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{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Fractal fern explained.png|thumb|200px|一個使用仿射变换所製造有[[自相似]]性的[[碎形]]]]

'''仿射变换'''（Affine transformation），又称'''仿射映射'''，是指在[[几何]]中，對一个[[向量空间]]进行一次[[线性变换]]并接上一个[[平移]]，变换为另一个向量空间。

一個對向量<math> \vec{x} </math>平移<math> \vec{b} </math>，與旋轉缩放<math> A</math>的仿射映射為
:<math>
\vec{y} = A \vec{x} + \vec{b}
</math>
上式在[[齐次坐标]]上，等價於下面的式子
:<math>
\begin{bmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \vec{b} \ \\ 0, \ldots, 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{bmatrix}
</math>

在[[分形]]的研究裡，收縮平移仿射映射可以製作具有[[自相似|自相似性]]的[[分形]]。

==數學定義==

一个于两[[仿射空间]]间定义的仿射变换 <math>f\colon \mathcal{A}\to\mathcal{B}</math> 是一个点集映射，线性地作用于向量（即空间中的点之间的向量）。形式化表述是，''<math>f</math> ''决定一线性变换 <math>\varphi</math>，使得对于任意 <math>\mathcal A</math> 中的点对 <math>P,Q</math>，有：
:<math>\overrightarrow{f(P)~f(Q)}=\varphi\left(\overrightarrow{PQ}\right)</math>
或记
:<math>f(Q)-f(P)=\varphi(Q-P).</math>
我们可以以其他一些方式解释这一定义，以下进行说明：

若于 <math>\mathcal A</math> 中选定一[[原點]] <math>O</math>，记其于 <math>\mathcal B</math> 中的像为 <math>f(O)</math>，那么就意味着，对于任意向量 <math>\boldsymbol{x}\in\mathcal A</math> ，有
:<math>f\colon(O+\boldsymbol{x})\mapsto(B+\varphi(\boldsymbol x)).</math>
而若于 <math>\mathcal B</math> 中选定一原点 <math>O'</math>，则其可分解为一将 <math>O</math> 映到 <math>O'</math> 的仿射变换 <math>g\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>，换言之，遵从向量 <math>\boldsymbol b=\overrightarrow{O'B}</math> 之变换，

<math>g\colon(O+\boldsymbol{x})\mapsto(O'+\varphi(\boldsymbol x)).</math>

以上可以直观地总结为，仿射变换包含一个线性映射与一个[[变换矩阵|变换]]。
=== 等价定义 ===
给定相同域上的两仿射空间 <math>\mathcal{A}</math> 和 <math>\mathcal{B}</math>，称一映射 <math>f: \mathcal{A} \to \mathcal{B}</math> 为仿射变换，[[当且仅当]]对于任意 <math>\mathcal{A}</math> 上满足 <math>\sum_{i\in I}\lambda_i=\boldsymbol 1</math> 的权重点簇 <math>\{(a_i, \lambda_i)\}_{i\in I}</math> 有<ref>{{Cite journal |last=Schneider |first=Philip K. |last2=Eberly |first2=David H. |title=Geometric Tools for Computer Graphics |url=https://books.google.com/books?id=3Q7HGBx1uLIC&pg=PA98 |journal=Morgan Kaufmann |year=2003 |page=98 |isbn=978-1-55860-594-7 |access-date=2024-06-18 |archive-date=2023-10-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231025010127/https://books.google.com/books?id=3Q7HGBx1uLIC&pg=PA98#v=onepage&q&f=false |dead-url=no }}</ref>

<math>f\left(\sum_{i\in I}\lambda_ia_i\right)=\sum_{i\in I}\lambda_if\left(a_i\right).</math>

换言之，<math>f</math> 保持了原相的[[质心]]。

==表示==
如上所示，仿射變換為兩函數的[[複合函數|複合]]：[[平移]]及[[線性映射]]。普通向量代數用[[矩陣乘法]]呈現線性映射, 用[[矢量|向量加法]]表示平移。正式言之，於有限維度之例中，假如該線性映射被表示為一矩陣「Ａ」，平移被表示為向量 <math>\vec{b}</math>，一仿射映射 <math>f</math>可被表示為
:<math>
\vec{y} = f(\vec{x}) = A \vec{x} + \vec{b}.
</math>

