地，是一个[[半鞅]]，''H''是一个适配于由''X''生成的筛选的，本地平方可积分的过程{{Harv|Revuz|Yor|1999|loc=Chapter IV}}。[[布朗运动]]的路径无法满足应用于微积分标准技术的需求。特别地，其在任意点不可微，并且在每一个时间间隔都有无限变差。其结果是，无法用普通的方法定义积分（参考[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分]]）。主要的创新是只要调配被积函数，就可以定义一个积分，不严格的讲，即''t''时刻它的值仅仅依靠此时刻之前的可用信息。

[[伊藤过程]]的重要结果包括[[分部積分法|分部積分公式]]和[[伊藤引理]]，即变量公式的变形。这些由于二次方差项，都与标准微积分公式不同，

股票价格和其他可交易资产的价格可以通过[[随机过程]]进行建模，例如[[布朗运动]]，或者，更经常的，[[几何布朗运动]]（参见[[布莱克-舒尔斯模型]]）。然后，伊藤随机积分代表，在时间''t''持有一定数量''Ht''的股票，对其进行连续交易的回报。这种情况下，调配''H''就相应于，在任何时候只使用可用信息的交易策略限制。这也阻止了通过高频交易获得无限收益的可能性：市场中每个上涨之前买入股票，每个下跌之前卖出股票。相似地，调配''H''的条件暗示，当作为黎曼和极限进行计算的时候，随机积分不会收敛{{Harv|Revuz|Yor|1999|loc=Chapter IV}}。

== 伊藤引理 ==
[[伊藤引理]]

<math>df(X_t) = f'(X_t) dX_t + \frac{1}{2} f''(X_t) \sigma_t^2 dt</math>

== 伊藤[[等距同构]] ==
<math>E((\int H_s dB_s)^2) = E(\int H_s^2 ds)</math>

== 物理学家的伊藤积分 ==
[[隨機微分方程]]

[[朗之万方程]]

<math>\dot{x} = f(x(t)) + \xi(t)</math>

<math>\langle \xi(s) \xi(t) \rangle = \delta(s - t)</math>

[[泛函积分]]

<math>Z = \int D\xi P(\xi) </math>

<math>P(\xi) = \exp(-\int \xi^2 / 2)</math>

==有關條目==
*[[伊藤過程]]
*[[伊藤引理]]
*[[泛函积分]]

==参考资料==
* {{Citation|last=Revuz|first= Daniel|last2=Yor|first2=Marc | title=Continuous martingales and Brownian motion | publisher=Springer| location=Berlin | year=1999 | isbn=3-540-57622-3}}
* Kleinert. Path integrals in Physics, Polymers, Financial Markets.
*Oksendal. Stochastic Differential Equations.
*Scott M. Applied Stochastic Processes.
*Karatzas, Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd Edition  1996

{{DEFAULTSORT:Itō}}
{{Stochastic processes}}
[[Category:隨機微分方程]]
[[Category:積分的定義]]
[[Category:随机过程]]