查看“︁代數獨立”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
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{{Refimprove|time=2007-09-26T15:22:55Z}}
在[[抽象代數]]裡，一個[[域 (數學)|體]]<math>L</math>的[[子集]]<math>S</math>若被稱做'''代數獨立'''於一[[域 (數學)|子體]]<math>K</math>的話，表示<math>S</math>內的元素都不符合係數包含在<math>K</math>內的非[[平凡 (數學)|平凡]][[多項式]]。這表示任何以<math>S</math>內元素排成的有限序列<math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math>（沒有兩個是一樣的）和任一係數包含在<math>K</math>的非零多項式<math>P(x_1,\cdots,x_n)</math>，都會得到：

:<math>P(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\ne0</math>

特別的是，單元素集合<math>\{\alpha\}</math>若是代數獨立於<math>K</math>的話，[[若且唯若]]<math>\alpha</math>會是<math>K</math>內的[[超越數]]或[[超越函數]]。一般而言，和於<math>K</math>代數獨立集合的所有元素也必然會是<math>K</math>內的超越數或超越函數，但反之則不必然。

舉例來說，[[實數]]<math>\mathbb{R}</math>的子集<math>\{\sqrt{\pi},2\pi+1\}</math>並'''不'''代數獨立於[[有理數]]<math>\mathbb{Q}</math>，當存在一非零多項式：

:<math>P(x_1,x_2)=2x_1^2-x_2+1</math>

<math>x_1</math>代入<math>\sqrt{\pi}</math>和<math>x_2</math>代入<math>2\pi+1</math>時會變成<math>0</math>。

[[林德曼-魏爾斯特拉斯定理]]時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數：當<math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math>為[[線性獨立]]於有理數的[[代數數]]時，<math>\mbox{e}^{\alpha_1},\cdots,\mbox{e}^{\alpha_n}</math>便會代數獨立於有理數。

現在依然沒有證明出集合<math>\{\pi,\mbox{e}\}</math>是否代數獨立於有理數。{{link-en|Nesterenko|Yuri Valentinovich Nesterenko|Nesterenko}}在1996年證明了<math>\{\pi,\mbox{e}^{\pi},\Gamma(1/4)\}</math>是代數獨立於有理數的。

給定一[[體擴張]]<math>L/K</math>，我們可以利用[[佐恩引理]]來證明總是存在一<math>L</math>的最大代數獨立子集於<math>K</math>。甚至，所有個最大代數獨立子集都會有相同的[[基数 (数学)|基數]]，稱之為此一體擴張的[[超越次數]]。

[[Category:域论]]