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'''代数基本定理'''（{{lang-en|fundamental theorem of algebra}}）说明，任何一个一元複系数[[多项式方程]]都至少有一个複数[[根 (数学)|根]]。也就是说，[[複數 (數學)|複數]][[体 (数学)|域]]是[[代数封闭域|代数封闭]]的。

有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有n个複数根（重根視為多個根）。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。也就是说，任何一个n次多项式，都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积。

尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。<ref>参见R. Remmert的作品''The fundamental theorem of Algebra''的§1.9。</ref>另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或複系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。

[[卡爾·弗里德里希·高斯|高斯]]一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一[[命题]]的证明方法是去证明其根的[[存在性]]，开创了关于研究存在性命题的新途径。

同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。[[伽罗瓦理論]]指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。

==证明==
所有的证明都包含了一些[[数学分析]]，至少是实数或複数函数的[[连续函数|连续性]]概念。有些证明也用到了[[导数|可微函数]]，甚至是[[解析函数]]。

定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有複数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定複系数多项式''p''(''z'')，以下的多项式
:<math>q(z)=p(z)\overline{p(\overline{z})}</math>
就是一个实系数多项式，如果''z''是''q''(''z'')的根，那么''z''或它的[[共轭複数]]就是''p''(''z'')的根。

许多非代数证明都用到了“增长引理”：当|''z''|足够大时，首系数为1的''n''次多项式函数''p''(''z'')的表现如同''z<sup>n</sup>''。一个更确切的表述是：存在某个正实数''R''，使得当|''z''|&nbsp;&gt;&nbsp;''R''时，就有：

:<math>\tfrac{1}{2}|z^n|<|p(z)|<\tfrac{3}{2}|z^n|</math>

===複分析证明===

====证明一====
寻找一个中心为原点，半径为''r''的闭[[圆盘]]''D''，使得当|''z''|&nbsp;&ge;&nbsp;''r''时，就有|''p''(''z'')|&nbsp;&gt;&nbsp;|''p''(0)|。因此，|''p''(''z'')|在''D''内的最小值（一定存在，因为''D''是[[紧集|紧致]]的），是在''D''的内部的某个点''z''<sub>0</sub>取得，但不能在边界上取得。于是，根据[[最大模原理]]，''p''(''z''<sub>0</sub>)&nbsp;=&nbsp;0。也就是说，''z''<sub>0</sub>是''p''(''z'')的一个零点（根）。

====证明二====
由于在''D''之外，有|''p''(''z'')|&nbsp;&gt;&nbsp;|''p''(0)|，因此在整个複平面上，|''p''(''z'')|的最小值在''z''<sub>0</sub>取得。如果|''p''(''z''<sub>0</sub>)|&nbsp;&gt;&nbsp;0，那么1/''p''在整个複平面上是有界的[[全纯函数]]，这是因为对于每一个複数''z''，都有|1/''p''(''z'')|&nbsp;&le;&nbsp;|1/''p''(''z''<sub>0</sub>)|。利用[[刘维尔定理 (複分析)|刘维尔定理]]（有界的整函数一定是常数），可知1/''p''是常数，因此''p''是常数。于是得出矛盾，所以''p''(''z''<sub>0</sub>)&nbsp;=&nbsp;0。

====证明三====
这个证明用到了[[辐角原理]]。设''R''为足够大的正实数，使得''p''(''z'')的每一个根的绝对值都小于''R''；这个数一定存在，因为''n''次多项式函数最多有''n''个根。对于每一个''r''&nbsp;&gt;&nbsp;''R''，考虑以下的数：

:<math>\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}\,dz,</math>

其中''c''(''r'')是中心为0，半径为''r''的逆时针方向的圆；于是[[辐角原理]]表明，这个数是''p''(''z'')在中心为0、半径为''r''的开圆盘内的零点的数目''N''，由于''r''&nbsp;&gt;&nbsp;''R''，所以它也是''p''(''z'')的零点的总数目。另一方面，''n''/''z''沿着''c''(''r'')的积分除以2&pi;''i''，等于''n''。但这两个数的差为：

:<math>\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}-\frac{n}{z}\,dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{zp'(z)-np(z)}{zp(z)}\,dz.</math>

被积分的有理表达式中的分子，次数最多是''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1，而分母的次数是''n''&nbsp;+&nbsp;1。因此，当''r''趋于+&infin;时，以上的数趋于0。但这个数也等于''N''&nbsp;&minus;&nbsp;''n''，因此有''N''&nbsp;=&nbsp;''n''。

