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{{環論}}{{NoteTA|G1=Math}}

在'''數學'''中，交換環上的'''代數'''或'''多元環'''是一種[[代數結構]]，上下文不致混淆時通常逕稱'''代數'''。

本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。

== 定義 ==
給定一個交換環 <math>A</math> 。

=== 代數 ===
給定一個四元組 <math>(E,+,.,\times)</math> 。如果以下兩個條件成立：
# <math>(E,+,\cdot)</math> 是一個 <math>A</math>-[[模]]。
# <math>\times</math>是一個 <math>E</math> 的內部運算（即<math>\times:E\times E\rightarrow E</math>），並且是<math>A</math>-雙線性的。也就是說內部運算<math>\times</math>符合以下三點：
#* <math>\forall x,y,z \in E,\qquad\qquad (x+y)\times z=  x\times z+y\times z</math>
#* <math>\forall x,y,z \in E,\qquad\qquad x\times (y+z)=  x\times y+x\times z</math>
#* <math>\forall a\in A, \forall x, y \in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y) = x\times (a\cdot y)</math>
那麼我們說四元組 <math>(E,+,\cdot,\times)</math> 是一個 <math>A</math> 上的'''代數'''（或稱 '''<math>A</math>-代數'''），或簡稱集合 <math>E</math> 是一個'''<math>A</math>-代數'''。

=== 結合代數、有單位的代數、交換代數 ===
設 <math>(E,+,\cdot,\times)</math> 為一個 '''<math>A</math>-代數'''。
* 如果內部運算<math>\times</math>符合結合律，那麼我們說 <math>E</math> 是一個'''結合代數'''。
* 如果內部運算<math>\times</math>有一個單位元（即 <math>\exists 1_E\in E, \forall x\in E, 1_E\times x=x=x\times 1_E</math>），那麼此單位元是唯一的並且我們說 <math>E</math> 是一個'''有單位的代數'''。
* 如果內部運算<math>\times</math>符合交換律，那麼我們說 <math>E</math>  是一個'''交換代數'''。
'''註'''：有些作者用結合代數來稱呼'''結合且有單位'''的代數，或是用交換代數來稱呼'''結合、有單位且交換'''的代數。本頁面使用上述段落給的定義而不採用這些稱呼。 

== 等價定義 ==
一樣給定一個交換環 <math>A</math> 。

給定一個四元組 <math>(E,+,\cdot,\times)</math> 。 這是一個'''<math>A</math>'''上的'''結合代數'''（'''<math>resp.</math>結合且有單位的代數'''、'''<math>resp.</math>結合、有單位且交換的代數'''）當且僅當以下三個條件成立：
# <math>(E,+,\cdot)</math> 是一個 <math>A</math>-[[模]]。
# <math>(E,+,\times)</math> 是一個環（<math>resp.</math>一個幺環、<math>resp.</math>一個交換環）。
# <math>\times</math>是一個 <math>E</math> 的內部運算（即<math>\times:E\times E\rightarrow E</math>），並且是<math>A</math>-雙線性的。
註：上述條件中的第三個條件在第一及第二條件成立下等價為：
* <math>\times</math>是一個 <math>E</math> 的內部運算（即<math>\times:E\times E\rightarrow E</math>），並符合<math>\forall a\in A, \forall x, y \in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y) = x\times (a\cdot y)</math>

上述只是將最初定義重整理一次。然而我們可以用別種結構來理解結合且有單位的代數：
* 給定一個'''結合且有單位'''的 <math>A</math>-代數 <math>E</math> 就等於給定一個二元組 <math>(E,f)</math>：其中 <math>E</math> 是一個環，而 <math>f:A\rightarrow E</math> 是一個滿足<math>f(A)\subset Z(E)</math> 的環同態。（<math>Z(E)</math> 代表環 <math>E</math> 的中心，也就是 <math>Z(E)=\{x\in E:\forall y\in E, x\times y = y\times x\}</math>）。
原因是如果 <math>E</math> 是一個結合且有單位的<math>A</math>-代數，那麼 <math>E</math> 是一個環並且 <math>f:a\in A\longmapsto a\cdot 1_E\in E</math> 是一個環同態，滿足<math>f(A)\subset Z(E)</math>。反過來看，如果 <math>E</math> 是一個環，而 <math>f:A\rightarrow E</math> 是一個滿足 <math>f(A)\subset Z(E)</math> 的環同態，那麼我們可以定義外部運算<math>\cdot:A\times E\to E, (a,x)\longmapsto f(a)\times x</math>（即<math>a\cdot x  \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} f(a)\times x</math>）。<math>E</math> 上環的結構與此外部運算結構使其成為一個 <math>A</math>-模並且成為一個結合且有單位的 <math>A</math>-代數。

