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在[[数学]]中，'''亨斯托克-考兹维尔积分'''（{{lang-en|Henstock–Kurzweil integral}}，也称为'''卢津积分'''、 '''佩龙积分'''，有时为了和广义当茹瓦积分区别而称为'''当茹瓦积分'''）是[[黎曼积分]]的一种推广，有些情况下比[[勒贝格积分]]更加宽泛。

亨斯托克-考兹维尔积分最早是由二十世纪初[[法国]][[数学家]]{{le|阿尔诺·当茹瓦|Arnaud Denjoy}}引进的。当茹瓦在研究形似：

:<math>f(x)=\frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x^3}\right).</math>

的函数的时候，希望能够为它们定义积分。这种函数往往在某一点附近无法定义黎曼积分，但是用类似极限定义的 {{math|ε {{minus}} δ}} 方法又能够定义出类似黎曼积分的极限。

为了给这类函数定义积分，当茹瓦将黎曼不可积的点分为若干种情形，分别用[[超限归纳法]]来定义积分。这样的定义繁复冗长。 [[尼古拉·卢津]]使用类似[[绝对连续]]的方式给出了另一种等价定义；[[奥斯卡·佩龙]]也给出了一种等价的定义，但这个等价关系并不显然。

1957年，[[捷克]]数学家{{le|雅罗斯拉夫·考兹维尔|Jaroslav Kurzweil}}给出了一种比较优雅的定义，和黎曼积分的定义比较相似。考兹维尔称之为“刻度积分”（Gauge Integral）。而{{le|拉尔夫·亨斯托克|Ralph Henstock}}则发展并完善了这种积分理论。基于这两位数学家的贡献，现今一般将这种积分称为'''亨斯托克-考兹维尔积分'''。由于考兹维尔的定义和黎曼积分的定义同样简洁，有的数学教育者认为可以在教学中用亨斯托克-考兹维尔积分代替黎曼积分，但这个主张并未被广泛采纳。

==定义==
这里只给出亨斯托克的定义：
===区间分割与刻度===
给定一个取样分割{{math|P}}：<math>a = u_0 < u_1 < \cdots < u_n = b, \ \ t_i \in [u_{i-1}, u_i]</math>和一个正函数<math>\delta \colon [a, b] \to (0, \infty)\,</math>（所谓的“刻度”），如果
::<math>\forall i, \, \ \ t_i-\delta(t_i)< u_{i-1} \leq t_i \leq u_i < t_i + \delta (t_i). </math> 
就称这个分割是一个δ-精细分割。<ref name="brg">{{cite book | first = Robert G. |last= Bartle | title = A Modern Theory of Integration | series = Graduate Studies in Mathematics |volume = 32 |publisher=American Mathematical Society | year=2001 | isbn=978-0-8218-0845-0 | language = en}}</ref>

===黎曼和===
对一个在闭区间<math>[a,b]</math>有定义的实值函数<math>f</math>，<math>f</math>关于取样分割{{math|P}}：<math>x_0,\ldots,x_n</math> 、<math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math>的'''黎曼和'''定义为以下和式：

:<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i)</math>

和式中的每一项是子区间长度<math>x_{i+1}-x_i</math>与在<math>t_i</math>处的函数值<math>f(t_i)</math>的乘积。直观地说，就是以标记点<math>t_i</math>上的函数值<math>f(t_i)</math>到X轴的[[距离]]为高，以分割的子区间为长的[[矩形]]的面积。<ref name="brg"/>

===亨斯托克-考兹维尔积分===
<math>S</math>是函数<math>f</math>在闭区间<math>[a,b]</math>上的亨斯托克-考兹维尔积分，当且仅当对于任意的<math>\epsilon > 0</math>，都存在刻度函数<math>\delta</math>，使得对于任意的取样分割{{math|P}}：<math>x_0,\ldots,x_n</math>、<math>t_0,\ldots,t_{n-1}</math>，只要{{math|P}}是δ-精细分割，就有：
:<math>\left|\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) - S \right| < \epsilon.\,</math><ref name="brg"/>

从定义中可以看出，亨斯托克-考兹维尔积分比黎曼积分更加注重区间上的取样。黎曼积分中，只将分割的小区间的最大长度作为精细度的标准。亨斯托克-考兹维尔积分的定义中引入“刻度”函数，并将取样值和刻度函数联系起来，定义分割的精细程度。如果将刻度函数δ设定为常值函数，那么亨斯托克-考兹维尔积分就退化为黎曼积分。<ref name="brg"/>

===δ-精细分割的存在性===
如果对某些刻度函数δ，δ-精细分割不存在，那么定义中“只要{{math|P}}是δ-精细分割，就有”一句就会变成一个[[前件]]全真的判断，从而失去应有的意义。{{le|Cousin定理|Cousin's theorem}}说明，对任意的刻度函数δ，必定存在δ-精细分割，杜绝了亨斯托克-考兹维尔积分定义逻辑上可能存在的瑕疵<ref name="brg"/>。

===积分的唯一性===
为了能够良好地定义积分，亨斯托克-考兹维尔积分的定义中的S必须是唯一存在的，同一个函数在同一个区间上不能有两个不同的积分值。可以证明，亨斯托克-考兹维尔积分如果存在就必定是唯一的。这说明亨斯托克-考兹维尔积分是良好定义的。<ref name="brg"/>

==参见==
*[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分]]
*[[广义积分]]
*[[勒贝格积分]]

==参考来源==
{{reflist}}

[[Category:积分的定义]]