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{{Other uses
|subject=数学和物理学中的概念
|other=可提供任意電流電壓的電路
|任意子 (電路)
}}
'''任意子'''（{{lang-en|'''anyon'''}}）是[[数学]]和[[物理学]]中的一个概念。它描述一类只在二维-{}-系统中出现的粒子。它是对[[费米子]]和[[玻色子]]概念的广义化。

== 阿贝尔任意子 ==
在[[石墨烯]]、[[量子霍尔效应]]等二[[維度|维]]物理系统中任意子这个数学概念变得越来越有用。
在三维以上的空间里，[[粒子]]根据其统计特性的不同只能是费米子或者是玻色子。费米子遵从[[费米-狄拉克统计]]，玻色子遵从[[玻色-爱因斯坦统计]]。在量子力学中这些统计是根据多粒子状态下粒子交换的反应来描写的。使用[[狄拉克符号]]在两粒子状态中为：
:<math>\left|\psi_1\psi_2\right\rangle = \pm\left|\psi_2\psi_1\right\rangle</math>
其中<math>\left|\dots\right\rangle</math>中的第一项是第一个粒子的状态，第二项是第二个粒子的状态。因此公式的左侧的意思是“粒子一在<math>\psi_1</math>状态和粒子二在<math>\psi_2</math>状态”。加号相应于两个粒子都是玻色子，减号相应于两个粒子都是费米子（玻色子和费米子混合的状态是不可能的）。

1977年，[[奥斯陆大学]]的两名学者证明在二维-{}-系统中准粒子可以[[连续函数|连续]]地遵循费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计之间的任何统计。<ref>{{cite journal
| title = On the theory of identical particles
| journal = Il Nuovo Cimento B
| volume = 37
| issue = 1
| pages = 1–23
| last1 = Leinaas
| first = Jon Magne
| last2 = Myrheim
| first2 = Jan
| url = http://www.ifi.unicamp.br/~cabrera/teaching/referencia.pdf
| date = 1977-01-11
| doi = 10.1007/BF02727953
| bibcode = 1977NCimB..37....1L
| access-date = 2018-11-25
| archive-date = 2020-12-24
| archive-url = https://web.archive.org/web/20201224032504/https://www.ifi.unicamp.br/~cabrera/teaching/referencia.pdf
| dead-url = no
}}</ref>使用上面两粒子系统的例子其公式为：
:<math>\left|\psi_1\psi_2\right\rangle = e^{i\,\theta}\left|\psi_2\psi_1\right\rangle</math>

<math>i</math>是[[复数 (数学)|复数]]计算中的[[虚数单位]]，<math>\theta</math>是一个[[实数]]。<math>|e^{i\theta}|=1</math>，<math>e^{2i\pi}=1</math>和<math>e^{i\pi}=-1</math>。假如<math>\theta=\pi</math>我们获得费米-狄拉克统计（负号），假如<math>\theta=2\pi</math>我们获得玻色-爱因斯坦统计（正号）。在其间我们获得其它统计。任意子这个名称是[[弗朗克·韦尔切克]]起的<ref>{{cite journal
| title = Quantum Mechanics of Fractional-Spin Particles
| journal = Physical Review Letters
| volume = 49
| issue = 14
| pages = 957–959
| last = Wilczek
| first = Frank
| authorlink = Frank Wilczek
| date = 4 October 1982
| url = http://www.ifi.unicamp.br/~mtamash/f689_mecquant_i/prl49_957.pdf
| doi = 10.1103/PhysRevLett.49.957
| bibcode = 1982PhRvL..49..957W
| access-date = 2018-11-25
| archive-date = 2020-09-22
| archive-url = https://web.archive.org/web/20200922075221/https://www.ifi.unicamp.br/~mtamash/f689_mecquant_i/prl49_957.pdf
| dead-url = no
}}</ref>，因为这些粒子在进行粒子交换的情况下可以有任意相。

我们也可以用<math>\theta = 2 \pi s</math>，其中粒子的[[自旋]]量子数<var>s</var>对于[[玻色子]]而言是整数，对于[[费米子]]而言是半整数。因此：
:<math>e^{i\theta}=e^{2i \pi s}=(-1)^{2s}</math>，或者<math>\left|\psi_1\psi_2\right\rangle = (-1)^{2s}\left|\psi_2\psi_1\right\rangle</math>

