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{{About|代数簇|“一簇代数”的概念，和其区别的解释|簇 (泛代数)}}
'''代数簇'''、'''代數區體'''<ref>{{cite book|author=張幼賢 等|title=學術名詞編譯系列叢書-數學名詞(第四版)|location=台北市|publisher=國家教育研究院|date=2014 年 12 月|pages=第 466 頁|isbn=9789860440454|url=https://teric.naer.edu.tw/wSite/ct?mp=teric&xItem=1849186&ctNode=645&OWASP_CSRFTOKEN=T1TR-IS9U-NBFL-4OZM-U5FM-JCSD-6T93-QALY|language=zh-tw|access-date=2024-03-12|archive-date=2024-03-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20240312113345/https://teric.naer.edu.tw/wSite/ct?mp=teric&xItem=1849186&ctNode=645&OWASP_CSRFTOKEN=T1TR-IS9U-NBFL-4OZM-U5FM-JCSD-6T93-QALY|dead-url=no}}</ref>，亦作'''代數多樣體'''，是[[代數幾何學]]上[[多项式]]集合的公共零点解的集合。代数簇是经典（某种程度上也是现代）[[代数几何]]的中心研究对象。

術語'''簇'''（variety）取自[[拉丁语族]]中詞源（cognate of word）的概念，有基於“同源”而“變形”之意。

历史上，[[代数基本定理]]建立了代数和几何之间的一个联系，它表明在[[复数 (数学)|复数]]域上的单变量的[[多项式]]由它的根的集合决定，而根集合是内在的几何对象。在此基础上，[[希尔伯特零点定理]]提供了[[多项式|多项式环]]的理想和仿射空间子集的基本对应。利用零点定理和相关结果，我们能够用代数术语捕捉簇的几何概念，也能够用几何来承载[[环论]]中的问题。

==形式定義==

===仿射簇===

令 ''k'' 為[[代數封閉域]]並令<math>\mathbb{A}^n</math>為 ''k'' 上的 ''n'' 維'''仿射空間'''。<math>f \in k[X_1, \ldots, X_n]</math> 藉著代值可以視之為<math>\mathbb{A}^n</math>上的<math>k</math>-值函數。對任何子集<math>S \subset k[X_1, \ldots, X_n]</math>，定義<math>S</math>的零點為<math>\mathbb{A}^n</math>裡使<math>S</math>中所有元素取零值的點：

:<math>Z(S) = \{x \in \mathbb A^n \mid f(x) = 0 </math>对于所有<math> f\in S\}</math>

若存在<math>S</math>使得<math>V \subset \mathbb{A}^n</math>滿足<math>V=Z(S)</math>，則稱之仿射代數集。一個非空代數集<math>V</math>被稱作'''不可約'''，若且唯若它無法被寫成兩個真代數子集的聯集。不可約仿射代數集稱作'''仿射代數簇'''。

藉由將所有代數集定義為[[閉集]]，仿射簇可被賦與一個自然的[[拓撲空間|拓撲結構]]，稱之[[扎里斯基拓撲]]。

給定<math>V \subset \mathbb{A}^n</math>，令<math>I(V)</math>為所有在<math>V</math>上取零值的函數所成的[[理想 (環論)|理想]]：

:<math>I(V) = \{f \in k[x_1,\cdots,x_n] \mid f(x) = 0 \; ,\forall x\in V\}.</math>

對任意仿射代數集<math>V</math>，其'''座標環'''是多項式環對上述理想的商。

仿射簇之間的態射定義為'''多項式映射'''<math>(f_1, \ldots, f_n): \mathbb{A}^m \rightarrow \mathbb{A}^n</math>的限制。

===射影簇===

令<math>\mathbb{P}^n</math>為 <math>k</math> 上的 n 維'''射影空間'''。雖然<math>k[X_0, \ldots, X_n]</math>中的[[齊次多項式]]無法在[[齊次座標]]上取值（因为齐次坐标系实际上是一个等价类），其零點卻可明確地定義。對任意齊次多項式集合 <math>S</math>，定義其零點為

:<math>Z(S) = \{x \in \mathbb P^n \mid f(x) = 0\; , \forall f\in S\}.</math>

若存在<math>S</math>使得<math>V = Z(S)</math>，則稱之'''射影代數集'''。不可約性的定義同前。不可約射影代數集稱作'''射影代數簇'''。

藉著將所有代數集定為閉集，射影簇也賦有扎里斯基拓撲。

給定<math>V \subset \mathbb{P}^n</math>，令<math>I(V)</math>為所有在<math>V</math>上取零的齊次多項式。對任意射影代數集<math>V</math>，其'''齊次座標環'''定義為多項式環對此理想的商，這是一個[[分次環]]。

