查看“︁介值定理”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math|1=zh-cn:介值定理;zh-tw:中間值定理;}}
{{distinguish|中值定理}}
{{微積分學}}
在[[数学分析]]中，'''介值定理'''（{{lang-en|intermediate value theorem}}，又稱'''-{zh-cn:中间值定理;zh-hk:中間值定理;zh-tw:介值定理;}-'''）描述了[[連續函數]]在兩點之間的連續性：
:假設 <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> 為一連續函數。若一實數 <math>u</math> 滿足 <math>(f(a)-u)(f(b)-u)\le0</math>，則存在一實數 <math>c \in [a,b]</math> 使得 <math>f(c)=u</math>。

介值定理首先由[[伯纳德·波尔查诺]]在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了[[波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理]]。

== 定理 ==
[[File:Intermediatevaluetheorem.svg|thumb|280px|介值定理圖解]]
=== 定理敘述 ===
{{math theorem 
  | 設 <math>a < b</math>，且 <math>f \colon [a,b] \to \mathbb{R}</math> 為一連續函數。則下列敘述成立：
* 對任意滿足 <math>(f(a)-u)(f(b)-u)<0</math> 的實數 <math>u</math>，皆存在一實數 <math>c \in (a,b)</math> 使得 <math>f(c)=u</math>。
* <math>f</math> 的[[值域]]為一閉區間。
  | name = 中間值定理
}}

=== 证明 ===
先证明第一种情况 <math>f(a)<u<f(b)</math>；第二种情况也类似。<math></math>

设 <math>S</math> 为所有滿足 <math>f(x) \leq u</math> 的 <math>x \in [a, b]</math> 所構成的集合。由 <math>a \in S</math> 可知 <math>S</math> 非空。由於 <math>S</math> 具有上界 <math>b</math>，故由实数的[[完备空间|完备性]]知 <math>S</math> 有[[最小上界]] <math>c = \sup S</math>。我们以反证法证明 <math>f(c)=u</math>。

* 首先假设 <math>f(c)>u</math>。由於 <math>f</math> 连续，我們能找到正实数 <math>\delta</math> 使得 <math>\left| f(x)-f(c) \right|< f(c)-u</math> 對所有 <math>x \in (c-\delta,c+\delta)</math> 均成立。由於 <math>c = \sup S</math>，故存在滿足 <math>c - \delta < y \leq c</math> 的 <math>y \in S</math>；此時 <math>\mathopen| y - c \mathclose| < \delta</math>，故 <math>f(y) - f(c) > -(f(c) - u)</math>，即 <math>f(y) > u</math>，與 <math>y \in S</math> 矛盾。故原假設 <math>f(c)>u</math> 不成立。
* 接著假设 <math>f(c)<u</math>。由於 <math>f</math> 连续，我們能找到正实数 <math>\delta</math> 使得 <math>\left| f(x)-f(c) \right|< u-f(c)</math> 對所有 <math>x \in (c-\delta,c+\delta)</math> 均成立。設 <math>y = c + \delta/2</math>；此時 <math>f(y) - f(c) < u - f(c)</math>，即 <math>f(y) < u</math>，故 <math>y \in S</math>。這會導致 <math>c</math> 不是 <math>S</math> 的上界，矛盾。故原假設 <math>f(c)<u</math> 不成立。

因此<math>f(c)=u</math>。

==與實數完備性的關係==
此定理仰賴於[[實數]]完備性，它對[[有理數]]不成立。例如函數<math>f(x) = x^2 - 2</math>滿足<math>f(0)=-2, f(2)=2</math>，但不存在滿足<math>f(x)=0</math>的有理數<math>x</math>。

== 零点定理（波尔查诺定理）==
零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根：
:设函数<math>f(x)</math>在闭区间<math>[a,b]</math>上连续，且<math>f(a) \cdot f(b) < 0</math>，则必存在<math>\xi \in (a,b)</math>使<math>f(\xi)=0</math>成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為'''勘根定理'''。[[伯纳德·波尔查诺]]於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。<ref>{{cite mathworld|title=Bolzano's Theorem |urlname=BolzanosTheorem}}</ref> 

== 现实世界中的意义 ==
介值定理意味着在地球的任何[[大圆]]上，[[温度]]、[[压强]]、[[海拔]]、[[二氧化碳]]的[[浓度]]（或其他任何连续变化的变量），总存在两个[[对蹠点]]，在这两个点上该变量的值是相同的。

''证明：''取''f''为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点''A''和点''B''。设''d''为''f''(''A'') &minus; ''f''(''B'')的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值&minus;''d''。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得''d'' = 0，在这个角度上便有''f''(''A'') = ''f''(''B'')。

这是一个更加一般的结果——[[博苏克-乌拉姆定理]]的特殊情况。

== 参见 ==
* [[中值定理]]
* [[极值定理]]
* [[達布定理]]

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
* {{tsl|en|cut-the-knot||cut-the-knot}}上的[http://www.cut-the-knot.org/Generalization/ivt.shtml 介值定理-波尔查诺定理]{{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Generalization/ivt.shtml |date=20201023021556 }}
* {{MathWorld |title=Intermediate Value Theorem |urlname=IntermediateValueTheorem}}

[[Category:连续映射]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:微積分定理]]
[[Category:实分析定理]]