在边界上，分数[[量子霍尔效应]]任意子被限制在一维空间中移动。一维任意子的数学模型提供了上述交换关系的基础。

=== 拓扑相等 ===
任意子跟下面的概念相关：

* [[同伦]]
* [[辫理论]]
* [[路徑積分表述]]<ref>{{Cite book|edition=First edition|chapter=Quantum field theory for the gifted amateur|url=https://www.worldcat.org/oclc/859651399|location=Oxford|isbn=0-19-969933-X|oclc=859651399|last=Lancaster, Tom,}}</ref><ref>{{Cite book|chapter=Fractional statistics and quantum theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/84691757|publisher=World Scientific|date=2005|location=Singapore|isbn=978-981-256-160-2|oclc=84691757|last=Khare, Avinash.}}</ref>
* [[阿哈罗诺夫－玻姆效应]]

=== 实验 ===
1982年，[[崔琦]]发现了[[分數量子霍爾效應]]，赢了物理学诺贝尔奖。他的作品说明了任意子可能有[[石墨烯]]和[[半导体]]的引用。2020年，任意子的统计特性的理论预言被实验证实<ref>{{Cite journal |last=Bartolomei |first=H. |last2=Kumar |first2=M. |last3=Bisognin |first3=R. |last4=Marguerite |first4=A. |last5=Berroir |first5=J.-M. |last6=Bocquillon |first6=E. |last7=Plaçais |first7=B. |last8=Cavanna |first8=A. |last9=Dong |first9=Q. |last10=Gennser |first10=U. |last11=Jin |first11=Y. |title=Fractional statistics in anyon collisions |url=https://www.science.org/doi/10.1126/science.aaz5601 |journal=Science |date=2020-04-10 |volume=368 |issue=6487 |doi=10.1126/science.aaz5601 |access-date=2025-02-11 |archive-date=2025-03-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20250304104236/https://www.science.org/doi/10.1126/science.aaz5601 |dead-url=no }}</ref>。

== 拓扑学基础 ==
在任何二维以上的空间里，[[自旋統計定理]]规定任何多粒子状态都必须要么遵循费米-狄拉克统计，要么遵循玻色-爱因斯坦统计。这与<math>n>2</math>的{{lang|en|SO(''n'',1)}}[[基本群]]有关，其值为<math>\mathrm{Z}_2</math>（有两个元素的[[循環群]]）。因此这里只有两个可能性（这里的细节比上述的要复杂，但是最关键的原因是这个）。

在二维空间里情况发生了变化，这里{{lang|en|SO(2,1)}}的基本群是<math>Z</math>（无限循环）。这意味着{{lang|en|Spin(2,1)}}不是[[通用覆盖群|通用覆盖]]：它们不是[[單連通]]。详细地说[[广义正交群|特殊正交群]]{{lang|en|SO(2,1)}}的[[射影表示]]不仅仅有{{lang|en|SO(2,1)}}或者其二重覆盖群[[旋量群]]{{lang|en|Spin(2,1)}}的[[表示论|线性表示]]。而这些额外的表示被称为任意子。

这个概念对非相对论系统也有效。关键是空间旋量群是有无限基本群的{{lang|en|SO(2)}}。

这个事实也与[[紐結理論]]中著名的[[辫群]]有关。在二维中两个粒子的排列群不再是[[对称群 (n次对称群)|对称群]]<math>S_2</math>，而是辫子群<math>B_2</math>了。这样也可以来理解这个问题。

有一种考虑解决[[量子计算机]]中的稳定性问题的方法是使用任意子制成的[[拓扑量子计算机]]（topological quantum computer）。这种计算机使用准粒子作为线程，使用[[辫理论]]来设计稳定的逻辑门<ref>{{cite journal
| title = Topological Quantum Computation
| journal = Bulletin of the American Mathematical Society
| volume = 40
| issue = 1
| pages = 31–38
| last = Freedman
| first = Michael
|author2=Alexei Kitaev |author3=Michael Larsen |author4=Zhenghan Wang
| date = 2002-10-20
| doi = 10.1090/S0273-0979-02-00964-3| arxiv = quant-ph/0101025}}</ref><ref>{{cite journal |last=Monroe |first=Don |url=https://www.newscientist.com/channel/fundamentals/mg20026761.700-anyons-the-breakthrough-quantum-computing-needs.html |title=Anyons: The breakthrough quantum computing needs? |work=[[New Scientist]] |issue=2676 |date=1 October 2008 |journal= |access-date=2018-11-25 |archive-date=2008-10-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20081010094905/http://www.newscientist.com/channel/fundamentals/mg20026761.700-anyons-the-breakthrough-quantum-computing-needs.html |dead-url=no }}</ref>。

