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{{Merge|并运算|discuss=Talk:交运算#請求與并运算合併|time=2021-12-21T18:29:13+00:00}}
在数学中，在一个集合上的'''交'''(meet)有两种定义：关于在这个集合上的[[偏序关系|偏序]]的唯一[[下确界]](最大下界)，假定下确界存在的话； 或者是满足[[幂等]]律的[[交换律|交换]][[结合律|结合]][[二元运算]]。在任何一个情况下，这个集合与交运算一起是[[半格]]。这两个定义产生等价的结果，除了在[[偏序关系|偏序]]方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是[[格 (数学)|格]]。

通常把 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的交指示为 <math>x \land y</math>。 

==偏序定义==

设 ''A'' 是带有[[偏序关系|偏序]] <math>\leq</math> 的一个集合，并设 <math>x</math> 和 <math>y</math> 是 ''A'' 中的两个元素。''A'' 的一个元素 <math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的交(或最大下界或下确界)，如果满足了下列两个条件:
:'''1.'''  <math>z \leq x</math> 且 <math>z \leq y</math> (就是说，<math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的下界)；
:'''2.'''  对于 ''A'' 中的任何 <math>w</math>，使得 <math>w \leq x</math> 且 <math>w \leq y</math>，有着 <math>w \leq z</math> (就是说，<math>z</math> 大于任何其他 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的下界)。
如果有 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的交，则它的确是唯一的，因为如果 <math>z</math> 和 <math>z'</math> 都是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的最大下界，则 <math>z \leq z' \leq z</math>，因而 <math>z = z'\,</math>。如果交确实存在，它被指示为 <math>x \land y</math>。在 ''A'' 中的某对元素可能缺乏一个交，要么因为它们根本没有下界，要么因为它们的下界中没有一个大于所有其他的。如果所有的元素对都有交，则交实际上是在 ''A'' 上的二元运算，并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对有 ''A'' 中任何元素 <math>x</math>, <math>y</math> 和 <math>z</math>
:'''a.'''  <math>x \land y = y \land x</math> ([[交换律]])，
:'''b.'''  <math>x \land (y \land z) =(x \land y) \land z</math> ([[结合律]])，
:'''c.'''  <math>x \land x = x</math> ([[幂等律]])。

==泛代数定义==

通过定义，在集合 ''A''上的 [[二元运算]] <math>\land</math> 是'''交'''，如果它满足上面的三个条件 '''a''', '''b''' 和 '''c'''。有序对 (''A'',<math>\land</math>) 就是[[半格|交半格]]。此外，我们可以定义在 ''A'' 上[[二元关系]] <math>\leq</math>，通过声称 <math>x \leq y</math> 当且仅当 <math>x \land y = x</math>。实际上，这个关系是在 ''A'' 上的[[偏序关系|偏序]]。对于 ''A'' 中任何元素 <math>x</math>, <math>y</math> 和 <math>z</math> 有
:<math>x \leq x</math>，因为 <math>x \land x = x</math>，通过公理 '''c'''；
:如果 <math>x \leq y</math> 且 <math>y \leq x</math> 则 <math>x  = x \land y = y \land x = y</math>，通过公理 '''a'''；
:如果 <math>x \leq y</math> 且 <math>y \leq z</math> 则 <math>x \leq z</math>，因为 <math> x \land z = (x \land y) \land z = x \land (y \land z) = x \land y = x</math>，通过公理 '''b''' 。

==两个定义的等价性==
如果 (''A'',<math>\leq</math>) 是[[偏序关系|偏序集合]]，使得对于每对 ''A'' 中的元素都有交，则确实有 <math>x \land y = x</math> 当且仅当 <math>x \leq y</math>，因为在后者情况下 <math>x</math> 确实是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的下界，并且明显的 <math>x</math> 是最大下界当且仅当它是下界。所以用泛代数方式的交定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来，如果 (''A'',<math>\land</math>) 是交半格，并且偏序 <math>\leq</math> 按泛代数方式定义，对于''A'' 中某些元素 <math>x</math> 和 <math>y</math> 有 <math>z = x \land y</math>，则 <math>z</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 关于 <math>\leq</math> 的最大下界，因为 <math>z \land x = x \land z = (x \land x) \land y = z \;\Rightarrow\; z \leq x</math>，类似的 <math>z \leq y</math>，并且如果 <math>w</math> 是 <math>x</math> 和 <math>y</math> 的另一个下界，则 <math>w \land x = w \land y = w</math>，从而 <math>w \land z = w \land (x \land y) = (w \land x) \land y = w \land y = w</math>。所以这个用最初的交定义的偏序定义的交一致于最初的交。

换句话说，两种方式生成本质上等价的概念，集合配备了二元关系和二元运算二者，使得每个结构都由另一个确定，而且分别满足偏序或交的条件。

==一般子集的交==

如果 (''A'',<math>\land</math>) 是交半格，则交可以被扩为任何非空有限集合的良好定义的交，通过在[[迭代二元运算]]中描述的描述的技术。可供选择的，如果交定义或定义自一个偏序，''A'' 的某个子集确实有关于它的[[下确界]]。对于非空有限子集，这两种方式产生同样的结果，因为都可以做为交的定义。在 ''A'' 的每个子集都有交的情况下，(''A'',<math>\leq</math>) 是[[完全格]]；详情参见[[完全性 (序理论)]]。

==参见==
*[[下确界]]
*[[格 (数学)]]
*[[偏序集合]]
*[[并运算]]


[[Category:序理论|J]]
[[Category:抽象代数|J]]
[[Category:二元運算|J]]