將上述性質套用在交換環上，我們便可得到結合、有單位且交換的代數的另一種看法：
* 給定一個'''結合、有單位且交換'''的 <math>A</math>-代數 <math>E</math> 就等於給定一個二元組 <math>(E,f)</math>：其中 <math>E</math> 是一個'''交換環'''，而 <math>f:A\rightarrow E</math> 是一個的環同態。

== [[代數同態]] ==
設 <math>E, F</math> 是 <math>A</math>-代數，<math>A</math>-模間的同態 <math>\phi: E \rightarrow F</math> 被稱作 <math>A</math>-代數間的'''同態'''，若且唯若它滿足 <math>\forall x,y \in E, \; \phi(xy)=\phi(x)\phi(y)</math>。因此所有 <math>A</math>-代數構成一個[[範疇論|範疇]]，也可以探討代數間的[[同構]]。詳閱主條目[[代數同態]]。

== 結構常數 ==
設 <math>E</math> 是 <math>A</math>-代數。當 <math>E</math> 是個自由的有限秩 <math>A</math>-模（當 <math>A</math> 為域且<math>\dim_A E < \infty</math> 時自動成立）時，可選定一組基底 <math>e_1, \ldots, e_n</math>，並將乘法寫作
: <math>e_i e_j = \sum_k c_{ij}^k e_k \quad</math> （採用[[愛因斯坦記號]]）

此時常數 <math>c_{ij}^k \in A</math> 稱作 <math>E</math> 對基底 <math>e_1, \ldots, e_n</math> 的'''結構常數'''。

== 例子 ==
* 對於<math>n\geq 2</math>，[[矩陣]]環 <math>\mathcal{M}_n(\R)</math> 附上矩陣乘法是一個非交換但結合且有單位的<math>\mathbb{R}</math>-代數。
* 對二階以上的矩陣環，假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為 <math>\{X,Y\} = (XY + YX)/2</math>，此時得到一個交換、非結合、無單位的代數。這是一個[[約當代數]]的例子。
* 歐氏空間 <math>\mathbb R^3</math> 對其[[外積]]構成一個非交換、非結合且無單位的 <math>\mathbb{R}</math>-代數。這是一個[[李代數]]的例子。
* [[四元數]] <math>\mathbb H</math> 是一個非交換但結合且有單位的 <math>\mathbb{R}</math>-代數。
* [[八元數]] <math>\mathbb O</math> 是一個非交換、非結合但有單位的 <math>\mathbb{R}</math>-代數。
* 考慮所有在正無窮有極限且極限為0的函數<math>\mathbb{R}\to\R</math>所形成的集合，附上一般的運算會是一個結合且交換但無單位的<math>\mathbb{R}</math>-代數。

除了交換結合代數外，一般常研究的幾類代數包括[[李代數]]、[[克里福代數]]、[[約當代數]]等等。近來一些物理學家運用的[[幾何代數]]也是一例。

代數上也可以賦予[[拓撲空間|拓撲結構]]，並要求代數運算是[[連續函數|連續]]的；最突出的例子是[[巴拿赫代數]]，這是現代[[泛函分析]]的基石之一。

== 參見 ==
* [[結合代數]]
* [[代數同態]]
* [[李代數]]

== 文獻 ==
* Nicholas Bourbaki, ''Algèbre: tome 1. Chapitres 1 à 3'' ISBN 2-903684-00-6

{{ModernAlgebra}}

[[Category:代數|D]]
[[Category:环论]]