====证明四====
这个证明结合了[[线性代数]]和[[柯西积分定理]]。为了证明每一个''n''&nbsp;>&nbsp;0次複系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个複数[[特征值]]<ref>证明参见[[代數閉域#Fn的每一个自同态都有特征向量|这里]]。</ref>。证明用到了[[反证法]]。

设''A''为大小''n''&nbsp;>&nbsp;0的方块矩阵，并设''I<sub>n</sub>''为相同大小的单位矩阵。假设''A''没有特征值。考虑[[预解]]函数

:<math> R(z)=(zI_n-A)^{-1},\,</math> 

它在複平面上是[[亚纯函数]]，它的值位于矩阵的向量空间内。''A''的特征值正好是''R(z)''的[[极点 (复分析)|极点]]。根据假设，''A''没有特征值，因此函数''R(z)''是[[整函数]]，根据[[柯西积分定理]]可知：

:<math> \int_{c(r)} R(z) dz =0.\,</math>

另一方面，把''R(z)''展开为几何级数，可得：

:<math>R(z)=z^{-1}(I_n-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{z^k}A^k\cdot</math>

这个公式在半径为||''A''||的闭圆盘的外部（''A''的[[算子范数]]）成立。设''r''&nbsp;>&nbsp;||''A''||。那么：

:<math>\int_{c(r)}R(z)dz=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{c(r)}\frac{dz}{z^{k+1}}A^k=2\pi iI_n</math>

（仅当''k''&nbsp;=&nbsp;0时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此''A''一定有一个特征值。

===拓扑学证明===
设''z''<sub>0</sub>&nbsp;&isin;&nbsp;'''C'''为使|''p''(''z'')|在''z''<sub>0</sub>取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把''p''(''z'')写成''z''&nbsp;&minus;&nbsp;''z''<sub>0</sub>的多项式：存在某个自然数''k''和一些複数''c<sub>k</sub>''、''c''<sub>''k''&nbsp;+&nbsp;1</sub>、&hellip;、''c<sub>n</sub>''，使得''c<sub>k</sub>''&nbsp;&ne;&nbsp;0，以及：

:<math>p(z)=p(z_0)+c_k(z-z_0)^k+c_{k+1}(z-z_0)^{k+1}+ \cdots +c_n(z-z_0)^n</math>.

可推出如果''a''是(''p''(''z'')-''p''(''z''<sub>0</sub>))/''c<sub>k</sub>''的一个''k''重根，且''t''是足够小的正数，那么|''p''(''z''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''ta'')|&nbsp;&lt;&nbsp;|''p''(''z''<sub>0</sub>)|，这是不可能的，因为|''p''(''z''<sub>0</sub>)|是|''p''|在''D''内的最小值。

对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设''p''(''z'')没有根。选择一个足够大的正数''R''，使得对于|''z''|&nbsp;=&nbsp;''R''，''p''(''z'')的第一项''z<sup>n</sup>''大于所有其它的项的和；也就是说，|''z''|<sup>''n''</sup>&nbsp;&gt;&nbsp;|''a''<sub>''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1</sub>''z''<sup>''n''&nbsp;&minus;1</sup>&nbsp;+&nbsp;&middot;&middot;&middot;&nbsp;+&nbsp;''a''<sub>0</sub>|。当''z''依逆时针方向绕过方程为|''z''|&nbsp;=&nbsp;''R''的圆一次时，''p''(''z'')，像''z<sup>n</sup>''那样，依逆时针方向绕过零''n''次。在另外一个极端，|''z''|&nbsp;=&nbsp;0时，“曲线” ''p''(''z'')仅仅是一个（非零的）点''p''(0)，它的[[卷绕数]]显然是0。如果''z''所经过的回路在这两个极端中被[[同伦|连续变形]]，那么''p''(''z'')的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为<math>H(Re^{i\theta},t)=p((1-t)Re^{i\theta})</math>，其中''t''大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量''t''视为时间，那么在时间为零时，曲线为''p(z)''，时间为1时，曲线为''p(0)''。显然在每一个点''t''，根据原先的假设''p(z)''都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是''n''，结束时是0，因此得出矛盾。所以，''p''(''z'')至少有一个根。

===代数证明===
这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数在<math>\mathbb{R}</math>上有实平方根，以及任何奇次多项式在<math>\mathbb{R}</math>上有一个根（这可以用[[介值定理]]证明）。

