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在[[數學]]中，'''代數幾何與解析幾何'''是兩個關係密切的學科。[[代數幾何]]研究[[代數簇]]，在[[复数 (数学)|複數]]域上，同時也能以[[複分析]]及[[微分幾何]]的技術研究代數簇。[[讓-皮埃爾·塞爾]]在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中，則以[[概形]]論的語言重新表述。

==性質的比較==
{{further|概形論術語}}
給定一個 <math>\mathbb{C}</math> 上的局部有限型概形 <math>X</math>，可以考慮相應的複[[解析空間]] <math>X^\mathrm{an}</math>。此對應 <math>X \mapsto X^\mathrm{an}</math> 定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的[[函子]]。對任一 <math>\mathcal{O}_X</math>-模 <math>F</math>，同樣可考慮相應的 <math>\mathcal{O}_{X^\mathrm{an}}</math>-模 <math>F^\mathrm{an}</math>，這也給出相應的函子。可以證明 <math>F \mapsto F^\mathrm{an}</math> 是一個正合、忠實且保守的函子。

論證中用到的關鍵性質是：<math>\mathcal{O}_X</math> 是[[平坦模|平坦]]的 <math>\mathcal{O}_{X^\mathrm{an}}</math>-模。

===拓撲性質比較===
設 <math>T \subset X</math> 為一局部可構子集（即：局部閉集的有限併集），以下 <math>T</math> 的性質在 <math>X</math> 中成立，若且唯若在 <math>X^\mathrm{an}</math> 中成立：
* 開子集
* 閉子集
* 稠密子集

當 <math>X</math> 為有限型態射時，對於 <math>X</math> 及 <math>X^\mathrm{an}</math> 本身，下述性質也是相通的：
* [[連通空間|連通]]
* 不可約

===概形性質比較===
以下性質對 <math>X</math> 成立，若且唯若對 <math>X^\mathrm{an}</math> 成立：
* 非空
* 離散
* [[科恩-麥考利環|科恩-麥考利概形]]
* <math>S_n</math>
* <math>R_n</math>
* 正規
* 既約
* [[Krull維度|維度]]等於 <math>n</math>

===態射性質比較===
設 <math>f: X \to Y</math> 為概形的態射， <math>f^\mathrm{an}: X^\mathrm{an} \to Y^\mathrm{an}</math> 為複解析空間的相應態射，則下述性質對 <math>f</math> 成立若且唯若對 <math>f^\mathrm{an}</math> 成立：
* [[平坦態射|平坦]]
* 非分歧
* [[平展態射|平展]]
* 平滑
* 正規
* 既約
* [[分離態射|分離]]
* 單射（拓撲意義）
* 同構
* 單射（範疇論意義）
* 開浸入

若再要求 <math>f</math> 是有限型態射，則可再加入下述性質：
* 滿射（拓撲意義）
* 優勢態射
* 閉浸入
* 浸入
* 真態射
* 有限態射

===上同調比較===
以下假設 <math>f: X \to Y</math> 是[[真態射]]，對任一個凝聚 <math>\mathcal{O}_X</math>-模 <math>F</math>，有自然同構：
: <math>(R^\bullet f_* F)^\mathrm{an} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} R^\bullet f_*^\mathrm{an} (F^\mathrm{an})</math>

當 <math>Y=\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}</math> 時，遂有層上同調的比較定理：
: <math>H^\bullet(X, F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} H^\bullet(X^\mathrm{an}, F^\mathrm{an})</math>

此時 <math>F \mapsto F^\mathrm{an}</math> 給出範疇的等價。

==黎曼存在性定理==
'''黎曼存在性定理'''則斷言：若 <math>X</math> 是 <math>\mathbb{C}</math>-上的局部有限型概形，且 <math>\mathcal{X}' \to X^\mathrm{an}</math> 是複解析空間的有限平展覆蓋，則存在 <math>\mathbb{C}</math>-概形 <math>X'</math> 及平展態射 <math>X' \to X</math>，使得 <math>X'^\mathrm{an} \sim \mathcal{X}'</math>。此外，函子 <math>X' \mapsto X'^\mathrm{an}</math> 給出從【<math>X</math> 的有限平展覆蓋】到【<math>X^\mathrm{an}</math> 的有限平展覆蓋】的範疇等價。

當 <math>X</math> 為連通時，此定理的一個直接推論是代數[[基本群]]與拓撲基本群的比較定理：
: <math>\widehat{\pi_1(X^\mathrm{an}, x_0)} \sim \pi_1^\mathrm{alg}(X, x_0)</math>

其中 <math>x_0 \in X(\mathbb{C})</math>，而 <math>\widehat{\pi_1(X^\mathrm{an}, x_0)}</math> 表示代數基本群 <math>\pi_1(X^\mathrm{an}, x_0)</math> 對有限指數子群的[[完備化]]。

==文獻==
* J. P. Serre (1956), [http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 "Géométrie algébrique et géométrie analytique."]{{Wayback|url=http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 |date=20160303191652 }} ''Annales de l'Institut Fourier'' '''6''', 1-42.
* Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). ''Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental'' - (SGA 1)  (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4. 

[[Category:代數幾何|D]]
[[Category:复流形]]
[[Category:解析几何|D]]