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[[File:Teltron-Diffraction-Tube-with-Helmholtz-Coils-and-Stand.jpg|thumb|250px|一座裝配了亥姆霍茲線圈的物理儀器。]]
[[File:Helmholtz coils 650px.png|thumb|250px|亥姆霍茲線圈示意圖。]]
'''亥姆霍茲線圈'''（{{lang|en|Helmholtz coil}}）是一種製造小範圍區域均勻[[磁場]]的器件。由於亥姆霍茲線圈具有開敞性質，很容易地可以將其它儀器置入或移出，也可以直接做視覺觀察，所以，是物理實驗常使用的器件。因德國物理學者[[赫爾曼·馮·亥姆霍茲]]而命名。

==簡介==
亥姆霍茲線圈是由一對完全相同的圓形[[導體]]線圈組成。採用[[直角坐標系]]，這兩個半徑為<math>R</math>的圓形線圈的中心軸都與z-軸同軸。兩個圓形線圈的z-坐標分別為<math>h/2</math>與<math>-h/2</math>。每一個導體線圈載有同向[[電流]]<math>I</math>。

設定<math>h=R</math>可以使得在兩個線圈中心位置O（即[[原點]]）的磁場，其不均勻程度極小化。這動作促使<math>\partial^{2}B/\partial z^{2} = 0</math>，也意味著領先的非零微分項目是<math>\partial^{4}B/\partial z^{4}</math>，稍後會對這論點做更詳細解釋。<ref>{{Cite web |url=http://www.purcellsolutions.com/2011/06/purcell-physics-problem-6-13-solution.html |title=亥姆霍茲線圈內部磁場分析 |accessdate=2011-07-25 |archive-date=2012-03-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120324232135/http://www.purcellsolutions.com/2011/06/purcell-physics-problem-6-13-solution.html |dead-url=no }}</ref>但是，這樣做仍舊會在線圈平面跟z-軸相交處與O點之間遺留大約7%磁場數值的差別。

在某些应用中，亥姆霍茲線圈可以用來抵消[[地磁場]]，製造出接近零磁場的區域。<ref>[http://www.circuitcellar.com/library/print/0606/Wotiz191/5.htm ''地磁場磁力儀：亥姆霍茲線圈"] {{Webarchive|url=https://archive.today/20070628051159/http://www.circuitcellar.com/library/print/0606/Wotiz191/5.htm |date=2007-06-28 }} by Richard Wotiz 2004</ref>

==數學描述==
[[File:Helmholtz coil magnetic field lines.svg|thumb|250px|在亥姆霍茲線圈的二等分面的磁場線。注意到在兩個線圈之間的磁場近似均勻（在這電腦繪圖裏，線圈的中心軸是縱向的）。]]
[[File:Helmholtz zfield.png|thumb|250px|沿著線圈中心軸（z-軸）的磁場。與兩個線圈同距離的中心位置的z-坐標為0。]]
[[File: B mag.helmholtz.contour.png|thumb|250px|等值線圖顯示出在亥姆霍茲線圈的磁場的數值大小。在中央的[[章魚]]區域內，磁場數值與中心位置的磁場數值<math>B_0</math>相差不超過1%。五條等值線的磁場數值分別為<math>0.5 B_0</math>、<math>0.8 B_0</math>、<math>0.9 B_0</math>、<math>0.95 B_0</math>、<math>0.99B_0</math>。]]
關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到[[貝索函數]]或[[橢圓函數]]與其相關技巧。沿著線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用[[泰勒展開]]，將磁場展開為<math>z</math>的[[冪級數]]。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離<math>h</math>，可以使得O點成為[[拐點]]，則可以保證<math>z^2</math>級項目為零，因此領先不均勻項目是<math>z^4</math>級項目。

在中心位置O點，磁場為
:<math> B = {\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2} \frac{\mu_0 n I}{R}</math>；

