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在[[抽象代数]]中，'''交错代数'''（{{lang-en|Alternative algebra}}）是乘法不满足[[结合性]]，仅满足[[交错性]]的[[域上的代数|代数]]。也就是说，我们有：
*<math>x(xy) = (xx)y</math>
*<math>(yx)x = y(xx)</math>
对于所有代数中的''x''和''y''。每一个[[结合代数]]都显然是交错的，但有些严格的[[非结合代数]]，例如[[八元数]]，也是交错的。另一方面，[[十六元数]]则不是交错的。

==结合子==

交错代数之所以这样命名，是因为它们正好是[[结合子]][[交错形式|交错]]的代数。结合子是一个[[多线性映射|三线性映射]]，由下式给出：
:<math>[x,y,z] = (xy)z - x(yz)</math>
根据定义，一个多线性映射是交错的，如果只要两个自变量相等，映射便为零。一个代数的左交错和右交错恒等式等价于：
:<math>[x,x,y] = 0</math>
:<math>[y,x,x] = 0.</math>
两个恒等式在一起，便意味着结合子是完全[[斜对称]]的。也就是说：
:<math>[x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}] = \sgn(\sigma)[x_1,x_2,x_3]</math>
对于任何[[置换]]&sigma;。于是可以推出：
:<math>[x,y,x] = 0</math>
对于所有的''x''和''y''。这等价于所谓的[[柔性恒等式]]：
:<math>(xy)x = x(yx).</math>
因此结合子是交错的。反过来，任何一个结合子交错的代数显然是交错代数。根据对称性，任何一个代数，只要满足以下三个恒等式中的两个： 
*左交错恒等式：<math>x(xy) = (xx)y</math>
*右交错恒等式：<math>(yx)x = y(xx)</math>
*柔性恒等式：<math>(xy)x = x(yx).</math>
这个代数便是交错的，因此三个恒等式都满足。

一个交错的结合子总是完全斜对称的。反过来也成立，只要基域的[[特征 (代数)|特征]]不是2。

==性质==

'''阿廷定理'''说明，在交错代数中，由任何两个元素生成的[[子代数]]是[[结合]]的。反过来，任何满足这个条件的代数显然是交错的。于是可以推出，在交错代数中，只含有两个变量的表达式可以不用括号写出，而又没有歧义。阿廷定理的一个推广说明，如果交错代数中的三个元素<math>x,y,z</math>是结合的（也就是说，<math>[x,y,z] = 0</math>），那么由这些元素所生成的子代数是结合的。

阿廷定理的一个推论是，交错代数都是[[幂结合性|幂结合]]的，也就是说，由一个元素所生成的子代数是结合的。反过来不一定成立：[[十六元数]]是幂结合的，但不是交错的。

[[穆方恒等式]]
*<math>a(x(ay)) = (axa)y</math>
*<math>((xa)y)a = x(aya)</math>
*<math>(ax)(ya) = a(xy)a</math>
在任何交错代数中都成立。

在一个单式交错代数中，如果乘法逆存在，那么它一定是唯一的。更进一步，对于任何可逆的元素<math>x</math>和所有的<math>y</math>，都有：
:<math>y = x^{-1}(xy).</math>
这等于是说，对于所有这类的<math>x</math>和<math>y</math>，结合子<math>[x^{-1},x,y]</math>都是零。如果<math>x</math>和<math>y</math>是可逆的，那么<math>xy</math>也是可逆的，其乘法逆为<math>(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}</math>。因此，所有可逆的元素所组成的集合在乘法运算下封闭，并形成了一个[[穆方圈]]。在交错环或代数中，这个单位元素圈与结合环或代数中的[[单位元素群]]是类似的。

==应用==
任何交错的[[除环]]上的[[射影平面]]都是[[穆方平面]]。

==参考文献==

*{{cite book | first = Richard D. | last = Schafer | title = An Introduction to Nonassociative Algebras | url = https://archive.org/details/introductiontono0000scha | publisher = Dover Publications | location = New York | year = 1995 | isbn = 0-486-68813-5}}

[[Category:非结合代数]]