== 非阿贝尔任意子 ==
[[文小刚]]发现了[[分數量子霍爾效應]]自然地给出非阿贝尔任意子。<ref>{{Cite journal|title=Nonabelions in the fractional quantum hall effect|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/055032139190407O|last=Moore|first=Gregory|last2=Read|first2=Nicholas|date=1991-08|journal=Nuclear Physics B|issue=2-3|doi=10.1016/0550-3213(91)90407-O|volume=360|pages=362–396|language=en|access-date=2020-01-30|archive-date=2020-09-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20200917172230/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/055032139190407O|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Non-Abelian statistics in the fractional quantum Hall states|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.66.802|last=Wen|first=X. G.|date=1991-02-11|journal=Physical Review Letters|issue=6|doi=10.1103/PhysRevLett.66.802|volume=66|pages=802–805|language=en|issn=0031-9007}}</ref> [[阿列克谢·基塔耶夫]]表示了我们可以用非阿贝尔任意子来创造[[拓扑量子计算机]]。<ref>{{Cite journal|title=Non-Abelian states of matter|url=http://www.nature.com/articles/nature08915|last=Stern|first=Ady|date=2010-03|journal=Nature|issue=7286|doi=10.1038/nature08915|volume=464|pages=187–193|language=en|issn=0028-0836|access-date=2020-01-30|archive-date=2022-04-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20220419160845/https://www.nature.com/articles/nature08915}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Braiding of Abelian and Non-Abelian Anyons in the Fractional Quantum Hall Effect|url=http://arxiv.org/abs/1112.3400|last=An|first=Sanghun|last2=Jiang|first2=P.|date=2011-12-14|journal=arXiv:1112.3400 [cond-mat]|last3=Choi|first3=H.|last4=Kang|first4=W.|last5=Simon|first5=S. H.|last6=Pfeiffer|first6=L. N.|last7=West|first7=K. W.|last8=Baldwin|first8=K. W.|access-date=2020-01-30|archive-date=2020-11-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20201111210356/http://arxiv.org/abs/1112.3400|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Magnetic field-tuned Aharonov-Bohm oscillations and evidence for non-Abelian anyons at v=5/2|url=http://arxiv.org/abs/1301.2639|last=Willett|first=R. L.|last2=Nayak|first2=C.|date=2013-10-28|journal=Physical Review Letters|issue=18|doi=10.1103/PhysRevLett.111.186401|volume=111|pages=186401|issn=0031-9007|last3=Shtengel|first3=K.|last4=Pfeiffer|first4=L. N.|last5=West|first5=K. W.|access-date=2020-01-30|archive-date=2019-03-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20190305112122/https://arxiv.org/abs/1301.2639|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Enhanced bulk-edge Coulomb coupling in Fractional Fabry-Perot interferometers|url=http://arxiv.org/abs/1411.4654|last=von Keyserlingk|first=C. W.|last2=Simon|first2=S. H.|date=2015-09-18|journal=Physical Review Letters|issue=12|doi=10.1103/PhysRevLett.115.126807|volume=115|pages=126807|issn=0031-9007|last3=Rosenow|first3=Bernd}}</ref>

== 参见 ==
拓扑学和量子场论：

*[[随机矩阵]]
*[[陈-西蒙斯理论]]，这个[[拓扑量子场论]]描述[[分數量子霍爾效應]]和任意子
*[[辫理论]]
*[[金兹堡－朗道方程]]

[[超导现象]]：

*[[流量管]]
*[[约瑟夫森效应]]
*[[磁通量量子]]
*[[邁斯納效應]]

== 参考资料 ==
{{Reflist|2}}

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20050216093804/http://www.sciencewatch.com/interviews/frank_wilczek1.htm 对{{lang|en|Frank Wilczek}}的采访]

[[Category:量子场论]]
[[Category:陈-西蒙斯理论]]