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{{群论}}

在[[代數幾何]]中，一個'''代數群'''（或'''群簇'''）是一個擁有[[群 (數學)|群]]結構的[[代數簇]]，其'''簇'''之'''乘'''與'''逆'''由[[正則函數]]提供。以[[范畴论|範疇論]]描述，一個代數群是一個於[[代數簇]][[範疇 (數學)]]中的[[群對象]]。

在[[數學]]中，[[域 (數學)|域]]<math>k</math>上的'''代數群'''有幾種等價的描述：
* 光滑<math>k</math>-[[代數簇]][[範疇論|範疇]]中的[[群對象]]。
* <math>\mathrm{Spec}(k)</math>上的分離、有限型[[群概形]]。
* 一個<math>k</math>-代數簇<math>G</math>配上<math>e: \mathrm{Spec}(k) \to G</math>（單位元）、<math>m: G \times G \to G</math>（群的二元運算）及<math>i: G \to G</math>（逆），使之滿足群論所要求的公理。

可以將代數群設想為[[李群]]的[[代數幾何]]版本，代數群一樣有[[切空間]]及[[李代數]]，卻沒有[[指數映射]]（某些[[冪零群]]除外）；李群可以表成<math>\mathrm{R}</math>-代數群的[[覆疊空間]]。

代數群的典型例子包括<math>\mathrm{GL}(n)</math>及[[橢圓曲線]]。仿射代數群必可表為<math>\mathrm{GL}(n)</math>的子群，因此又稱線性群。當<math>k</math>是[[完美域]]時，Chevalley定理斷言：設<math>G</math>為<math>k</math>-代數群，則存在[[短正合序列]]
: <math>1 \to B \to G \to A \to 1</math>
在此<math>B</math>是線性群、<math>A</math>是[[阿貝爾簇]]。準此，線性群與阿貝爾簇是代數群的基本構件。既非線性亦非阿貝爾簇的典型例子是帶奇點的[[代數曲線]]之[[廣義雅可比簇]]<math>\mathrm{Pic}_{X/k}^0</math>。 

==參見==
*[[代數簇]]

== 文獻 ==
* Briand Conrad, [https://web.archive.org/web/20080511211424/http://www.math.lsa.umich.edu/~bdconrad/papers/chev.pdf ''A Modern Proof of Chevalley's Theorem on Algebraic Groups''].
* Humphreys, J.E., ''Linear algebraic groups'', Graduate Texts in Mathematics, No. 21. Springer-Verlag.
* Milne, J. S., ''[http://www.jmilne.org/math/ Algebraic and Arithmetic Groups.]{{Wayback|url=http://www.jmilne.org/math/ |date=20201211164012 }}'' 
* Mumford, D., ''Abelian varieties'', Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 5.
* Springer, T.A., ''Linear algebraic groups'', 2nd. ed., Progress in Mathematics 9. Boston: Birkhäuser.
* Waterhouse, W.C., ''Introduction to Affine Group Schemes'', Graduate Texts in Mathematics, No. 66. Springer-Verlag.
* Andre Weil, ''Variétés abéliennes et courbes algébriques''. Paris: Hermann & Cie.

[[Category:代數幾何|D]]
[[Category:代數群]]