首先<math>\mathbb{C}=\mathbb{R}[x]/(x^2+1)=\mathbb{R}(i)</math>。经过简单的计算可以证明<math>\mathbb{C}</math>在开平方运算下是封闭的（利用事实1）。结合<math>char\mathbb{C}=0\neq2</math>。得出<math>\mathbb{C}</math>不存在二阶扩张。

由于<math>char\mathbb{R}=0</math>，于是任何<math>\mathbb{R}</math>的扩张都是[[可分扩张|可分]]的，从而任何<math>\mathbb{R}</math>的[[代数扩张]]都可以被包含在一个[[伽罗瓦扩张]]内。假设<math>K/\mathbb{R}</math>、<math>K/\mathbb{C}</math>都是伽罗瓦扩张。考虑[[伽罗瓦群]]<math>G=Gal(K/\mathbb{R})</math>的[[西罗定理|西罗]]2-子群''H''。那么<math>[K^H:\mathbb{R}]</math>是奇数。由[[本原元定理]]得出，''K<sup>H</sup>''存在本原元<math>\alpha</math>，它的[[极小多项式]]是奇次的。但是利用实数集的事实2，任何奇次数多项式在实数上有一个根，不存在奇數次且次數>1的不可分多項式。於是<math>H=G,K^H=\mathbb{R},[K:\mathbb{R}]</math>是2的幂次。

假设<math>[K:\mathbb{C}]=2^r</math>并且''r>0''，再次利用西罗定理，''G''存在一个阶为''2<sup>r-1</sup>''的子群''N''。这时<math>[K^N:\mathbb{C}]=2</math>。这和先前<math>\mathbb{C}</math>不存在二阶扩张矛盾。因此<math>\mathbb{C}</math>的任何代数扩张都是<math>\mathbb{C}</math>本身，代数基本定理得证。

==推论==
由于代数基本定理可以视为複数域是[[代数封闭域|代数封闭]]的，可推出任何关于代数封闭域的定理在複数域都是适用的。这个定理有一些推论，要么是关于实数域的，要么是关于实数域与複数域之间的关系的：

* 複数域是实数域的[[代数闭包]]。

* 每一个一元实系数多项式都可以表示为常数、''x''&nbsp;+&nbsp;''a''形式的多项式（''a''为实数），以及''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''ax''&nbsp;+&nbsp;''b''形式的多项式（''a''和''b''为实数，''a''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;4''b''&nbsp;&lt;&nbsp;0）的乘积。

* 每一个一元实系数[[有理函数]]都可以写成''a''/(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''b'')<sup>''n''</sup>形式的有理函数（其中''n''是自然数，''a''和''b''是实数），与(''ax''&nbsp;+&nbsp;''b'')/(''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''cx''&nbsp;+&nbsp;''d'')<sup>''n''</sup>形式的有理函数（其中''n''是自然数，''a''、''b''、''c''和''d''是实数，''c''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;4''d''&nbsp;&lt;&nbsp;0）的和。由此可以推出，任何一个一元实系数有理函数都有一个[[初等函数|初等]]的[[原函数]]。

* 实数域的任何一个[[代数扩张]]要么与实数域[[同构]]，要么与複数域同构。

==韦达公式==
[[韦达公式]]把多项式的系数<math>\lbrace a_k \rbrace</math>与它的根<math>\lbrace x_k \rbrace</math>的和与积联系起来。
 
这可以直接从以下等式的展开式推出：
<math>a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 = a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)</math>

==注释==

{{reflist}}

==参考文献==

===历史上的文献===

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* {{Citation|last = Gauss|first = Carl Friedrich（卡爾·弗里德里希·高斯）|author-link = 卡爾·弗里德里希·高斯|year = 1799|title = Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse|place = [[黑尔姆施泰特]]|publisher = C.&nbsp;G.&nbsp;Fleckeisen}}

* [[卡爾·弗里德里希·高斯]], “[http://www.paultaylor.eu/misc/gauss-web.php Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree]{{Wayback|url=http://www.paultaylor.eu/misc/gauss-web.php |date=20170501014123 }}”, 1815

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===现代作品===

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==外部链接==

* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/fundamental2.shtml 代数基本定理]{{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/fundamental2.shtml |date=20201127013844 }}；含有许多证明
* [https://web.archive.org/web/20151120071012/http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/FunTheoremAlgebraMod.html John H. Mathews所作的代数基本定理教程]
* [https://web.archive.org/web/20150928231011/http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/FunTheoremAlgebraBib/Links/FunTheoremAlgebraBib_lnk_2.html 代数基本定理的文献目录]

{{基本定理}}

[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:域論]]
[[Category:多项式定理]]
[[Category:复分析定理]]