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{{NoteTA|G1=Math}}
{{Groups}}
[[数学]]中，'''交错群'''（{{lang|en|alternating group}}）是一个[[有限集合]][[偶置换]]之[[群]]。集合 <math>\{1, \cdots, n\}</math>上的交错群称为 <math>n</math>阶交错群，或 <math>n</math> 个字母上的交错群，记做 <math>A_n</math>或 <math>\mathrm{Alt}(n)</math>。

例如，4 阶交错群是 <math>A_4 = \{e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}</math> （参见[[置換|轮换记法]]）。

== 基本性质 ==

对 <math>n > 1</math>，群<math>A_n</math>是[[对称群]] <math>S_n</math>的[[交换子群]]，[[子群的指数|指数]]为 2，从而有<math>\frac{n!}{2}</math>个元素。它是[[置换的奇偶性|符号]][[群同态]] <math>\sgn : S_n \to \{1,-1\}</math>的[[核 (代数)|核]]。

群 <math>A_n</math> 是[[阿贝尔群|阿贝尔]]的[[当且仅当]] <math>n \le 3</math>，是[[单群]]当且仅当 <math>n = 3</math> 或 <math>n \ge 5</math>。注意 <math>A_3</math> 事实上是 3 阶单群。<math>A_1</math>与 <math>A_2</math> 是 1 阶群，一般不称为单群的，而 <math>A_4</math> 有一个非平凡正规子群从而不是单群。<math>A_5</math>是最小非阿贝尔单群，阶数为 60，也是最小不[[可解群]]。

== 共轭类 ==
在[[对称群]]中，<math>A_n</math> 的共轭类由有相同[[轮换分解|轮换型]]的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成，这里长为 1 的轮换包含在轮换型中，则对这样的轮换型恰有两个共轭类 {{harv|Scott|1987|loc=&sect;11.1, p299}}。

例如：
* 两个[[置换]] (123) 与 (132) 有相同的轮换型从而在 S<sub>3</sub> 中共轭，但在 A<sub>3</sub> 中不共轭。
* 置换 (123)(45678) 与其逆 (132)(48765) 有相同的轮换型所以在 S<sub>8</sub> 中共轭，但在 A<sub>8</sub> 中不共轭。

== 自同构群 ==
{{details|对称群和交错群的自同构}}
{| align="right" cellspacing="2"
|----- bgcolor="#A0E0A0"
| <math>n</math>
| <math>\mbox{Aut}(A_n)</math>
| <math>\mbox{Out}(A_n)</math>
|-----
| <math>n\geq 4, n\neq 6</math>
| <math>S_n\,</math>
| <math>C_2\,</math>
|-----
| <math>n=1,2\,</math>
| <math>1\,</math>
| <math>1\,</math>
|-----
| <math>n=3\,</math>
| <math>C_2\,</math>
| <math>C_2\,</math>
|-----
| <math>n=6\,</math>
| <math>S_6 \rtimes C_2</math>
| <math>V=C_2 \times C_2</math>
|}

对 ''n'' > 3，除了 ''n'' = 6，''A''<sub>''n''</sub> 的自同构群就是 S<sub>''n''</sub> 的自同构群，其[[内自同构群]]为 ''A''<sub>''n''</sub> [[外自同构群]]为 '''Z'''<sub>2</sub>；外自同构来自用一个奇置换共轭。

对 ''n'' = 1 与 2，自同构群平凡。对 ''n'' = 3  自同构群是 '''Z'''<sub>2</sub>，其内自同构群平凡外自同构群为 '''Z'''<sub>2</sub>。

''A''<sub>6</sub> 的外自同构群是[[克莱因四元群]] ''V'' = '''Z'''<sub>2</sub> &times; '''Z'''<sub>2</sub>，这也是 [[对称群#自同构群|''S''<sub>6</sub> 的自同构群]]。 ''A''<sub>6</sub> 另外的自同构将三轮换（比如 (123)）与 3<sup>2</sup> 型元素（比如 (123)(456)）交换。

