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在[[抽象代數]]中，'''交換代數'''旨在探討[[环 (代数)|交換環]]及其[[理想 (環論)|理想]]，以及交換環上的[[模]]。[[代數數論]]與[[代數幾何]]皆奠基於交換代數。交換環中最突出的例子包括[[多項式]]環、[[代數整數]]環與[[p進數]]環，以及它們的各種[[商環]]與[[局部化]]。

由於[[概形]]無非是[[交換環譜]]的黏合，交換代數遂成為研究[[概形]][[局部性質]]的主要語言。

==源流==
此學科原稱「理想論」，始自[[戴德金]]在[[理想 (环论)|理想]]方面的工作，而其工作又建基於[[庫默爾]]與[[利奧波德·克羅內克|克羅內克]]的早期工作。此後[[希爾伯特]]引入術語「環」，以推廣先前採用的「數環」。希爾伯特以較抽象的進路取代先前基於[[複分析]]與[[不變量理論]]的計算導向進路，希爾伯特大大啟發了[[埃米·諾特]]，諾特在交換代數中引進了許多公理化的抽象方法。另一位重要角色是希爾伯特的弟子Emanuel Lasker（也是世界棋王），他引入了[[準素分解|準素理想]]，並證明了Lasker-Noether定理的首個版本。

現代交換代數學置重點於[[模]]。一個環<math>R</math>的理想、商環與<math>R</math>-代數皆可視為<math>R</math>-模，是以模論能兼攝理想與環擴張。儘管模論在克羅內克的工作中已開先河，一般仍將此歸功於埃米·諾特。

==文獻==
* Michael Atiyah & Ian G. MacDonald, ''Introduction to Commutative Algebra'', Massachusetts : Addison-Wesley Publishing, 1969.
* David Eisenbud, ''Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry'', New York : Springer-Verlag, 1999.
* Hideyuki Matsumura, translated by Miles Reid, ''Commutative Ring Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics)'',Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1989.
* Miles Reid, ''Undergraduate Commutative Algebra (London Mathematical Society Student Texts)'', Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1996.
* Jean-Pierre Serre, ''Algèbre locale, multiplicités''

==外部連結==
* [http://www.commalg.org/people List of Commutative Algebraists] {{Wayback|url=http://www.commalg.org/people |date=20210114150330 }}
* [http://www.commalg.org The Commutative Algebra Community] {{Wayback|url=http://www.commalg.org/ |date=20210210170902 }}
* [http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg.html A Course in Commutative Algebra] {{Wayback|url=http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg.html |date=20170808042226 }} 一本入門書籍，可自由下載閱讀。

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{{数学领域}}

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