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[[代数]]中，'''交错多项式'''（alternating polynomial）是[[多项式]]<math>f(x_1,\dots,x_n)</math>，使得交换任意两个变量，多项式的符号发生变化：
:<math>f(x_1,\dots,x_j,\dots,x_i,\dots,x_n) = -f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_j,\dots,x_n).</math>
等价地，[[排列]]变量时，多项式的值会因[[置换的奇偶性|排列的符号]]而改变：
:<math>f\left(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)}\right)= \mathrm{sgn}(\sigma) f(x_1,\dots,x_n).</math>

更一般地说，若交换<math>x_i</math>中任意两个变量会改变符号、而交换<math>y_j</math>则保持不变，就称多项式<math>f(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_t)</math>在<math>x_1,\dots,x_n</math>中交错。{{sfnp|Giambruno|Zaicev|2005|p=12}}

==与对称多项式的关系==
[[对称多项式]]与交错多项式（具有相同的变量<math>x_1,\dots,x_n</math>）之积有如下表现：
* 两对称多项式之积仍是对称的；
* 对称多项式与交错多项式之积是交错的；
* 两交错多项式之积是对称的。

这正是[[奇偶性 (数学)|奇偶性]]的加法表，“对称”对应“偶”，“交错”对应“奇”。于是，对称多项式与交错多项式的直和构成了[[超代数]]（<math>\mathbf{Z}_2</math>-[[分次代数]]），其中对称多项式是偶部，交错多项式是奇部。分次与[[多项式的次数]]无关。

交错多项式在对称多项式代数上形成了[[模]]（超代数的奇部是偶部上的模）；事实上，它是秩为1的自由模，以''n''元[[范德蒙多项式]]为生成子。

若系数环的[[特征 (代数)|特征]]为2，则这两个概念没有区别，即交错多项式就是对称多项式。

==范德蒙多项式==
{{main|范德蒙多项式}}
基本交错多项式是[[范德蒙多项式]]：
:<math>v_n = \prod_{1\le i<j\le n} (x_j-x_i).</math>
这显然是交错的，交换两变量会改变其中一项的符号，而不改变其他项的符号。<ref>对其他项，只是重排了：<math>n=3</math>情形，交换<math>x_1</math>、<math>x_2</math>会将<math>(x_2-x_1)</math>变为<math>(x_1-x_2) = -(x_2-x_1)</math>，并将<math>(x_3-x_1)</math>与<math>(x_3-x_2)</math>互换，但不改变其符号。</ref>

交错多项式正是范德蒙多项式乘以对称多项式：<math>a = v_n \cdot s</math>，其中''s''是对称多项式。这是因为：
* <math>v_n</math>是每个交错多项式的因式：<math>(x_j-x_i)</math>是每个交错多项式的因式，因为如果<math>x_i=x_j</math>，则多项式为零（交换它们不会改变多项式，所以得到
:<math>f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_j,\dots,x_n) = f(x_1,\dots,x_j,\dots,x_i,\dots,x_n) = -f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_j,\dots,x_n),</math>
:于是<math>(x_j-x_i)</math>是因式），于是<math>v_n</math>是因式。
* 交错多项式乘以对称多项式仍是交错多项式，于是<math>v_n</math>的所有倍数都是交错多项式。

相反，两交错多项式相除是（可能有理的）对称多项式（不必是多项式），而交错多项式除以范德蒙多项式是多项式。[[舒尔多项式]]就是这样定义的，即交错多项式除以范德蒙多项式。

===环结构===
因此，用<math>\Lambda_n</math>表示对称多项式环，则对称与交错多项式环是<math>\Lambda_n[v_n]</math>，更精确地说是<math>\Lambda_n[v_n]/\langle v_n^2-\Delta\rangle</math>，其中<math>\Delta=v_n^2</math>是对称多项式，即[[判别式]]。

也就是说，对称与交错多项式环是对称多项式环的2次[[域扩张|扩张]]，其中伴随了一个判别式的平方根。

或者说，是
:<math>R[e_1,\dots,e_n,v_n]/\langle v_n^2-\Delta\rangle.</math>

若2不可逆，情况就有些不同，必须使用不同的多项式<math>W_n</math>，得到不同的关系。见Romagny。

==表示论==
{{details|对称群表示论}}
从[[表示论]]视角来看，对称与交错多项式是对称群在''n''元多项式环的''n''个字母上的作用的子表示。（形式上，对称群作用于''n''个字母，因此也作用于导出对象，如''n''个字母上的[[自由对象]]——多项式环之类。）

对称群有2个1维表示：平凡表示与符号表示。对称多项式是平凡表示，交错多项式是符号表示。形式上，任何对称（或交错）多项式的标量跨度（scalar span）是对称群的平凡（或符号）表示，多项式的乘法张量就是表示。

特征为2时，这些并不是不同的表示，分析就复杂了。

若<math>n>2</math>，对称群对多项式环的作用还有其他子表示，这在[[对称群表示定理]]中有讨论。

==不稳定==
交错多项式是不稳定的现象：''n''元对称多项式环可从任意多元对称多项式环得到，方法是计算<math>x_n</math>以上的变量对应的值设为0，因此对称多项式的定义是“稳定”或“兼容”的。然而，交错多项式，尤其[[范德蒙多项式]]却并非如此。

==另见==
* [[对称多项式]]
* [[欧拉类]]

==注释==
<references/>

==参考文献==
* {{cite book
 | last1 = Giambruno
 | first1 = Antonio
 | last2 = Zaicev
 | first2 = Mikhail
 | title = Polynomial Identities and Asymptotic Methods
 | year = 2005
 | volume = 122
 | publisher = American Mathematical Society
 | url = https://books.google.com/books?id=LlnzBwAAQBAJ&pg=PA12
 | access-date = 2024-02-17
 | archive-date = 2023-08-24
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230824143948/https://books.google.com/books?id=LlnzBwAAQBAJ&pg=PA12
 | dead-url = no
 }}
* [http://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/notes/FTAF.pdf The fundamental theorem of alternating functions] {{Wayback|url=http://perso.univ-rennes1.fr/matthieu.romagny/notes/FTAF.pdf |date=20230826211011 }}, by Matthieu Romagny, September 15, 2005

[[Category:多项式]]