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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[數學]]中，'''代數數論'''（{{lang-en|Algebraic number theory}}）是[[數論]]的一支，在这个数学分支中，「數」的概念延伸到[[代数数]]上，以解決具體的數論問題。這類數是[[有理數|有理]]係數[[多項式]]的根。與此相關的概念是[[數域]]，這是有理數[[体 (数学)|域]]的[[代數擴張|有限擴張]]。依照同样的动机，[[整數]]可以被推广为為[[代數整數]]，然后研究一個數域裡的代數整數。

代數整數在加法、減法與乘法下構成一個[[环 (代数)|環]]，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱[[算術基本定理]]），這是十九世紀數學家試圖證明[[費馬大定理]]時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數的性質——包括[[伽羅瓦理論]]、[[伽羅瓦上同調]]、[[類域論]]、[[群表示论]]與[[L-函數]]的相關理論等等。

數論中的許多問題可藉由「模 p」（其中 p 為[[素數]]）來研究。這套技術導向[[p進數]]的建構，而p進數是[[局部域]]的例子；局部域的研究運用了一些研究數域時的相同方法，但是通常更容易處理。各個局部域上性质时常可以上升到整体數域上性质，例如[[哈瑟原理]]：<br>
<small>「一個有理係數二次方程在有理數域上有解，若且唯若它在實數上及在每個素數 p 之 p進數域上有解」</small>。<br>
這類結果往往被稱作局部-整體原理，其中「局部」意指局部域，而「整體」意指數域。

==唯一因子分解和理想类群==

[[代数数域]]K的[[整数环]]O<sub>K</sub>的元素的素分解和整数环Z的[[素数]]分解有不同之处，不是每个O<sub>K</sub>的元素都唯一分解。虽然O<sub>K</sub>元素的唯一分解性质在某些情况下可能成立，如[[高斯整环]]，但在其它情况下可能会失败， 如Z[√-5]中，6就不是唯一分解:<math> 6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})\cdot(1-\sqrt{-5}).</math>
这里需要注意的是需要考虑分解确实“质数”的，同样的算式可以出现在Q[√-5]中，但是因为Q[√-5]是一个[[二次域]]，既一定是[[唯一分解整环]]。

O<sub>K</sub>的[[理想类群]]是一个整数环O<sub>K</sub>的元素是否唯一因子分解的[[度量]]，特别是当整数环O<sub>K</sub>[[理想类群]]是[[平凡群]]时，当且仅当O为[[唯一分解整环]]。0的唯一因子分解和O<sub>K</sub>素理想间关系。

O<sub>K</sub>元素的唯一分解可能成立：这时O<sub>K</sub>的理想的唯一分解成素理想（即它是一个[[戴德金整环]]）。这使得在研究O<sub>K</sub>的素理想尤其重要。从另方面，从整数环Z更改为[[代数数域]]K的[[整数环]]O<sub>K</sub>后，整数环Z中素数就能生成Z素理想（其实，Z的每一个素理想（p）的形式是：pZ）可同一素数在O中可能不再生成素理想，例如，在[[高斯整环]]中，理想2Z[i]不再是素理想：

:<math>2\mathbf{Z}[i]=\left((1+i)\mathbf{Z}[i]\right)^2.</math>

但理想3Z[i]是一个素理想。[[高斯整环]]唯一因子分解完整的答案使用费马大定理，其结果为：
:<math>p\mathbf{Z}[i]\mbox{ is a prime ideal if }p\equiv 3 \,(\operatorname{mod}\, 4)</math>
:<math>p\mathbf{Z}[i]\mbox{ is not a prime ideal if }p\equiv 1 \,(\operatorname{mod}\, 4).</math>

得出这种简单的结果对更一般的整数环来说是代数数论的基本问题。当[[代数数域]]K是有理数Q的阿贝尔扩张时（即有交换[[伽罗瓦群]]的扩张）类域论实现了这一目标。

==素元和素点==
（根据[[类域论]]，因K为有理域Q时O<sub>K</sub>才有唯一分解，以下K=Q，注意有理域Q和有理数域不同，实域R和实数域不同）

在O<sub>K</sub>[[素理想]]的概念的一个重要的推广是理想论，也叫[[赋值]]论，这两种方法之间的关系如下：

运算为通常的绝对值函数|·|，映射有理域Q→实域R的，令绝对值函数|·|<sub>p</sub>:  定义称为p-adic绝对赋值，p∈Z中的素数。由[[亞歷山大·馬雅科維奇·奧斯特洛夫斯基|奥斯特洛夫斯基]]的定理，所有p-adic[[绝对赋值]]对Q是[[等价类]],p-adic绝对赋值可看成类似通常素数。更普遍的，[[代数数域]]K的[[绝对赋值]]称为一个[[素点]]。K中素元分两类：像p-adic绝对赋值|·|<sub>p</sub>这种等价类是有限的，被称为有限素元（有限[[素点]]）。而通过复域C的模|·|方式定义的素元可看成复域C一个无限子集，被称为无限[[素元]]（或无限素点）。因此，一般表示Q的[[素元]]集合为{2，3，5，7，...，∞}，在这种情况下|·|<sub>∞</sub>是有理域Q的素元（[[素点]]）。

