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'''代數分式'''是指分子及分母都是[[代數式]]的分數，像 <math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math> 及 <math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math>. 都是代數分式。

有理分式是指分子及分母都是[[多項式]]的分式，像<math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math> 為有理分式，但<math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math> 的分子為根式，不是多項式，因此不是有理分式。

== 術語 ==
在代數分式 <math>\tfrac{a}{b}</math>中，被除數稱為分子，除數稱為分母，兩者都是代數分式的項。

若代數分式的分子或分母中包括複數，則稱為複數分式。

簡分式是其分子或分母都不是分式的代數分式，若一個表示式不是以分式的形式表示，則稱為整式，不過只要將分母設為1，即可以將整式表示為代數分式，帶分式指整式和分式的代數和。<span class="cx-segment" data-segmentid="22"></span>

== 有理分式 ==
{{main|有理函數}}
若代理分式的a和b都是[[多項式]]，此分式稱為有理代數分式<ref>{{cite book|author = Bansi Lal|title = Topics in Integral Calculus|page = 53|year = 2006|url = http://books.google.com/books?id=RlQ-tHlWcxcC&pg=PA53&dq=%22rational+algebraic+fraction%22&hl=fr&ei=cyWcTqe1I5CPswaz5oTsAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CC0Q6AEwAA}}</ref>，或簡稱為有理分式<ref>{{cite book|author = Ėrnest Borisovich Vinberg|title = A course in algebra|page = 131|year = 2003|url = http://books.google.com/books?id=rzNq39lvNt0C&pg=PA132&dq=%22rational+fraction%22&hl=fr&ei=JiucTp-qJIj0sgbY2PSfBA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5&ved=0CEIQ6AEwBDgK|access-date = 2015-07-06|archive-date = 2014-07-05|archive-url = https://web.archive.org/web/20140705152748/http://books.google.com/books?id=rzNq39lvNt0C&pg=PA132&dq=%22rational+fraction%22&hl=fr&ei=JiucTp-qJIj0sgbY2PSfBA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5&ved=0CEIQ6AEwBDgK|dead-url = no}}</ref><ref>{{cite book|author = Parmanand Gupta|title = Comprehensive Mathematics XII|page = 739|url = http://books.google.com/books?id=DoqIu7L2Yg8C&pg=PA739&dq=%22rational+fraction%22&hl=fr&ei=gi6cTom4Ic3FtAbQ58CbBA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CDUQ6AEwATgK|access-date = 2015-07-06|archive-date = 2014-06-28|archive-url = https://web.archive.org/web/20140628044535/http://books.google.com/books?id=DoqIu7L2Yg8C&pg=PA739&dq=%22rational+fraction%22&hl=fr&ei=gi6cTom4Ic3FtAbQ58CbBA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CDUQ6AEwATgK|dead-url = no}}</ref>。有理分式也稱為有理表示式或[[有理函數]]。若有理分式 <math>\tfrac{f(x)}{g(x)}</math> 滿足<math>\deg f(x) < \deg g(x)</math>，稱為真分式，否則稱為假分式，像<math>\tfrac{2x}{x^2-1}</math>為真分式，而<math>\tfrac{x^3+x^2+1}{x^2-5x+6}</math> 和 <math>\tfrac{x^2-x+1}{5x^2+3}</math> 是假分式。假分式可以表示為整式（可能是常數）及真分式的和，例如以上提到的假分式可以表示為

:<math>\frac{x^3+x^2+1}{x^2-5x+6} = (x+6) + \frac{24x-35}{x^2-5x+6},</math>

其中第二項為真有理分式，二個真分式的和也會是真分式，有時會將真分式的分母因式分解，再將真分式表示數個真因式，其分母分別為原分母的因式（或因式次方），這稱為[[部分分式分解|部份分式]]，例如以下等號右邊的即為部份分式

:<math>\frac{2x}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}.</math>

因此等號右邊的稱為部份分式，例如真分式[[積分]]時會先進行部分分式分解，再進行積分，稱為[[部分分式积分法]]。

== 無理分式 ==
無理分式是指分式中有變數的幂式為小數<ref>{{cite book|author = Washington McCartney|title = The principles of the differential and integral calculus; and their application to geometry|page = 203|year = 1844|url = http://books.google.com/books?id=o1dLAAAAMAAJ&pg=PA203&dq=%22irrational+fraction%22&hl=fr&ei=HRmcTuX6MoX0sgavm_DqAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CDkQ6AEwAQ}}</ref>，像以下的分式即為無理分式

:<math>\frac{x^\tfrac12 - \tfrac13 a}{x^\tfrac13 - x^\tfrac12}.</math>

將無理分式變為有理分式的過程稱為有理化，每個根式為單項的無理分式可以用以下的方式有理化：找到所有幂次分母的最小公倍數，再將變數用另一變數的幂次取代，使原來的根式都變為新變數的整數幂次，例如在上式中，幂次分母的最小公倍數為6，因此可以令 <math>x = z^6</math> ，得到

:<math>\frac{z^3 - \tfrac13 a}{z^2 - z^3}.</math>

== 腳註 ==
{{Reflist}}

== 參考資料 ==
{{Cite book|last = Brink|first = Raymond W.|title = College Algebra|year = 1951|chapter = IV. Fractions|url = http://books.google.com/books?id=n-EjEuKqk1YC&pg=PR3&dq=%22complex+fraction%22+contains&hl=de&source=gbs_selected_pages&cad=3#v=onepage&q=%22complex%20fraction%22%20contains&f=false}}

{{Fractions and ratios}}

[[Category:初等代数]]
[[Category:分數]]