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[[Image:Helmholtz source.png|right|thumb|平面内的两个辐射源，用数学函数 ''&fnof;'' 给出，蓝色区域函数值为零。]]
[[Image:Helmholtz solution.png|right|thumb|所产生的场 ''A'' 的[[复数 (数学)|实部]]，''A'' 为非齐次解亥姆霍兹方程 <math>(\nabla^2 + k^2) A = -f</math> 的解。]]
'''亥姆霍兹方程'''（{{lang-en|'''Helmholtz equation'''}}）以德国物理学家[[赫尔曼·冯·亥姆霍兹]]的名字命名，表示拉普拉斯算子的特征值问题，其基本形式如下：

:<math>(\nabla^2 + k^2)f = 0</math>
其中 ''<math>\nabla^2</math>'' 是[[拉普拉斯算子]]，''<math>k</math>'' 是[[波数]]，''<math>f</math>'' 是[[特征函数]]。

在光学中，亥姆霍兹方程是一个描述[[电磁波]]的[[椭圆偏微分方程]]；在量子力学中，亥姆霍兹方程应用于描述波函数的传播和干涉。

== 动机和用途 ==
亥姆霍兹方程通常出现在涉及同时存在空间和时间依赖的[[偏微分方程]]的物理问题的研究中，例如[[波动方程]]或[[薛定谔方程]]。

考虑波动方程：
:<math>\left(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t}^2}\right)u(\mathbf{r},t)=0.</math>

假定 ''<math>u(\mathbf{r},t)</math>'' 可分离变量，可得：
:<math>u(\mathbf{r},t)=A (\mathbf{r}) T(t).</math>

将此形式代入波动方程，化简得到下列方程：
:<math>{\nabla^2 A \over A } = {1 \over c^2 T } { d^2 T \over d t^2  }.</math>

注意左边的表达式只取决于 '''r'''，而右边的表达式只取决于 ''t''。其结果是，当且仅当等式两边都等于恒定值时，该方程在一般情况下成立。从这一观察中，可以得到两个方程：
:<math>\begin{array}{lcl}
{\nabla^2 A \over A } &= -k^2 \\
{1 \over c^2 T } { d^2 T \over dt^2  } &= -k^2
\end{array} </math>
在不失一般性的情况下，选择 −''k''<sup>2</sup> 这个表达式作为这个常值。（使用任何常数 ''k'' 作为分离常数都同样有效；选择 −''k''<sup>2</sup> 只是为了求解方便。）

调整第一个方程，可以得到亥姆霍兹方程：
:<math>\nabla^2 A + k^2 A  =  ( \nabla^2 + k^2)  A  =  0.  </math>

同样，在用<math display="inline"> \omega  \stackrel{\mathrm{def}}{=}  kc </math>进行代换之后，第二个方程成为
:<math>\frac{d^2{T}}{d{t}^2} + \omega^2T  =  \left( { d^2 \over dt^2 } + \omega^2 \right) T  =  0,</math>
其中 ''k'' 是波数，''&omega;'' 是角频率。注意到现在有了空间变量<math>\boldsymbol{x}</math>的亥姆霍兹方程和一个二阶时间[[常微分方程]]。时间解是一个[[正弦]]和[[余弦]]函数的[[线性组合]]，而空间解的形式依赖于具体问题的[[边界条件]]。经常可以使用[[拉普拉斯变换]]或者[[傅立叶变换]]这样的[[积分变换]]将双曲的偏微分方程转化为亥姆霍兹方程的形式。

因为它和波动方程的关系，亥姆霍兹方程在物理学中[[电磁辐射]]、[[地震学]]和[[声学]]等相关研究领域里有着广泛应用。

== 分离变量法求解 ==

=== 一维亥姆霍兹方程 ===
<math>\left[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}+k^2\right]\psi=0</math>

假设<math>e^{ar}</math>为方程的解，代入上式可得特征方程：

<math>a^2+k^2=0</math>

解得<math>a=\pm ik</math>，则方程的通解为：

<math>\psi(r)=C_1e^{-ikr}+C_2e^{ikr}</math>

=== 三维亥姆霍兹方程 ===
球坐标中的[[拉普拉斯算子]]可以表示为：

<math>\nabla^2 = \nabla^2_r + \frac{\nabla^2_{\Omega}}{r^2} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2},</math>

则可以得到：

<math>(r^2\nabla^2_r + k^2 r^2-\nabla^2_\Omega)\psi =0. </math>

令 <math>\psi(\mathbf{r}) = R(r)Y(\hat\mathbf{r})</math>， 则分离后的角向方程和径向方程分别为：

<math>\begin{array}{lcl}
\nabla^2_\Omega Y(\hat\mathbf{r}) = -l(l+1)Y(\hat\mathbf{r}), \\ 
\left[r^2\nabla^2_r + k^2 r^2 - l(l+1)\right]R(r) = 0.
\end{array}</math>

上式的解为[[球谐函数]]，下式可转化为球贝塞尔方程进行求解，则三维亥姆霍兹的通解可表示为：

<math>\psi(r, \theta, \phi) = \sum_{l,m} [A_{l,m} j_l(kr) + B_{l,m} y_l(kr)] Y_{l,m}(\theta, \phi) .</math>

考虑物理意义，当<math>r\to0</math>时，<math>y_l(kr)</math>存在奇点，因此可得<math>B_{l,m}=0</math>，即：

<math>\psi(r, \theta, \phi) = \sum_{l,m} A_{l,m} j_l(kr)Y_{l,m}(\theta, \phi) .</math>

上式也可表达为平面波的形式。

==参阅==
*[[基爾霍夫積分定理|基尔霍夫积分定理]]

==参考文献==
* {{cite book|author=Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J.|year=2002|title=''Mathematical methods for physics and engineering''|publisher=Cambridge University Press|pages=ch. 19|isbn=0-521-89067-5}}

==外部链接==
* http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde303.pdf{{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde303.pdf |date=20050525192512 }}

[[Category:振动和波]]

[[Category:方程]]
[[Category:椭圆型偏微分方程]]