== 特殊同构 ==
在小交错群与小[[李型群]]之间有一些[[同构]]。他们是
* A<sub>4</sub> 同构于 PSL<sub>2</sub>(3) 以及[[手征性 (数学)|手征性]][[四面体对称]]之[[对称群]]。
* A<sub>5</sub> 同构于 PSL<sub>2</sub>(4)，PSL<sub>2</sub>(5)，以及手征性[[二十面体对称]]之对称群。
* A<sub>6</sub> 同构于 PSL<sub>2</sub>(9) 与 PSp<sub>4</sub>(2)'。
* A<sub>8</sub> 同构于 PSL<sub>4</sub>(2)。

更显然有 A<sub>3</sub> 同构于[[循环群]] Z<sub>3</sub>，以及 A<sub>1</sub> 与 A<sub>2</sub> 同构于[[平凡群]]（也是 SL<sub>1</sub>(''q'')=PSL<sub>1</sub>(''q'') 对任何 ''q''）。
<!-- 这一段有多处错误，参见英文版讨论页。A4 is not perfect, SL(4,2)=PSL(4,2)=A8 is not the Schur cover of A8 --><!--
The associated extensions <math>\operatorname{SL}_n(q) \to \operatorname{PSL}_n(q)</math> are [[universal perfect central extension]]s for <math>A_4,A_5,A_8</math>, by uniqueness of the universal perfect central extension;
for <math>\operatorname{PSL}_2(9) \cong A_6</math>, the associated extension is a perfect central extension, but not universal: there is a 3-fold [[Schur multiplier|covering group]].
-->
== 子群 ==
''A''<sub>4</sub> 是说明[[拉格朗日定理 (群论)|拉格朗日定理]]的逆命题一般不成立的最小群：给定一个有限群 ''G'' 和 |''G''| 的一个因子 ''d''，不一定存在 ''G'' 的一个 ''d'' 阶子群。群 ''G'' = ''A''<sub>4</sub>，阶为 12，没有 6 阶子群。有三个元素的子群（由三个对象的轮换旋转生成）再加上任何一个其它元素生成整个群。

== 群同调 ==
交错群的[[群同调]]体现了类似{{tsl|en|stable homotopy theory|稳定同伦理论}}中的稳定性：对足够大的 ''n'' 是常值。

=== H<sub>1</sub>：阿贝尔化 ===
第一[[同调群]]与[[阿贝尔化]]相同，因为 <math>A_n</math> 除去已经提到的例外是[[完全群]]（[[完滿群]]），从而有
:<math>H_1(A_3,\mathbf{Z})=A_3^{\text{ab}} = A_3 = \mathbf{Z}/3;\,</math>
:<math>H_1(A_4,\mathbf{Z})=A_4^{\text{ab}} = \mathbf{Z}/3;\,</math>
:<math>H_1(A_n,\mathbf{Z})=0</math> for <math>n=1,2</math> and <math>n\geq 5.\,</math>

=== H<sub>2</sub>：舒尔乘子 ===

当 ''n'' 等于 5 或大于等于 8 时，交错群 A<sub>''n''</sub> 的{{tsl|en|Schur multiplier|舒尔乘子}}是 2 阶循环群；在 6 和 7 时有一个三重覆盖，则舒尔乘子的阶数为 6。

:<math>H_2(A_n,\mathbf{Z})=0</math> for <math>n = 1,2,3;\,</math>
:<math>H_2(A_n,\mathbf{Z})=\mathbf{Z}/6</math> 对 <math>n = 6,7;\,</math>
:<math>H_2(A_n,\mathbf{Z})=\mathbf{Z}/2</math> 对 <math>n = 4,5</math> 與 <math>n \geq 8.</math>

== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Scott | first1=W.R. | title=Group Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-65377-8 | year=1987 }}
*{{Citation | author=徐明曜| title=有限群导引·上册（第二版） | publisher=科学出版社 | location=北京| isbn=7-03-007119-0 | year=2001}}

[[Category:有限群|J]]
[[Category:置换群|J]]