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{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
在'''數學'''上，一個[[域_(數學)|域]]<math>F</math>被稱作'''代數閉域'''，[[若且唯若]]任何係數属于<math>F</math>且次數大於零的單變數[[多項式]]在<math>F</math>裡至少有一個[[根_(數學)|根]]。代数闭域一定是无限域。

==例子==
舉例明之，[[實數]]域並非代數閉域，因為下列實係數多項式無實根：

:<math>x^2+1=0</math>

同理可證[[有理數]]域非代數閉域。此外，[[有限域]]也不是代數閉域，因為若<math>a_1, \ldots, a_n</math>列出<math>F</math>的所有元素，則下列多項式在<math>F</math>中沒有根：

:<math>(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1\,</math>

反之，[[复数 (数学)|複數]]域則是代數閉域；這是[[代數基本定理]]的內容。另一個代數閉域之例子是[[代數數]]域。

==等價的刻劃==
給定一個域<math>F</math>，其代數封閉性與下列每一個性質等價：

===不可约多项式[[若且唯若]]一次多项式===
域''F''是代数闭域，当且仅当环''F''[''x'']中的[[不可约多项式]]是而且只能是一次多项式。

“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果''F''是代数闭域，''p''(''x'')是''F''[''x'']的一个不可约多项式，那么它有某个根''a''，因此''p''(''x'')是''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''a''的一个倍数。由于''p''(''x'')是不可约的，这意味着对于某个''k''&nbsp;&isin;&nbsp;''F''&nbsp;\&nbsp;{0}，有''p''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''k''(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''a'')。另一方面，如果''F''不是代数闭域，那么存在''F''[''x'']内的某个非常数多项式''p''(''x'')在''F''内没有根。设''q''(''x'')为''p''(''x'')的某个不可约因子。由于''p''(''x'')在''F''内没有根，因此''q''(''x'')在''F''内也没有根。所以，''q''(''x'')的次数大于一，因为每一个一次多项式在''F''内都有一个根。

===每一个多项式都是一次多项式的乘积===
域''F''是代数闭域，当且仅当每一个[[系数]]位于次数''F''内的''n''&nbsp;≥&nbsp;1的多项式''p''(''x'')都可以[[因式分解|分解成线性因子]]。也就是说，存在域''F''的元素''k''，&nbsp;''x''<sub>1</sub>，&nbsp;''x''<sub>2</sub>，&nbsp;……，&nbsp;''x<sub>n</sub>''，使得''p''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''k''(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''x''<sub>1</sub>)(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''x''<sub>2</sub>)&nbsp;&middot;&middot;&middot;&nbsp;(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''x<sub>n</sub>'')。

如果''F''具有这个性质，那么显然''F''[''x'']内的每一个非常数多项式在''F''内都有根；也就是说，''F''是代数闭域。另一方面，如果''F''是代数闭域，那么根据前一个性质，以及对于任何域''K''，任何''K''[''x'']内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积，推出这个性质对''F''成立。

===''F<sup>n</sup>''的每一个自同态都有特征向量===
域''F''是代数闭域，当且仅当对于每一个自然数''n''，任何从''F<sup>n</sup>''到它本身的[[线性映射]]都有某个[[特征向量]]。

''F<sup>n</sup>''的[[自同态]]具有特征向量，当且仅当它的[[特征多项式]]具有某个根。因此，如果''F''是代数闭域，每一个''F<sup>n</sup>''的自同态都有特征向量。另一方面，如果每一个''F<sup>n</sup>''的自同态都有特征向量，设''p''(''x'')为''F''[''x'']的一个元素。除以它的首项系数，我们便得到了另外一个多项式''q''(''x'')，它有根当且仅当''p''(''x'')有根。但如果''q''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x<sup>n</sup>''&nbsp;+&nbsp;''a''<sub>''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1</sub>''x''<sup>''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1</sup>+&nbsp;&middot;&middot;&middot;&nbsp;+&nbsp;''a''<sub>0</sub>，那么''q''(''x'')是以下[[友矩阵]]的特征多项式：
:<math>\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&-a_0\\1&0&\cdots&0&-a_1\\0&1&\cdots&0&-a_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&1&-a_{n-1}\end{pmatrix}.</math>

===有理表达式的分解===
域''F''是代数闭域，当且仅当每一个系数位于''F''内的一元[[有理函数]]都可以写成一个多项式函数与若干个形为''a''/(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''b'')<sup>n</sup>的有理函数之和，其中''n''是自然数，''a''和''b''是''F''的元素。

如果''F''是代数闭域，那么由于''F''[''x'']内的不可约多项式都是一次的，根据[[部分分式|部分分式分解的定理]]，以上的性质成立。

而另一方面，假设以上的性质对于域''F''成立。设''p''(''x'')为''F''[''x'']内的一个不可约元素。那么有理函数1/''p''可以写成多项式函数''q''与若干个形为''a''/(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''b'')<sup>n</sup>的有理函数之和。因此，有理表达式
:<math>\frac1{p(x)}-q(x)=\frac{1-p(x)q(x)}{p(x)}</math>
可以写成两个多项式的商，其中分母是一次多项式的乘积。由于''p''(''x'')是不可约的，它一定能整除这个乘积，因此它也一定是一个一次多项式。

==代數閉包==
設<math>E \supset F</math>為代數擴張，且<math>E</math>是代數閉域，則稱<math>E</math>是<math>F</math>的一個'''代數閉包'''。可以視之為包含<math>F</math>的最小的代數閉域。

若我們承認[[佐恩引理]]（或其任一等價陳述），則任何域都有代數閉包。設<math>E, E'</math>為任兩個<math>F</math>的代數閉包，則存在環同構<math>\sigma: E \stackrel{\sim}{\rightarrow} E'</math>使得<math>\sigma|_F = \mathrm{id}_F</math>；代數閉包在此意義上是唯一的，通常記作 <math>F^\mathrm{alg}</math> 或<math>\bar{F}</math>。

==文獻==
* S. Lang, ''Algebra'', Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
* Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, ''Algebra I'', Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5

{{ModernAlgebra}}

[[Category:抽象代數|D]]
[[Category:域論|D]]