===增廣矩陣===
[[File:Affine transformations.ogv|thumb|250px|right|二維平面上的仿射變換可呈現於三維空間中。平移即為沿著z軸的[[錯切]]，旋轉則以z軸為軸心]]

使用一[[增廣矩陣]]與一增廣向量，用一[[矩陣乘法]]同時表示平移與線性映射是有可能的。此技術需要所有向量在其末端擴長“1”且所有矩陣都於底部添加一排零，右邊擴長一列轉換向量，及右下角添加一個“1”。

:<math>
\begin{bmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \left[ \begin{array}{ccc|c} \, & A & & \vec{b} \ \\ 0 & \ldots & 0 & 1 \end{array} \right] \begin{bmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{bmatrix}
</math>

等價於

:<math>
\vec{y} = A \vec{x} + \vec{b}.
</math>

以上所言之擴長矩陣被稱為“仿射變換矩陣”，又或稱為“投射變換矩陣”（其可應用於[[投影轉換]])。

此表示法以''K''<sup>''n''</sup>之[[半直積]]與GL(''n'', ''k'')展示了 所有[[反函數|可逆]]仿射變換的集合。此為一個於眾函數集結下進行的一個[[群]]，被稱為[[仿射群]]。

普通矩陣向量乘法總將原點映射至原點，因此無法呈現平移（原點必須映射至其他點）。藉由於所有向量上擴增一座標“1”，我們將原空間映至更高維空間的一個子集合以進行變換。在該空間中，原本之空間佔有了擴長座標一的1的子集合。因此原空間的原點可在(0,0, ... 0, 1)。原空間的平移可藉由更高維度空間的線性轉換來達成（即為[[錯切|錯切變換]]）。在高維度中的座標即為[[齊次座標]]的一例。假如原空間為[[歐幾里德空間|歐幾里德]]，則更高維空間為[[實射影空間]]。

使用齊次座標的優點為，藉由相對應矩陣之乘積，可將任意數目的仿射變換[[複合函數|結合]]為一。此性質被大量運用於[[計算機圖形]]，[[計算機視覺]]與[[機器人學]]。

==性質==
仿射變換保留了：
# 點之間的{{link-en|共线性|Collinearity}}：在同一条直线上的三个或更多的点（称为共线点）在变换后依然在同一条直线上（共线）；
# 直线的[[平行|平行性]]：两条或以上的平行直线，在变换后依然平行；
# 集合的[[凸性]]：凸集合变换后依然是凸集合。并且，最初的[[极值|极值点]]被映射到变换后的极值点集<ref name=res>{{cite web|last1=Reinhard Schultz|title=Affine transformations and convexity|url=http://math.ucr.edu/~res/math145A-2014/affine+convex.pdf|accessdate=27 February 2017|archive-date=2020-11-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20201125201437/https://math.ucr.edu/~res/math145A-2014/affine+convex.pdf|dead-url=no}}</ref>；
# 平行线段的长度的比例：两条由点 <math>p_1,p_2,p_3,p_4</math> 定义的'''平行'''线段，<math>\overrightarrow{p_1p_2}</math> 與 <math>\overrightarrow{p_3p_4}</math>的长度的比例等于<math>\overrightarrow{f(p_1)f(p_2)}</math>与<math>\overrightarrow{f(p_3)f(p_4)}</math>的长度的比例；
# 不同質量的點组成集合的[[质心]]。

仿射變換為[[可逆|可逆的]][[当且仅当]]<math>A</math>為可逆的。用矩陣表示，其逆元為：

<math>
\left[ \begin{array}{ccc|c} & A^{-1} & & -A^{-1}\vec{b} \ \\ 0, & \ldots & ,0 & 1 \end{array} \right]
</math>

可逆仿射變換組成{{link-en|仿射群|Affine_group}}，其中包含具n階的[[一般線性群]]為子群，且自身亦為一 <math>n+1</math> 階的一般線性群之子群。
當A為常數乘以[[正交矩陣]]時，此子集合構成一子群，稱之為[[相似_(幾何)|相似變換]]。舉例而言，假如仿射變換於一平面上且假如 <math>A</math> 之[[行列式]]為 <math>1</math> 或 <math>-1</math> ，那麼該變換即為{{link-en|等面積變換|Equiareal_map}}。此類變換組成被稱為''等仿射群''的子群。一同時為等面積變換與相似變換的變換，即為一平面上保持[[歐幾里德距離]]不變的[[等距同构|保距映射]]。