射影代數集可由一組有限的仿射開集覆蓋。射影簇之間的映射<math>f: X \rightarrow Y</math>被稱作態射，若且唯若存在仿射開覆蓋<math>\bigcup_i V_i = Y</math>及<math>\bigcup_j U_{ij} = f^{-1}(V_i)</math>，使得每個<math>f|_{U_{ij}}: U_{ij} \rightarrow V_i</math>都是多項式映射。

===擬仿射簇與擬射影簇===

一個仿射簇的開子集被稱作'''擬仿射簇'''（例如<math>\mathbb{A}^2 - \{(0,0)\}</math>，可證明它既非射影簇亦非仿射簇）；同理，一個射影簇的開子集被稱作'''擬射影簇'''。其間態射同樣定義作局部上的多項式映射。

擬射影簇同時涵括了仿射簇、擬仿射簇與射影簇，它也是經典代數幾何學的基本範疇。一個擬射影簇容許一組拓撲基，使得其中每個開集都是仿射簇；在此意義下，我們說一個擬射影簇可由仿射簇黏合而來。

==基本結果==

* 仿射代數集<math>V</math>是簇的充要條件是<math>I(V)</math>為[[素理想]]；等價的說法是：<math>V</math>是簇若且唯若其座標環是[[整环]]。
* 每個非空仿射代數集都可以表成代數簇的聯集，使得此分解中的代數簇兩兩不相包含，且此表法唯一。
* 令<math>k[V]</math>表簇<math>V</math>的座標環，<math>V</math>的'''維度'''是<math>k[V]</math>的分式環對<math>k</math>的[[超越次數]]。

==討論與推廣==

上述定義與事實讓我們可以探討經典[[代數幾何]]。如欲更進一步（例如探討非代數封閉域上的代數簇），則需要一些根本的改變。現行的代數簇概念較上述定義複雜，且適用於任何域<math>K</math>：一個'''抽象代數簇'''是<math>K</math>上的有限型分離整概形。

概形可表為有限個仿射概形沿著開集的黏合，而<math>K</math>上的有限型仿射整概形不外就是仿射簇。因此我們可以沿著開集黏合有限多個<math>K</math>上的仿射簇，從而得到抽象代數簇，且無須擔心它是否可嵌入射影空間。這也引起一個問題：我們可能會得到病態的對象，例如將<math>\mathbb{A}^1 \sqcup \mathbb{A}^1</math>沿著<math>\mathbb{A}^1 - \{0\}</math>黏合，遂得到帶有兩個原點的仿射直線；是故要求[[分離概形|分離性]]以排除之。

某些現代學者還去掉定義中的整性，只要求每個仿射開集的座標環有平凡的[[冪零根]]。

上述的簇被稱作''塞爾意義下的簇''，因為[[讓-皮埃爾·塞爾]]的奠基之作''Faisceaux algébriques cohérents''（代數[[凝聚層]]）探討了這類簇。儘管現在已有更抽象的對象作輔助，它們仍然是代數幾何的踏腳石。

另一條推廣的進路是容許可約代數集，所以其座標環不一定是整域；這在技術上只是一小步，更重要的推廣是容許結構層中有冪零元素；冪零元無法被看作座標函數，也不影響拓撲結構。就[[範疇論]]觀點，為了構造有限的[[極限 (範疇論)|射影極限]]（或構造纖維積），就必須容許冪零元。幾何上而言，一個好的映射之纖維仍可能有「無窮小」結構。[[亞歷山大·格羅滕迪克]]的概形論能融貫上述各種推廣，但一般的「概形」仍不如「簇」來得富有幾何直觀。

此外尚有稱作[[代數堆|堆]]與[[代數空間]]的深入推廣。

==參見==
*[[函數域]]
*[[奇點 (幾何)|奇點]]
*[[雙有理幾何]]
*[[阿貝爾簇]]
*[[動形]]
*[[概形]]

==文獻==
*{{cite book
 | author = Robin Hartshorne
 | year = 1997
 | title = Algebraic Geometry
 | publisher = Springer-Verlag
 | id = ISBN 978-0-387-90244-9
}} 
*{{cite book
 | author = David Cox
 | coauthors = John Little, Don O'Shea
 | year = 1997
 | title = Ideals, Varieties, and Algorithms
 | edition = second edition
 | publisher = Springer-Verlag
 | id = ISBN 978-0-387-94680-1
}}
*{{cite book
 | author = David Eisenbud
 | year = 1999
 | title = Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry
 | publisher = Springer-Verlag
 | id = ISBN 978-0-387-94269-8
}} 
*{{cite book
 | author = David Dummit
 | coauthors = Richard Foote
 | year = 2003
 | title = Abstract Algebra
 | edition = third edition
 | publisher = Wiley
 | id = ISBN 978-0-471-43334-7
}}

{{Authority control}}

[[Category:代数几何]]
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