其中，<math>\mu_0</math>是[[磁常數]]。

===推導===
採用直角坐標系，設定單匝線圈的中心軸為z-軸，線圈平面與z-軸相交處為原點，則在z-軸的磁場以方程式表示為<ref>[[喬治亞州州立大學]]（{{lang|en|Georgia State University}}）線上物理網頁：{{Cite web
  | title = Field on Axis of Current Loop
  | url = http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/magnetic/curloo.html#c3
  | accessdate = 2011-07-25
  | archive-date = 2018-10-17
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20181017112855/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/curloo.html#c3
  | dead-url = no
  }}</ref>（這方程式可以從[[必歐-沙伐定律]]推導出來）
:<math> B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}</math>；

其中，<math> B</math>是磁場數值大小，<math>\mu_0</math>是磁常數，<math>I</math>是電流，<math>R</math>是線圈半徑，<math>z</math>是檢驗位置的z-坐標。

對於<math>n</math>匝線圈，磁場為
:<math> B = \frac{\mu_0 n I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}</math>。

現在改變系統為亥姆霍茲線圈，其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為<math>R/2</math>，注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈，所以，總磁場為
:<math> B = \frac{2\mu_0 n I R^2}{2(R^2+(R/2)^2)^{3/2}} = {\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2} \frac{\mu_0 n I}{R}</math>。

===進階推導===
更詳細地計算，沿著z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加：<ref name=Jackson1999>{{citation|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|pages=pp. 226-227|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>
:<math> \mathbf{B} =\frac{\mu_0 I R^2}{2} \left\{\left[R^2+(z-h/2)^2\right]^{-3/2}
+\left[R^2+(z+h/2)^2\right]^{-3/2}\right\}\hat{\mathbf{z}}</math>。

在原點附近的磁場，經過一番運算，可以[[泰勒展開]]成<math>z</math>的[[冪級數]]：
:<math> \mathbf{B} =\frac{\mu_0 I R^2}{d^3}\left[1+\frac{3(h^2-R^2)z^2}{2d^4}+\frac{15(h^4-6h^2R^2+2R^4)z^4}{16d^8}+\dots\right]\hat{\mathbf{z}}</math>；

其中，<math>d=\sqrt{R^2+h^2/4}</math>。

現在設定<math>h=R</math>，則<math>z^2</math>項目為零，在原點附近的磁場更加均勻：
:<math> \mathbf{B} ={\left ( \frac{4}{5} \right )}^{3/2}  \frac{\mu_0 I}{R}\left[1-\frac{144}{125}\ \left(\frac{z}{R}\right)^4+\dots\right]\hat{\mathbf{z}}</math>。

磁場不均勻率與<math>z</math>的關係式為
:<math> \frac{\Delta B_z}{B_z}\approx -\frac{144}{125}\ \left(\frac{z}{R}\right)^4</math>。

在<math>z=\pm R/2</math>，線圈平面與z-軸相交處，磁場數值的差別為
:<math> \frac{\Delta B_z}{B_z}\approx -\frac{144}{125}\ \left(\frac{1}{2}\right)^4\approx -7\%</math>。

==參閱==
*[[麦克斯韦线圈]]（{{lang|en|Maxwell coils}}）
*{{le|亥姆霍茲共鳴|Helmholtz resonance}}
*[[螺線管]]
*[[磁振造影]]

==參考文獻==
{{reflist|2}}

==外部連結==
{{Commonscat|Helmholtz coils}}
* ''[http://demonstrations.wolfram.com/HelmholtzCoilFields/ Helmholtz-Coil Fields] {{Wayback|url=http://demonstrations.wolfram.com/HelmholtzCoilFields/ |date=20201020011914 }}'' by Franz Kraft, The Wolfram Demonstrations Project.
*[[加州大學洛杉磯分校]]的高中電漿實驗室網頁：[http://plasmalab.pbwiki.com/f/bfield.pdf 單獨載流迴圈的磁場精確解] {{Wayback|url=http://plasmalab.pbwiki.com/f/bfield.pdf |date=20090226225631 }}。

{{DEFAULTSORT:H}} 
[[Category:电磁线圈]]
[[Category:磁器件]]