K的无限素元可有嵌入[[同态]]K→C（即非零的[[环同态]]，从K到C）。具体来说，可把嵌入分成两个不相交的子集，那些像在R中算一个[[子集]]S1，其余的为另一子集S2。S1的每个嵌入σ：K→R，[[对应]]唯一一个和通常[[绝对值]]一样的绝对[[赋值]];这种方式产生的一个素元的被称为一个实素元（或实[[素点]]）。S2的一个嵌入τ：是K→C不包含在R中的的像，可以形成另一个唯一的嵌入τ，称为共轭嵌入，组成的复共轭映射为τ的C→C.而此绝对赋值为复数的模：|''z''| = |{{Overline|''z''}}| 。这样的素元叫一个复素元（或复素点）。这样无限[[素元]]的集合的描述如下：每个无限素元对应到一个唯一的嵌入σ：K→R，或一对[[共轭]]嵌入τ，τ：K→C.实素点素数表示为''r''<sub>1</sub> ，复素点表示为''r''<sub>2</sub>，嵌入ķ→C的总数为''r''<sub>1</sub>+2''r''<sub>2</sub>，（事实上，等于K/ Q的[[扩张次数]]：[K：Q]）。

==单位==
[[算术基本定理]]说明Z环的乘法结构为：每一个非零整数可以表为唯一的若干素数次幂和±1乘。这对O<sub>K</sub>的理想的唯一分解对一部分理想正确，不能全正确是因为±1，因为整数1和-1是Z环的[[可逆元素]]（即[[单位 (环论)|单位]]，两者组成一个乘法群叫[[单位群]]，记为Z<sup>×</sup>，是个2阶[[循环群]]）。更普遍的是，在O<sub>K</sub>的形式下全部素元乘法可逆组成一个乘法群，记为O<sup>×</sup>，群素元称为O<sub>K</sub>的单位，这个群比2阶循环群Z×[[阶 (群论)|阶]]大。由[[狄利克雷单位定理]]可得：单位群是交换群。更确切的有伽罗瓦模形式：
:O<sub>K</sub> <math>\simeq</math> Z<sup>⊕r</sup>⊕（有限循环群）。
有限循环群即为K的单位群O<sup>×</sup>。O<sub>K</sub>单元群的[[阶 (群论)|阶]]大小，O<sub>K</sub>的[[格子|格]]结构，在[[类数]]公式可以看出。

==位（Place）==

==局部域==
{{main|局部域}}

在素点w对数域K[[完备]]化给出了一个[[完全]]域。如果赋值是阿基米德赋值，得到R或C，都是[[完全]]域。如果非阿基米德赋值，则是有理素元的离散赋值，得到[[有限扩张]]''K''<sub>w</sub> / '''Q'''<sub>p</sub>: ：这离散赋值域也是一个[[完全]]域，且是有限剩余域。

局部方法简化了域的算术，能局部研究问题。例如[[克罗内克韦伯定理]]，可以轻松地从局部状态进行。局部域的研究背后的哲学，主要是出于几何方法。在代数几何，可通过对极大理想的点集局部化的变量研究入手。而全局信息，可通过局部化综合在一起得出。在代数数论，局部研究问题是主要方法之一，通过在数域代数中对整数环的素元入手，再对分式域研究得出全局信息。

==主要结果==
[[理想类群]]阶的有限性问题。代数数论一个经典结论是：代数数域的[[理想类群]]阶有限。
[[理想类群]]阶大小叫[[类数]]，常记为h。

===狄利克雷单位定理===
{{main|狄利克雷单位定理}}
*狄利克雷的单位定理提供了O<sub>K</sub> 单位乘群O<sub>×</sub> 的结构描述，它指出:O<sub>K</sub> <math>\simeq</math>Z<sup>⊕r</sup>⊕（finite circle group）其中有限循环群是O<sub>×</sub>的所有[[单位根]]组成，且''r'' = ''r''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''r''<sub>2</sub>&nbsp;−&nbsp;1，或者说，O<sub>K</sub>是阶为''r'' = ''r''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''r''<sub>2</sub>&nbsp;−&nbsp;1的有限[[阿贝尔群]]，且其[[扭]]元素由O<sub>×</sub>的所有[[单位根]]组成

===阿廷互反律===
{{main|阿廷互反律}}

===互反律===
*[[二次互反律]]
*[[三次互反律]]
*[[四次互反律]]

===类数公式===
{{main|类数公式}}

==参考文献==
{{refbegin|2}}
* Kenneth Ireland and Michael Rosen, "A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition", Springer-Verlag, 1990
* Ian Stewart and David O. Tall, "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem," A. K. Peters, 2002
*{{Citation| editor-last=Cassels| editor-first=J. W. S.|editor2-last=Fröhlich| editor2-first=Albrecht| title=Algebraic number theory| year=1967| place=London| publisher=Academic Press| mr=0215665 }}
*{{Citation| last=Fröhlich| first=Albrecht |last2=Taylor| first2=Martin J.| title=Algebraic number theory| publisher=Cambridge University Press| year=1993| series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics| volume=27| isbn=0-521-43834-9| mr=1215934}}
*{{Citation| last=Lang| first=Serge |title=Algebraic number theory| edition=2| publisher=Springer-Verlag| year=1994| series=Graduate Texts in Mathematics| volume=110| place=New York| isbn=978-0-387-94225-4| mr=1282723}}
* Jürgen Neukirch, ''Algebraic Number Theory'' (1999), Springer. ISBN 3-5406-5399-6
* Jean-Pierre Serre, ''Cours d'arithmétique'' (1988), PUF. ISBN 2-13-041838-X 
{{refend}}
{{数学领域}}
[[Category:數論|D]]
[[Category:代數數論|*]]
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