這些群都有一保留了原[[定向_(向量空間)|定向]]的子群，也就是其對應之 <math>A</math> 的行列式大於零。最後一个例子，即三維空间中[[剛體]]的運動组成的群（旋轉和平移），刚体的运动在机器人学中尤为常用<ref>{{cite web |author1=Robotic Systems Lab, ETH Zurich |title=Robot Dynamics Lecture Notes |url=https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/mavt/robotics-n-intelligent-systems/rsl-dam/documents/RobotDynamics2017/RD_HS2017script.pdf |accessdate=2020-04-25 |archive-date=2020-11-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201112021439/https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/mavt/robotics-n-intelligent-systems/rsl-dam/documents/RobotDynamics2017/RD_HS2017script.pdf |dead-url=no }}</ref>。

如果有一固定點，我們可以將其當成原點，則仿射變換被縮還到一線性變換。這使得變換更易於分類與理解。舉例而言，將一變換敘述為特定軸的旋轉，相較於將其形容為平移與旋轉的結合，更能提供變換行為清楚的解釋。只是，這取決於應用與內容。

==實例==
===實數之仿射變換===
函數{{nowrap|1=''f'' : '''R''' → '''R'''}}, {{nowrap|1=''f''(''x'') = ''mx'' + ''c''}} ，其中''m''與''c''為常數，此即為一般之仿射變換。
===有限體的仿射變換===
以下等式表示了[[有限體]](2<sup>8</sup>)中的仿射變換:
:<math>
\{\,a'\,\} = M\{\,a\,\} \oplus \{\,v\,\},
</math>

此處[M]為矩陣 且 {v} 為向量 :
{|
|-
|:<math>M\{\,a\,\}=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0&1&1&1&1 \\
1&1&0&0&0&1&1&1 \\
1&1&1&0&0&0&1&1 \\
1&1&1&1&0&0&0&1 \\
1&1&1&1&1&0&0&0 \\
0&1&1&1&1&1&0&0 \\
0&0&1&1&1&1&1&0 \\
0&0&0&1&1&1&1&1
\end{bmatrix}
</math>  :<math>\{\,v\,\}= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}.</math>
|}

舉例來講，將以[[字節序|大端序]]二進位表示的元素{a} = ''y''<sup>7</sup> + ''y''<sup>6</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''y'' = {11001010}轉換成[[字節序|大端序]]十六進位，計算如下：
:<math>a_0' = a_0 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 1 = 0 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 1</math>
:<math>a_1' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 0</math>
:<math>a_2' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1</math>
:<math>a_3' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_7 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1</math>
:<math>a_4' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 = 0</math>
:<math>a_5' = a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus 1 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 = 1</math>
:<math>a_6' = a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus 1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = 1</math>
:<math>a_7' = a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 0 = 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1.</math>


于是， {a′} = y7 + y6 + y5 + y3 + y2 + 1 = {11101101} = {ED}。
===平面幾何之仿射變換===
[[File:Geometric affine transformation example.png|thumb|250px|一個實數平面上的簡單仿射變換]]
在 ℝ<sup>2</sup>，左方所示之變換即為以下映射：

:<math>\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 0&1\\ 2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -100 \\ -100\end{bmatrix}</math>

將原紅色三角形之三個[[頂點 (幾何)|頂點]]作變換後給出了新藍色三角形的三個頂點。事實上，所有三角形皆可由仿射變換來達成，所有平行四邊形也可以，但一般四邊形不行。

== 参看 ==
* [[变换矩阵#仿射变换|仿射变换的变换矩阵]]
* [[平移#矩阵表示|平移的矩阵表示]]
* [[仿射群]]
* [[仿射几何]]
* [[线性]]（第二个意思是在1维中的仿射变换）
* [[三维投影]]

{{分形}}
[[Category:仿射几何|*]]
[[Category:線性代數|F]]